Potens för ett primtal

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 11 oktober 2020; kontroller kräver 6 redigeringar .

Inom matematiken är ett primtals potens ett primtal upphöjt till en positiv heltalspotens .

Exempel

Siffrorna 5 = 5 1 , 9 = 3 2 och 16 = 2 4 är primpotenser, medan 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5 och 36 = 6 2 = 2 2 × 3 2 inte är det.

De tjugo minsta potenserna av primtal [1] :

2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , 17 , 19 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , 32 , 37 , 41 , …

Egenskaper

Algebraiska egenskaper

Varje potens av ett primtal är delbart med endast ett primtal.
Fördelningstätheten av primtalsbefogenheter är asymptotiskt ekvivalent med tätheten av primtal upp till . $\pi(x)$ $O({\sqrt {x)))$
Varje potens av ett primtal (med undantag av en potens av 2) har en primitiv rot . Således är den multiplikativa gruppen av heltal modulo pn (eller, ekvivalent, gruppen av enheter i ringen Z / pnZ ) cyklisk .
Antalet element i ett ändligt fält är alltid en potens av ett primtal och vice versa, varje potens av ett primtal är antalet element i ett ändligt fält (det enda upp till isomorfism ).

Kombinatoriska egenskaper

En egenskap hos potenser av ett primtal, som ofta används i analytisk talteori , är att uppsättningen av potenser av primtal som inte är primtal är liten i den meningen att den oändliga summan av deras reciproka konvergerar , även om uppsättningen av primtal. är ett stort set.

Delbarhetsegenskaper

Eulerfunktionen ( φ ) och sigmafunktionen ( σ 0 ) och ( σ 1 ) av potensen av ett primtal kan beräknas med hjälp av formlerna:

\phi(p^n) = p^{n-1} \phi(p) = p^{n-1} (p - 1) = p^n - p^{n-1} = p^n \ left(1 - \frac{1}{p}\right),

\sigma_0(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{0*j} = \sum_{j=0}^{n} 1 = n+1,

\sigma_1(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{1*j} = \sum_{j=0}^{n} p^{j} = \frac{p^{ n+1} - 1}{p - 1}.

Alla potenser av primtal är otillräckliga tal . Kraften av ett primtal p n är n - nästan primtal . Det är inte känt om primpotenser p n kan vara vänliga tal . Om sådana tal finns måste p n vara större än 10 1500 och n måste vara större än 1400.

Nödvändigt villkor

$\forall a\in \mathbb {N} :\gcd(a,N)=1\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)>1$

Låt talet vara en potens av ett primtal . Sedan dividerat med . $N$ ${\displaystyle N=p^{k))$ $N-1$ $p-1$

Genom Fermats lilla teorem delar sig inte $\forall a\in \mathbb {N} :p$ $a\Rightarrow a^{p-1}\equiv 1(mod~p)$

$a^{N-1}\equiv a^{p-1}\equiv 1(mod~p)\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)=p^{m} >1,$ var $1\leqslant m\leqslant k$

Se även

Anteckningar

↑ OEIS - sekvens A000961 : primtalspotenser = primtalspotenser

Litteratur

Jones, Gareth A. och Jones, J. Mary. Springer-Verlag. Elementär talteori. — London: Limited, 1998.