Frobenius-Perrons sats
Frobenius-Perron- satsen är en sats om det största egenvärdet för en verklig kvadratisk matris med positiva komponenter. Detta teorem har många tillämpningar inom sannolikhetsteorin (ergodicitet hos Markov-kedjor); i teorin om dynamiska system; inom ekonomi; i demografi; i sociala nätverk; i sökmotorer.
Bevisad av Oscar Perron (1907) och oberoende av Georg Frobenius (1912). Idén med att använda detta teorem för att bestämma ordningen på spelarna i turneringar beror på Edmund Landau .
Formulering
Låt vara en kvadratisk matris , med strikt positiva reella element, då är följande påståenden sanna:
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
- det största egenvärdet i absolut värde är reellt och strikt positivt;
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
- detta egenvärde är en enkel rot av det karakteristiska polynomet ;
- motsvarande egenvektor har (mer exakt, kan väljas på ett sådant sätt att ha) strikt positiva koordinater, alla andra egenvektorer har inte denna egenskap;
- egenvärde uppfyller ojämlikheterna
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
Se även
Litteratur
- Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices , Mathematische Annalen T. 64 (2): 248–263 , DOI 10.1007/BF01449896
- Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 456–477
- Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 471–476
- Frobenius, Georg (1909), Uber Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 514–518
- Gantmakher F. R. Theory of Matrices, - M .: Nauka 1966, 576s.