Sfärsats (differentialgeometri)

Sfärsatsen är ett allmänt namn för satser som ger tillräckliga villkor för den riemannska metriken för att garantera att ett grenrör är homeomorft eller diffeomorft till standardsfären .

Formuleringar

Låta vara en sluten , enkelt ansluten , n - dimensionell Riemannian grenrör med något villkor på krökning (se anmärkningar), då är det homeomorphic / diffeomorphic till en n - dimensionell sfär . $M$ $M$

Formuleringarna med homeomorfism och diffeomorfism kallas för topologisk sfärsats respektive slät sfärsats .

Det mest kända krökningsförhållandet är den så kallade krökningskvartsnålningen, vilket innebär att tvärsnittskrökningen i varje sektionsriktning av varje punkt ligger i . $(1,4]$
- Kvartpinningsförhållandet är optimalt, satsen upphör att vara sann om sektionskrökningen kan ta värden i ett slutet intervall . Standardmotexemplet är ett komplext projektivt utrymme med en kanonisk metrik; sektionskrökningen av metriken tar värden mellan 1 och 4, inklusive ändpunkterna. Andra motexempel kan hittas bland de symmetriska utrymmena i rang 1 . $[1,4]$
- Ett mer allmänt tillstånd är punktvis kvartsnålning. Detta innebär att sektionskrökningen är positiv och för varje fast punkt överstiger inte förhållandet mellan maximi och minimum av sektionskrökning i alla sektionsriktningar 4.

Ett annat välkänt tillstånd för krökning är krökningsoperatorns positivitet .
- Ett mer allmänt tillstånd är den så kallade 2-positiviteten hos krökningsoperatorn , det vill säga positiviteten för summan av de två minsta egenvärdena hos krökningsoperatorn.

Den första sfärsatsen bevisades av Rauch 1951. Han visade att helt enkelt sammankopplade grenrör med tvärsnittskurvatur i intervallet [3/4,1] är homeomorfa till en sfär.

1960 bevisade Marcel Berger och Wilhelm Klingenberg en topologisk version av sfärsatsen för en kvartssnapp.

År 1988 visade Micalef och Moore en topologisk version för slutna grenrör med positiv komplexifierad krökning i isotropa riktningar.
- Detta innebär i synnerhet den topologiska sfärsatsen för en positiv krökningsoperator.
  - Att slutna grenrör med en positiv krökningsoperator är rationella homologisfärer följer lätt av Bochners formel .
- Deras bevis använder en tvådimensionell analog av Sings lemma .

Klassiska metoder gjorde det möjligt att bevisa släta sfärsatsen endast för en mycket styv nypning; optimala nypningar uppnåddes med Ricci-flödet

1982 bevisade Richard Hamilton satsen för den släta sfären i det 3-dimensionella fallet med positiv Ricci-kurvatur .
- Detta var den första tillämpningen av Ricci-flödet, resten av bevisen för den smidiga satsen följde samma schema, men krävde allvarliga tekniska förbättringar.

1985 använde Gerhard Huysken Ricci-flödet för att bevisa teoremet för den släta sfären i alla dimensioner.
- Det prepositionella krökningsvillkoret han föreslog var optimalt i en viss mening. I synnerhet ligger krökningstensorn för produkten av en cirkel och en sfär på gränsen för krökningsvillkoret. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{n-1))$

År 2008 bevisade Burchard Wilking och Christoph Böhm den släta sfärsatsen för krökningsoperatorns tvåpositivitet. I synnerhet är satsen för den jämna sfären sann under förutsättning att krökningsoperatorn är positiv.

2009 bevisade Simon Brende och Richard Schoen satsen för smidig sfär med kvartsdelning. Deras bevis gjorde betydande användning av Wilkings och Boehms idéer.

Rauch, H.E., Ett bidrag till differentialgeometri i det stora, Ann. av matte. 54 (1951), 38-55
Klingenberg, W., Bidrag till riemannsk geometri i det stora, Ann. av matte. 69 (1959), 654-666.
Berger, M., Les variétes Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Supera. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161-170.
Micallef, M., Moore, JD, Minimala tvåsfärer och topologin hos grenrör med positiv krökning på totalt isotropa tvåplan. Ann. av matte. (2) 127 (1988), 199-227.
Huisken, G., Ricci-deformation på metriken på ett Riemann-grenrör. J. Differential Geom. 21 (1985), 47-62.
B. Wilking, C. Böhm: Förgreningsrör med positiva krökningsoperatorer är rymdformer. Ann. av matte. (2) 167 (2008), nr. 3, 1079-1097.
Simon Brandle och Richard Schoen. Förgreningsrör med 1/4-klämd krökning är rymdformer // Journal of the American Mathematical Society : journal. - 2009. - Vol. 22 , nr. 1 . - s. 287-307 . - doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 .