Feit-Thompson teorem

Feit-Thompson- satsen eller udda ordningssatsen säger att varje ändlig grupp av udda ordning är lösbar . Teoremet bevisades av Walter Veit och John Griggs Thompson [1] [2] .

Historik

Skillnaden mellan udda och jämna ordningsföljder som detta resultat visar tyder på att enkla grupper av udda ordning inte existerar.

—  ( William Burnside , s. 503 Not M)

William Burnside [3] förmodade att varje icke-abelian finit enkel grupp har en jämn ordning. Richard Brouwer [4] antog, med hjälp av centraliserare av involutioner av enkla grupper som grund för att klassificera ändliga enkla grupper som i Brouwer-Fowlers sats , att det bara finns ett ändligt antal ändliga enkla grupper med ett givet centrum av involution . En grupp med udda ordning har inga involutioner, så för att uppfylla Brouwers plan är det först nödvändigt att visa att ickecykliska ändliga enkla grupper aldrig har en udda ordning. Detta motsvarar att bevisa att grupper av udda ordning är lösbara, vilket är vad Thompson och Feit bevisade.

Attacken på Burnsides gissningar startades av Suzuki [5] , som studerade CA- grupper [6] . Dessa är grupperna där centraliseraren av alla icke-triviala element är abelisk . I sitt arbete visade han att alla CA-grupper av udda ordning är lösbara. (Senare klassificerade han alla enkla CA-grupper och alla enkla grupper där centraliseraren för varje involution har en normal 2-Sylow-undergrupp, och fann under klassificeringen en utelämnad familj av enkla grupper av Lie-typ , som nu kallas Suzuki group .)

Feit, Hall och Thompson [7] utökade Suzukis arbete till familjen av CN -grupper . Dessa är grupper där centraliseraren av alla icke-triviala element är nilpotent [8] . De visade att vilken CN-grupp som helst av udda ordning är lösbar. Deras bevis liknar Suzukis. Beviset tog cirka 17 sidor, vilket var väldigt långt för gruppteori på den tiden.

Feit-Thompson-satsen kan ses som nästa steg i denna process - de visade att det inte finns någon icke-cyklisk enkel grupp av udda ordning där någon riktig undergrupp är lösbar . Detta bevisar att vilken ändlig grupp av udda ordning som helst är lösbar, eftersom det minimala motexemplet måste vara en enkel grupp där varje riktig undergrupp är lösbar. Även om schemat för beviset är nära det för bevisen för satser för CA- och CN-grupper, är detaljerna mycket mer komplicerade, så att den slutliga artikeln hade 255 sidor med text.

Bevisets betydelse

Feit-Thompson-satsen visade att klassificeringen av ändliga enkla grupper med hjälp av involutionscentralisatorer är möjlig, eftersom varje icke-abelian enkel grupp har en involution. Många av de tekniker som användes i bevisningen av satsen, och särskilt idén om lokal analys , utvecklades senare till metoder som användes vid klassificering. Den kanske mest revolutionerande aspekten av beviset var dess längd – före Feith och Thompsons artikel var sällsynta artiklar inom gruppteori mer än några sidor långa och kunde i allmänhet studeras på en dag. När gruppteoretiska forskare insåg att långa utställningar kunde fungera började hundratals sidor långa uppsatser dyka upp. Vissa överträffar till och med Feit och Thompsons papper, till exempel Michael Aschbacher och Stephen D. Smiths papper om kvasi-tunna grupper s har 1.221 sidor.

Revision av bevis

Många matematiker har förenklat delar av Feith och Thompsons ursprungliga bevis. Alla dessa förbättringar är dock i någon mening lokala, huvudstrukturen i presentationen förblir densamma, men vissa detaljer i beviset har förenklats.

Ett förenklat bevis publicerades i två böcker, en bok av Bender och Glauberman [9] , som täcker allt utom karaktärsteori, och en bok av Peterfalvi [10] , som täcker karaktärsteori. Detta reviderade bevis förblir mycket komplext och längre än originalbeviset, men är skrivet i en lättare stil.

Det sista formella beviset, verifierat med det automatiska teorembevissystemet Coq , tillkännagavs i september 2012 av Georges Gontier, som arbetade med en grupp anställda på Microsoft Research och INRIA [11] .

Bevisschema

Istället för en direkt beskrivning av Feit-Thompson-satsen är det lättare att beskriva Suzukis CA-sats och sedan förklara några av de tillägg som behövs för CN-satsen och udda ordningssatsen. Beviset kan delas upp i tre steg. Låt G vara en icke-abelian (minimal) enkel grupp av udda ordning som uppfyller villkoren för CA-satsen. För en mer detaljerad presentation av artikeln om udda ordning, se artikeln av Thompson [12] , Gorenstein [13] eller Glauberman [14] .

Steg 1. Lokal analys av strukturen för gruppen G

När det gäller CA är analysen enkel, eftersom relationen " a pendlar med b " är en ekvivalensrelation på icke-identitetselement. Således är elementen uppdelade i ekvivalensklasser, och varje ekvivalensklass är uppsättningen av icke-triviala element i den maximala abelska undergruppen. Normalisatorerna för dessa maximala abeliska undergrupper visar sig vara exakt de maximala korrekta undergrupperna i gruppen G. Dessa normalisatorer är Frobenius-grupper för vilka teckenteorin är ganska transparent och lämpar sig för manipulation med det induktiva tecknet . Även uppsättningen av primtalsdelare| G |bryts ner enligt de primtal som delar ordningsföljderna för de olika coseten av maximala abelianska undergrupper. Ett tillvägagångssätt som delar upp primtalare | G | enligt samförekomstklasserna för vissa Hall-undergrupper (en Hall-undergrupp är en undergrupp vars ordning och index är coprime), som motsvarar de maximala undergrupperna i grupp G (upp till samtidig förekomst), upprepas i beviset som Feit-Hall-Thompson CN-satsen, så är Feit-Thompsons udda ordningssatser. Varje maximal undergrupp M har någon nilpotent Hall-undergrupp M σ med en normaliserare som ingår i M , vars ordning är delbar med några primtal som bildar mängden . Två maximala undergrupper är angränsande om och endast om mängderna är samma, och om de inte är intilliggande, är mängderna disjunkta. Varje primtal som delar ordningen för gruppen G visas i någon uppsättning . Sålunda delas primtalsdelare av ordningen av gruppen G in i cosets motsvarande cosets av maximala subgrupper. Beviset för CN-fallet är redan mycket mer komplicerat än CA-fallet - det största ytterligare problemet är beviset på att två olika Sylow-undergrupper skär varandra vid identitetselementet. Denna del av udda ordningssatsen tar över 100 journalsidor. Nyckelsteget är beviset för Thompsons unikhetsteorem , som säger att Abeliska undergrupper av normal rang minst 3 finns i en unik maximal undergrupp, vilket innebär att primtal p för vilka Sylow p -undergrupper har normal rang som högst 2 bör övervägas separat. Bender förenklade senare beviset för unikhetssatsen med Benders metod . Medan i fallet med CN de resulterande maximala undergrupperna av M förblir Frobenius-grupper, kanske de maximala undergrupperna som visas i beviset för udda ordningssatsen inte har en sådan struktur, och analys av deras struktur och samband ger 5 möjliga typer av maximala undergrupper , som betecknas som typerna I, II, III, IV, V. Typ I-undergrupper är "Frobenius-typ"-undergrupper, en lätt generalisering av Frobenius-gruppen, och i själva verket visas de vara Frobenius-grupper senare i beviset. De har strukturen , där är den största normala nilpotenta Hall-undergruppen och U har en undergrupp med samma exponent, så är en Frobenius-grupp med kärna . Typerna II, III, IV, V är alla 3-stegsgrupper med strukturen , där är den genererade undergruppen av gruppen M . Indelningen i typerna II, III, IV och V beror på strukturen och inbäddningen av undergruppen U enligt följande:

Alla utom två klasser av maximala undergrupper är av typ I, men det kan finnas ytterligare två klasser av maximala undergrupper, en av typ II och den andra av typ II, III, IV eller V.

Steg 2. Karaktärteori för gruppen G

Om X är en irreducerbar karaktär av normaliseraren H för en maximal Abelisk undergrupp A i en CA-grupp G som inte innehåller A i sin kärna, kan vi från X få ett tecken Y av G som inte nödvändigtvis är irreducerbar. Från den kända strukturen för gruppen G är det lätt att hitta värdena för tecknet Y för alla element i gruppen G utom ett. Det följer att när X 1 och X 2 är två irreducerbara tecken i normalisatorn H , och Y 1 och Y 2 är de motsvarande inducerade tecknen, så är Y 1 − Y 2 fullständigt definierad och beräkningen av dess norm visar att detta är skillnaden mellan två irreducerbara tecken i grupp G (de kallas ibland de exceptionella tecknen i grupp G för normaliseraren H ). Beräkningen visar att varje icke-trivial irreducerbar karaktär i gruppen G förekommer exakt en gång som en exceptionell karaktär associerad med normaliseringen av någon maximal abelisk undergrupp av gruppen G. Ett liknande argument (med ersättning av abeliska Hall-undergrupper med nilpotenta Hall-undergrupper) fungerar i beviset för CN-satsen. Men i beviset för udda ordningssatsen är argumentet för att konstruera tecknen i gruppen G från tecknen i undergrupper mer subtilt och använder -isometrin mellan teckenringarna snarare än de inducerade tecknen, eftersom maximala undergrupper har mer komplexa strukturer och är inbäddade på ett mindre transparent sätt. Teorin om exceptionella tecken ersätts av teorin om koherenta teckenuppsättningar för att utöka Deid-isometrin. Grovt sett säger denna teori att Dade-isometrin kan utökas om gruppen inte innehåller någon bestämd struktur. Peterfalvy [15] beskriver en förenklad version av karaktärsteorin (baserad på artiklar av farfar, Sibley och Peterfalvy).

Steg 3. Slutlig motsägelse

I steg 2 har vi en fullständig och exakt beskrivning av teckentabellen för CA-gruppen G . Genom att använda det faktum att G har en udda ordning, är den nödvändiga informationen tillgänglig för att få skattningen | G | och nå antagandet att G är primtal. Denna del av beviset fungerar på liknande sätt för fallet med CN-grupper.

I beviset för Feith-Thompson-satsen är dock detta steg (som vanligt) mycket svårare. Karaktärsteorin utesluter bara några möjliga konfigurationer kvar efter steg 1. Först visade Feith och Thompson att de maximala undergrupperna av typ I alla är Frobenius-grupper. Om alla maximala undergrupper är av typ I, så visar argument som CN-fallet att G inte kan ha en minimal enkel grupp av udda ordning, så det finns exakt två fall av maximala undergrupper av typ II, III, IV eller V. De flesta av resten fokuserar beviset på dessa två typer av maximala undergrupper S och T och sambandet mellan dem. Några andra teckenteoretiska argument visar att de inte kan vara av typ IV eller V. De två undergrupperna har en bestämd struktur - undergruppen S har en ordning och består av alla automorfismer av det underliggande ändliga ordningsfältet p q av formen , där en har normen 1 och är en automorfism av ett ändligt fält, där p och q är olika primtal. Den maximala undergruppen T har en liknande struktur, med p och q utbytta . Undergrupperna S och T är nära besläktade. Om vi ​​accepterar att p > q kan man visa att en cyklisk undergrupp S av ordning är konjugerad till en undergrupp av en cyklisk undergrupp T av ordning . (Särskilt den första siffran delar den andra, så om Feit-Thompson-förmodan är sann , skulle det följa att detta inte kan hända, och beviset kan avslutas vid denna tidpunkt. Förmodan förblir dock obevisad.)

Efter att ha tillämpat teckenteori på gruppen G drar vi slutsatsen att G har följande struktur: det finns primtal p > q så att coprime till p −1 och G har en undergrupp som ges av den halvdirekta produkten PU , där P är den additiva gruppen av ett ändligt ordningsfält och U är dess element med norm 1. Däremot har gruppen G en abelsk undergrupp Q av ordningen coprime till p som innehåller ett element y så att P 0 normaliserar Q och normaliserar U , där är den additiva gruppen av en ändligt ordningsfält p . (För p =2 uppstår en liknande konfiguration i gruppen , där PU är Borel-undergruppen av övre triangulära matriser och Q är undergruppen av ordning 3 genererad av y =(01
11).) För att utesluta detta sista fall använder Thompson några skrämmande komplexa manipulationer med generatorer och relationer , som senare förenklades av Peterfalvi [16] , vars argument ges i artikeln av Bender och Glauberman [9] . Beviset kontrollerar en uppsättning element a i ett ändligt ordningsfält p q så att a och 2– a har norm 1. Först kontrollerar vi att denna mängd har minst ett element annat än 1. Sedan finns det ganska komplicerade argument med generatorer och anslutningar i grupp G , visar att setet är stängt genom att ta inversen. Om a är i en mängd och inte är lika med 1, så har polynomet N((1– a ) x +1)–1 grad q och har åtminstone p distinkta rötter givna av elementen x från F p , med hjälp av faktumet som mappar mängden in i sig själv, så p ≤ q , vilket motsäger antagandet p > q .

Användning av udda

Att ordningen på G är udda används på flera ställen i beviset enligt följande [12] .

Anteckningar

  1. ↑ Feit, Thompson, 1962 .
  2. ↑ Feit, Thompson, 1963 .
  3. ↑ Burnside, 1911 , sid. 503 Note M.
  4. ↑ Brauer, 1957 .
  5. ↑ Suzuki, 1957 .
  6. ↑ CA = C entralizer (centraliserare) och A belian (Abelian).
  7. ↑ Feit, Hall, Thompson, 1960 .
  8. ↑ CN = C entralizer (centraliserare) och N ilpotent (nilpotent).
  9. ↑ 1 2 Bender, Glauberman, 1994 .
  10. ↑ Peterfalvi, 2000 , sid. del I.
  11. ↑ Msr-inria, 2012 .
  12. ↑ 12 Thompson , 1963 .
  13. ↑ Gorenstein, 1980 .
  14. ↑ Glauberman, 1999 .
  15. ↑ Peterfalvi, 2000 .
  16. ↑ Peterfalvi, 1984 .

Litteratur