Symmetriskt utrymme

Ett symmetriskt utrymme är ett Riemann-grenrör vars isometrigrupp innehåller centrala symmetrier centrerade vid vilken punkt som helst.

Historik

Studiet av symmetriska utrymmen initierades av Eli Cartan . I synnerhet fick han en klassificering 1926.

Exempel

Euklidiska rymden ,
sfärer ,
Olika projektiva utrymmen med naturlig metrik.
Lobachevsky utrymme
Kompakta halvenkla Lie - grupper med bi-invariant Riemann-metrik.
Varje kompakt yta av släkte 2 och högre (med ett mått med konstant krökning ) är ett lokalt symmetriskt utrymme, men inte ett symmetriskt utrymme. $-ett$

Definition

Låt vara en ansluten Riemann-gren och vara en punkt i . $M$ $sid$ $M$

En kartläggning kallas en geodesisk symmetri centrerad vid en punkt if $s_{p}\colon M\to M$ $sid$

s_{p}\circ \exp _{p}=-\exp _{p}.

En kartläggning definierad på en -grannskap till en punkt kallas en lokal geodesisk symmetri centrerad vid punkten om $s_{p}\colon U\to U$ $\varepsilon$ $U$ $sid$ $sid$

s_{p}\circ \exp _{p}(v)=-\exp _{p}(v)

kl . $|v|<\varepsilon$

En Riemann-gren sägs vara symmetrisk om den centrala symmetrin är definierad för varje punkt och också är en isometri . $M$ $M$

Om samma villkor gäller för lokal geodetisk symmetri, kallas det ett lokalt symmetriskt utrymme . $M$

Relaterade definitioner

Ett enkelt anslutet symmetriskt utrymme sägs vara irreducerbart om det inte är isometriskt till produkten av två eller flera Riemannska symmetriska utrymmen.
- Ett irreducerbart symmetriskt utrymme sägs vara av kompakt typ om det har en icke-negativ (men inte identiskt noll) tvärsnittskrökning .
- Ett irreducerbart symmetriskt utrymme kallas ett utrymme av icke-kompakt typ om det har en icke-positiv (men inte identiskt noll) tvärsnittskrökning .
Rangen för ett symmetriskt utrymme är den maximala dimensionen av ett delrum av tangentrymden vid någon (och därmed vid vilken som helst) punkt där krökningen är identiskt noll.

Egenskaper

Ett Riemann-grenrör är lokalt symmetriskt om och endast om dess krökningstensor är parallell .

Alla enkelt anslutna , kompletta , lokalt symmetriska utrymmen är symmetriska.
- I synnerhet är den universella täckningen av ett lokalt symmetriskt utrymme symmetriskt.

Isometrigruppen i ett symmetriskt utrymme verkar transitivt på det.
- I synnerhet är varje symmetriskt utrymme ett homogent utrymme , där är en Lie-grupp och är dess undergrupp. $G/K$ $G$ $K$

Varje enkelt anslutet symmetriskt utrymme är isometriskt till en produkt av irreducibles.

Rangen för ett symmetriskt utrymme är alltid minst 1.
- Om rangordningen är 1, är sektionskrökningen positiv eller negativ i alla sektionsriktningar, och utrymmet är irreducerbart.
- Rum av euklidisk typ har en rang som är lika med deras dimension och är isometriska med ett euklidiskt rum av den dimensionen.

Klassificering

Varje symmetriskt utrymme är homogent , nedan är klassificeringen genom och , beteckningarna på utrymmena är desamma som i Cartan. $G/K$ $G$ $K$

Beteckning	G	K	Dimensionera	Rang	Geometrisk beskrivning
AI	${\mathrm {SU}}(n)$	${\mathrm {SO}}(n)$	$(n-1)(n+2)/2$	n − 1	Utrymmet för alla verkliga strukturer för att bevara den komplexa determinanten $\mathbb{C}^n$
AI	$\mathrm {SU} (2n)$	$\mathrm {Sp} (n)$	$(n-1)(2n+1)$	n − 1	Utrymmet av quaternion strukturer på med en fast hermitisk metrisk ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n))$
III	$\mathrm {SU} (p+q)$	$\mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\ gånger \mathrm {U} (q))$	$2pq$	min( p , q )	Grassmannian av komplexa p -dimensionella delrum i $\mathbb {C} ^{p+q}$
BDI	$\mathrm {SO} (p+q)$	$\mathrm {SO} (p)\ gånger \mathrm {SO} (q)$	$pq$	min( p , q )	Grassmannian av orienterad p -dimensionell ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q))$
III	$\mathrm {SO} (2n)$	$\mathrm {U} (n)$	$n(n-1)$	[ n /2]	Utrymmet för ortogonala komplexa strukturer på ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n))$
CI	$\mathrm {Sp} (n)$	$\mathrm {U} (n)$	$n(n+1)$	n	Utrymmet av komplexa strukturer på skalärbevarande strukturer ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$
II	$\mathrm {Sp} (p+q)$	$\mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)$	$4pq$	min( p , q )	Grassmannian av quaternion p -dimensionella delrum i ${\displaystyle \mathbb {H} ^{p+q))$
EI	$E_{6}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (4)/\{\pm I\))$	42	6
EII	$E_{6}$	$\mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)$	40	fyra	Utrymmet av symmetriska delrum i isometrisk $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2}$
III	$E_{6}$	$\mathrm {SO} (10)\cdot \mathrm {SO} (2)$	32	2	Komplicerat projektivt Kelly-plan $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
EIV	$E_{6}$	$F_{4}$	26	2	Utrymmet av symmetriska delrum i isometrisk $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ $\mathbb {OP} ^{2}$
EV	$E_7$	${\displaystyle \mathrm {SU} (8)/\{\pm I\))$	70	7
EVI	$E_7$	$\mathrm {SO} (12)\cdot \mathrm {SU} (2)$	64	fyra
EVII	$E_7$	$E_{6}\cdot \mathrm {SO} (2)$	54	3	Utrymmet av symmetriska delrum i isomorfa ${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2))$ $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
EVIII	$E_8$	${\displaystyle \mathrm {Spin} (16)/\{\pm vol\))$	128	åtta
EIX	$E_8$	$E_{7}\cdot \mathrm {SU} (2)$	112	fyra	Utrymmet av symmetriska delrum i isomorfa ${\displaystyle (\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2))$ ${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2))$
FI	$F_{4}$	$\mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU} (2)$	28	fyra	Utrymmet av symmetriska delrum i isomorfa ${\mathbb {O}}P^{2}$ ${\mathbb {H}}P^{2}$
FII	$F_{4}$	$\mathrm {Spin} (9)$	16	ett	Cayley plan ${\mathbb {O}}P^{2}$
G	$G_{2}$	$\mathrm {SO} (4)$	åtta	2	Utrymmet för subalgebrorna i Cayley- algebra som är isomorft med Quaternion-algebra ${\mathbb {O}}$ ${\mathbb {H}}$

Variationer och generaliseringar

Definition i termer av Lie-grupper

En mer allmän definition ges på språket för Lie-grupper . Ett generaliserat symmetriskt utrymme är en regelbunden täckning av ett homogent utrymme , där Lie-gruppen och $G/K$ $G$

{\displaystyle K=\{g\in G:\sigma (g)=g\))

för en viss involution . $\sigma \colon G\to G$

Varje symmetriskt utrymme är ett generaliserat symmetriskt utrymme. I detta fall definieras involutionen av rymdens isometrigrupp som $\sigma \colon G\to G$ $G$ ${\displaystyle \sigma \colon h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p))$
- Det omvända är sant om den är kompakt. $K$

Dessa generaliserade symmetriska utrymmen inkluderar pseudo-Riemannska symmetriska utrymmen , där Riemann-metriken ersätts av pseudo-Riemann-metriken . Särskilt

Svagt symmetriska mellanslag

På 1950-talet gav Atle Selberg en definition av ett svagt symmetriskt utrymme . De definieras som Riemannska grenrör med en transitiv isometrigrupp så att för varje punkt i och tangentvektor i , finns det en isometri beroende på så att $sid$ $M$ $v$ $sid$ $i$ $v$ $sid$

$i$ fixar ; $sid$
$di(v)=-v$ .

Om man kan välja oberoende av , då är utrymmet symmetriskt. $i$ $v$

Klassificeringen av svagt symmetriska utrymmen ges av Akhiezer och Vinberg och är baserad på klassificeringen av periodiska automorfismer av komplexa semisimple Lie-algebror [1] .

Sfäriska utrymmen

Ett kompakt homogent utrymme sägs vara sfäriskt om någon irreducerbar representation av en grupp har högst en invariant vektor. Symmetriska utrymmen är sfäriska. [2] [3] [4] [5] $G/K$ $G$ $K-$

Hermitiska symmetriska utrymmen

Ett symmetriskt utrymme som dessutom är försett med en parallell komplex struktur som överensstämmer med den riemannska metriken kallas ett hermitiskt symmetriskt utrymme.

Anteckningar

↑ Akhiezer, D.N. & Vinberg, E.B. (1999), Weakly symmetric spaces and sfäriska varieteter , Transf. Grupper T. 4: 3-24 , DOI 10.1007/BF01236659
↑ M. Krämer, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38 (1979), nr. 2, 129-153.
↑ I. V. Mikityuk, Om integrerbarheten av invarianta Hamiltonska system med homogena konfigurationsutrymmen, Mat. lö. 129(171) (1986), nr. 4, 514-534. engelsk övers.: IV Mikityuk, Om integrerbarheten av invarianta Hamiltonska system med homogena konfigurationsutrymmen, Math. USSR Sbornik 57 (1987), nr. 2, 527-546.
↑ M. Brion, Classification des espaces homogenes sphériques, Compositio Math. 63 (1987), nr. 2, 189-208
↑ F. Knop, B. Krötz, T. Pecher, H. Schlichtkrull. Klassificering av reduktiva reella sfäriska par II. Arkiverad 16 december 2019 på Wayback Machine Det halvenkla fallet. Transformation Groups 24, 467–510 (2019)

Litteratur

Cartan E. Geometry of Lie-grupper och symmetriska utrymmen. - IL, 1949.
Helgason S. Differentialgeometri och symmetriska rum. - Världen, 1964.
Lös O. Symmetriska utrymmen. - Vetenskap, 1985.