Frobenius-Perrons sats

Frobenius-Perron- satsen är en sats om det största egenvärdet för en verklig kvadratisk matris med positiva komponenter. Detta teorem har många tillämpningar inom sannolikhetsteorin (ergodicitet hos Markov-kedjor); i teorin om dynamiska system; inom ekonomi; i demografi; i sociala nätverk; i sökmotorer.

Bevisad av Oscar Perron (1907) och oberoende av Georg Frobenius (1912). Idén med att använda detta teorem för att bestämma ordningen på spelarna i turneringar beror på Edmund Landau .

Formulering

Låt vara en kvadratisk matris , med strikt positiva reella element, då är följande påståenden sanna: $A$

det största egenvärdet i absolut värde är reellt och strikt positivt; $r$
detta egenvärde är en enkel rot av det karakteristiska polynomet ;
motsvarande egenvektor har (mer exakt, kan väljas på ett sådant sätt att ha) strikt positiva koordinater, alla andra egenvektorer har inte denna egenskap; $r$
egenvärde uppfyller ojämlikheterna $r$

\min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leqslant r\leqslant \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.

Se även

Perron-Frobenius operatör

Litteratur

Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices , Mathematische Annalen T. 64 (2): 248–263 , DOI 10.1007/BF01449896
Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 456–477
Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 471–476
Frobenius, Georg (1909), Uber Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 514–518
Gantmakher F. R. Theory of Matrices, - M .: Nauka 1966, 576s.