Sats om förändringen i systemets rörelsemängd

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 februari 2019; kontroller kräver 3 redigeringar .

Satsen om förändringen i systemets rörelsemängd ( sats om ändringen i systemets rörelsemängd ) - en av dynamikens allmänna satser , är en följd av Newtons lagar . Associerar förändringen i det kinetiska momentet med ögonblicket av yttre krafter som verkar på de kroppar som utgör systemet. Systemet som avses i satsen kan vara vilket mekaniskt system som helst som består av vilka kroppar som helst.

Uttalande av satsen

Vinkelmomentet (momentum) för ett mekaniskt system är ett värde lika med summan av de kinetiska momenten (momentum) för alla kroppar som ingår i systemet i förhållande till referenscentrum. Huvudmomentet för yttre krafter som verkar på systemets kroppar är vektorsumman av momenten för alla yttre krafter som verkar på systemets kroppar i förhållande till reduktionscentrum.

Satsen om förändringen i systemets rörelsemängd säger [1] :

Teoremet tillåter generalisering till fallet med icke-tröghetsreferensramar . I det här fallet, till huvudmomentet för yttre krafter, är det nödvändigt att lägga till huvudmomenten för de bärbara och Coriolis- tröghetskrafterna [2] .

För en stel kropp uttrycker ekvationen grundlagen för dynamiken hos en stel kropp som roterar runt en fast punkt. ${\frac {d{\vec {L}}_{0}}{dt}}={\vec {M}}^{e}$

I projektioner på axlarna av ett fast rektangulärt kartesiskt koordinatsystem med origo vid polen O har rörelsemängdens ändringslag formen: . Här - systemets momentum och huvudmomenten för yttre krafter i förhållande till motsvarande koordinataxlar [3] . ${\frac {dL_{x}}{dt}}=M_{x}^{e},{\frac {dL_{y}}{dt}}=M_{y}^{e},{ \frac {dL_{z}}{dt}}=M_{z}^{e}$ ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z},M_{x}^{e},M_{y}^{e},M_{z}^{e))$

Ekvationen för dynamiken för en stel kropp som roterar runt en fast punkt , i ett rörligt koordinatsystem som är stelt anslutet till kroppen , vars ursprung är vid punkten , har formen: . Här är kroppens vinkelmoment, är huvudmomentet för yttre krafter som appliceras på kroppen i förhållande till punkten , är kroppens vinkelhastighet, är den relativa tidsderivatan av vektorn , är enhetsvektorerna för det rörliga systemet [3] . $O$ $O$ ${\frac ({\tilde {d}}{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}-{\vec {\omega }}\times {\vec {L }}$ $L$ $M$ $O$ $\omega$ ${\frac {{\tilde {d}}{\vec {L}}}{dt}}={\frac {dL_{x'}}{dt}}i'+{\frac {dL_{ y'}}{dt}}j'+{\frac {dL_{z'}}{dt}}k'$ ${\vec {L}}$ $i',j',k'$

Om det rörliga koordinatsystemets axlar sammanfaller med kroppens huvudsakliga tröghetsaxlar vid punkten , så har kroppens rörelseekvationer i projektioner på dessa axlar formen: $O$

J_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(J_{3}-J_{2})\omega _{2}\omega _{3}=M_{1}

J_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(J_{1}-J_{3})\omega _{3}\omega _{1}=M_{2}

J_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(J_{2}-J_{1})\omega _{1}\omega _{2}=M_{3}

var är kroppens huvudsakliga tröghetsmoment vid punkten , är projektionerna av kroppens vinkelhastighetsvektor på huvudtröghetsaxlarna, , är momenten för alla yttre krafter kring samma axlar (dynamiska Euler-ekvationer ) [ 3] . ${\displaystyle J_{1},J_{2},J_{3))$ $O$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3))$ ${\dot {\omega }}_{i}={\frac {d\omega _{i}}{dt}},i=1,2,3$ ${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3))$

Bevis

Låt systemet bestå av materialpunkter med massor , hastigheter och radievektorer i förhållande till origo . Systemets rörelsemängd i förhållande till origo beräknas med formeln: . Låt oss hitta tidsderivatan av denna likhet: . Detta följer av eftersom . Låt externa och inre krafter appliceras på en punkt i systemet . Sedan följer av Newtons andra lag: . Det följer av Newtons tredje lag att i ett mekaniskt system är summan av momenten av inre krafter lika med noll, eftersom dessa krafter för ett par samverkande punkter är riktade längs den räta linjen som förbinder dem (detta är väsentligt), lika i absoluta värde och motsatt riktning. Vi kommer fram till påståendet om satsen: . $n$ $m_{i}$ ${\vec {v}}_{i}$ ${\vec {r}}_{i}$ ${\vec {L}}_{0}=\sum _{k=1}^{n}{\vec {r}}_{k}\times m_{k}{\vec {v} }_{k}$ ${\frac {d{\vec {L}}_{0}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\summa _{k=1}^{n}({\ vec {r}}_{k}\times m_{k}{\vec {v}}_{k})=\sum _{k=1}^{n}{\frac {d}{dt}} ({\vec {r}}_{k}\ gånger m_{k}{\vec {v}}_{k})=\summa _{k=1}^{n}{\frac {d{\ vec {r}}_{k}}{dt}}\times m_{k}{\vec {v}}_{k}+\sum _{k=1}^{n}{\vec {r} }_{k}\ gånger {\frac {d}{dt}}(m_{k}{\vec {v}}_{k})=\summa _{k=1}^{n}{\vec {r}}_{k}\ gånger {\frac {d}{dt}}(m_{k}{\vec {v}}_{k})$ ${\frac {d{\vec {r}}_{k}}{dt}}\times m_{k}{\vec {v}}_{k}={\vec {v}}_ {k}\times m_{k}{\vec {v}}_{k}=0$ $v_{k}m_{k}v_{k}\sin({\vec {v}}_{k},m_{k}{\vec {v}}_{k})=0$ $k$ ${\vec {F}}_{k}^{e}$ ${\vec {F}}_{k}^{i}$ ${\vec {r}}_{k}\times {\frac {d}{dt}}(m_{k}{\vec {v}}_{k})={\vec {r} }_{k}\times {\vec {F}}_{k}^{e}+{\vec {r}}_{k}\times {\vec {F}}_{k}^{i }$ ${\frac {d{\vec {L}}_{0}}{dt}}={\vec {M}}_{0}({\vec {F}}^{e})$

Lagen om bevarande av systemets rörelsemängd

Av satsen om förändringen av systemets rörelsemängd, följer att om huvudmomentet för yttre krafter i förhållande till centrum är noll, så är rörelsemängden för systemet i förhållande till samma centrum konstant i absolut värde och riktning . ${\vec {L}}_{0}=const$

Lagen om bevarande av momentum lyder [4] :

Fallet med ett system med idealiska stationära begränsningar

I de fall där ämnet för studien endast är systemets rörelse, och reaktionerna från bindningarna inte är av intresse, använder de formuleringen av teoremet för ett system med idealiska stationära bindningar, som härleds med hänsyn till d' Alembert-Lagrange-principen .

Satsen om förändringen i rörelsemängden för ett system med idealiska stationära begränsningar säger [5] :

Detta teorem kan bevisas enligt följande. Genom att ersätta inkrementet i den allmänna ekvationen för dynamik får vi: $\sum _{k=1}^{N}({\vec {F}}_{k}-m_{k}{\vec {w}}_{k})\delta {\vec { r}}_{k}=0$ $\delta {\vec {r}}_{k}={\vec {i}}\delta \varphi \times {\vec {r}}_{k}$

\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d{\vec {v}}_{k}}{dt}}({\vec {i}}\times {\vec {r}}_{k})=(\sum _{k=1}^{N}{\vec {F}}_{k})({\vec {i}}\ gånger {\ vec{r}}_{k})

På grund av det faktum att skalärvektorprodukten inte förändras med en cyklisk permutation av faktorer:

{\vec {i}}\sum _{k=1}^{N}({\vec {r}}_{k}\times m_{k}{\frac {d{\vec {v }}_{k}}{dt}})={\vec {i}}\summa _{k=1}^{N}({\vec {r}}_{k}\times {\vec { F}}_{k})

eller

{\vec {i}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}({\vec {r}}_{k}\ gånger m_{k} {\vec {v}}_{k})={\vec {i}}\sum _{k=1}^{N}({\vec {r}}_{k}\times {\vec { F}}_{k}^{ae})

eller

{\vec {i}}{\frac {d{\vec {L}}_{0}}{dt}}=\summa _{k=1}^{N}mamma_{x}F_{ x}^{ae}

eller

{\frac {d}{dt}}({\vec {i}}{\vec {L}}_{0})=\summa _{k=1}^{N}mamma_{x} F_{x}^{ae}

Slutresultat:

{\frac {dL_{x}}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}mamma_{x}F_{x}^{ae}

Formlerna använder symbolerna (aktiv, det vill säga inte är en reaktion av bindningar, kraft) och (yttre kraft). ${\displaystyle ^{a))$ ${\displaystyle ^{e))$

Se även

Anteckningar

↑ Tarasov, 2012 , sid. 320.
↑ Zhirnov N. I. Klassisk mekanik. — Serie: lärobok för studerande vid fysik- och matematiska fakulteter vid pedagogiska institut. - M., Upplysning , 1980. - Upplaga 28 000 ex. - Med. 261
↑ 1 2 3 Yavorsky B. M. , Detlaf A. A. , Lebedev A. K. Handbok i fysik för ingenjörer och universitetsstudenter. - M., Oniks, 2007. - ISBN 978-5-488-01248-6 . - Med. 83-84
↑ Tarasov, 2012 , sid. 321.
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Den klassiska mekanikens grunder. - M .: Högre skola, 1999. - S. 223. - ISBN 5-06-003587-5

Litteratur

Tarasov V. N., Boyarkina I. V., Kovalenko M. V., Fedorchenko N. P., Fisenko N. I. Teoretisk mekanik. - M. : TransLit, 2012. - ISBN 978-5-94976-455-8 sidor = 560.