Weierstrass sats om en funktion på en kompakt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Weierstrass -satsen är en teorem för matematisk analys och allmän topologi , som säger att en funktion som är kontinuerlig på en kompakt mängd begränsas till den och når sina största övre och nedre gränser [1] .

Ibland (i utbildningskurser) delas två påståenden (om avgränsning och nåbarhet av gränser) upp i två Weierstrass-satser - den första respektive den andra. [ett]

Uttalande av satsen

Weierstrass-satsen är formulerad för kontinuerliga funktioner som verkar från ett givet metriskt utrymme in i mängden reella tal .

Weierstrass sats för kontinuerliga funktioner

I matematisk analys beaktas talrymder för vilka godtyckliga slutna och avgränsade mängder är kompakta . På den verkliga linjen är sammankopplade kompakta mängder segment, sedan formuleras Weierstrass-satsen för segment:

Om funktionen är kontinuerlig på segmentet , då är den avgränsad på den och når dessutom sina lägsta och maximala värden, det vill säga det finns sådana som för alla . $f$ $[a,b]$ $x_{m},x_{M}\in [a,b]$ $f(x_{m})\leqslant f(x)\leqslant f(x_{M})$ $x\in[a,b]$

Weierstrass sats för halvkontinuerliga funktioner

Låt funktionen vara avgränsad och övre halvkontinuerlig . Sedan $f\kolon[a,\;b]\till\R$ $M=\sup \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)<\left\vert \infty \right\vert$ och $\existerar x_M\i[a,\;b]\kolon f(x_M)=M.$
Låt funktionen vara begränsad och lägre halvkontinuerlig. Sedan $f\kolon[a,\;b]\till\R$ $m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)>-\infty$ och $\finns x_m\i[a,\;b]\kolon f(x_m)=m.$

Bevis

Bevis på satsen för kontinuerliga funktioner

På grund av de reella talens fullständighet finns det en (ändlig eller oändlig) minsta övre gräns . Eftersom är den minsta övre gränsen, finns det en sekvens sådan att . Enligt Bolzano-Weierstrass-satsen kan en konvergent delsekvens särskiljas från en avgränsad sekvens , vars gräns (låt oss kalla det ) också tillhör intervallet . På grund av kontinuiteten i funktionen har vi , men å andra sidan . Således är den största övre gränsen ändlig och nås vid punkten . $M=\sup _{{x\in [a,b]}}f(x)$ $M$ $x_{n}$ $\lim f(x_{n})=M$ $x_{n}$ $x_{{n_{k}}}$ $x_M$ $[a,b]$ $f$ $f(x_{M})=\lim f(x_{{n_{k}}})$ $\lim f(x_{{n_{k}}})=\lim f(x_{n})=M$ $M$ $x_M$

För den nedre gränsen är beviset liknande.

Bevis för satsen i det allmänna fallet

Låt vara kompakt och låt funktionen vara kontinuerlig på . Tänk på samlingen av set , där är ett öppet intervall. Dessa uppsättningar är öppna (som kompletta förbilder av en öppen uppsättning under kontinuerlig mappning) och bildar uppenbarligen ett omslag . Genom definitionen av ett compactum kan man peka ut ett ändligt undertäcke från detta hölje , varifrån vi har , och begränsningen är bevisad. Det är lätt att bevisa uppnåendet av maximum och minimum genom motsägelse om vi betraktar funktionerna , , och tillämpar det påstående som just bevisats på dem. $A$ $f$ $A$ ${\displaystyle V_{n}=f^{-1}{\big (}(-n,n){\big )))$ $(-n,n)\subset \mathbb {R}$ $A$ $V_{{n_{k}}}$ ${\displaystyle \forall x\in A:f(x)<\max n_{k))$ $[f(x)-\sup f(A)]^{{-1}}$ $[f(x)-\inf f(A)]^{{-1}}$

Anteckningar

Under satsens antaganden kan ett segment inte ersättas med ett öppet intervall . Till exempel tangentfunktionen

\operatorname {tg} \colon \left(-{\frac {\pi }{2)),\;{\frac {\pi}{2))\right)\to \mathbb {R}

är kontinuerlig på varje punkt av definitionsdomänen , men är inte begränsad.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis. Del I. - M. , 1998. - S. 248-251.