Värmekapacitet hos elektrongas

Elektrongasens värmekapacitet är den mängd värme som måste överföras till elektrongasen för att höja dess temperatur med 1 K. Den är mycket mindre i storlek vid höga temperaturer än värmekapaciteten hos kristallgittret .

Degenererad gas

För en tredimensionell icke-interagerande elektrongas i metaller med en parabolisk spridningslag, lyder energifördelningen av elektroner Fermi-Dirac statistik . Vid tillräckligt låga temperaturer bestäms värmekapaciteten hos en degenererad gas av formeln [1]

c_{V}^{e}={\frac {(2m)^{3/2}}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\mu _{0}^{ 3/2}{\frac {\pi ^{2}}{3}}k_{B}^{2}T=k_{B}n_{0}{\frac {\pi ^{2}}{3 }}{\frac {k_{B}T}{\mu _{0}}}=ZR{\frac {\pi ^{2}}{3}}{\frac {k_{B}T}{\ mu_{0}}}

där är elektronmassan , är den reducerade Planck-konstanten , är Boltzmann-konstanten , är Fermi-nivån , är temperaturen , är antalet elektroner per volymenhet, är den universella gaskonstanten , är antalet valenselektroner per atom. $m$ $\hbar$ $k_B$ $\mu_{0}$ $T$ $n_{{0}}$ $R$ $Z$

Värmekapaciteten tenderar att bli noll vid låga temperaturer, vilket uppfyller Nernst-satsen och ökar linjärt med temperaturen. Eftersom värmekapaciteten hos kristallgittret vid låga temperaturer är proportionell mot temperaturens kub (se Debyes lag ), så finns det ett område med låga temperaturer där elektronernas värmekapacitet är större än gittrets värmekapacitet. Vid temperaturer högre än Debye-temperaturen överstiger dock inte det elektroniska delsystemets bidrag till den totala värmekapaciteten för det fasta materialet några procent. För dessa temperaturer,

{\frac {c_{V}^{e}}{c_{V}^{L}}}\approx {\frac {k_{b}T}{\mu _{0}}}

var är värmekapaciteten hos kristallgittret. $c_{V}^{L}$

Detta förhållande förklaras av det faktum att endast de elektroner som har en energi nära Fermi-energin bidrar till elektronvärmekapaciteten . Elektroner med energier som är mycket lägre än Fermi-nivåns energi kan inte ta emot värme, eftersom de för att öka energin skulle behöva flytta till nära energinivåer inom det band som redan är upptaget av andra elektroner. På grund av Pauli-principen är övergången till ett tillstånd upptaget av en annan elektron omöjlig.

Icke-degenererad elektrongas

I inre halvledare är elektronen eller hålgasen i respektive ledningsbandet eller valensbandet icke-degenererade. En elektron eller ett hål kan ändra sin energi eftersom deras koncentration är jämförbar med antalet fria tillstånd. Det finns emellertid få sådana elektroner eller hål i den inneboende halvledaren, därför, även om bidraget från var och en av dem till värmekapaciteten enligt ekvipartitionslagen är , bildas dessa kvasipartiklar endast när en elektron passerar från valensbandet till ledningen band. Sannolikheten för en sådan övergång är proportionell mot , var är bandgapet och är den kemiska potentialen . Vid höga temperaturer . Eftersom bidraget av elektroner och hål till värmekapaciteten är försumbart. Det kan uppskattas med hjälp av formeln ${\frac {3k_{B}}{2}}$ $\exp(-{\frac {E_{g}-\mu }{k_{B}T)))$ $T.ex}$ $\mu$ $\mu \approx E_{g}/2$ $E_{g}\gg k_{B}T$

c_{V}^{e}=k_{B}n_{i}\exp(-E_{g}/2k_{B}T)\left({\frac {15}{2))+3 {\frac {E_{g}}{k_{B}T}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {E_{g}}{k_{B}T}}\right )^{2}\right)

Se även

Debye modell

Anteckningar

↑ Blatt F. Fysik för elektronisk konduktivitet i fasta ämnen. - M., Mir, 1971. - sid. 80