Brahmagupta-Fibonacci identitet

Brahmagupta-Fibonacci- identiteten , även kallad Brahmagupta -identiteten eller den diofantiska identiteten [1] [2] [3] [4] är en algebraisk identitet som visar hur produkten av två kvadratsummor kan representeras som en summa av kvadrater ( och på två sätt):

{\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left( ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left (ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}

I termer av allmän algebra betyder denna identitet att mängden av alla summor av två kvadrater är sluten under multiplikation .

Exempel: $(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.$

Historik

Denna identitet publicerades först på 300-talet e.Kr. e. Diophantus av Alexandria i avhandlingen "Aritmetik" (bok III, sats 19). Den indiske matematikern och astronomen Brahmagupta på 600-talet upptäckte förmodligen självständigt och generaliserade identiteten något genom att lägga till en godtycklig parameter : $n$

{\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left( ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n \left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}

Brahmagupta beskrev identiteten i avhandlingen "Brahma-sphuta-siddhanta" ("Förbättrade läror av Brahma", 628) och använde Pells ekvation för att lösa ( nedan )

I Europa dök identitet först upp i Fibonaccis bok om kvadrater ( Liber quadratorum ) (1225).

Komplex representation

Låta vara komplexa tal . Då är Brahmagupta-Fibonacci-identiteten ekvivalent med den multiplikativa egenskapen för den komplexa modulen : $a+bi,c+di$

|a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.

Genom att kvadrera båda sidor får vi faktiskt:

|a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},

eller enligt moduldefinitionen:

(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2 }.

Applikationer

Lösning av Pells ekvation

Som nämnts ovan använde Brahmagupta sin identitet (3), (4) när han löste Pell-ekvationen [5] :

x^{2}-ny^{2}=1,

var är ett naturligt tal som inte är en kvadrat. Brahmagupta valde först den initiala lösningen av ekvationen och skrev sedan identiteten i följande form [5] : $n$

(x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2} }+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},

Detta visar att om tripplarna och bildar en lösning till ekvationen x 2 − Ay 2 = k , så kan ytterligare en trippel hittas ${\displaystyle x_{1},y_{1},k_{1))$ ${\displaystyle x_{2},y_{2},k_{2))$

(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{ 1}k_{2})

och så vidare, att få ett oändligt antal lösningar.

En allmän metod för att lösa Pells ekvation, publicerad 1150 av Bhaskara II ( "chakravala"-metoden ), förlitar sig också på Brahmaguptas identitet.

Nedbrytning av ett heltal till summan av två kvadrater

Kombinerat med Fermat–Euler-satsen visar Brahmagupta–Fibonacci-identiteten att produkten av kvadraten av ett heltal och valfritt antal primtal av formen kan representeras som en summa av kvadrater. $4m+1$

Variationer och generaliseringar

Identiteten tillämpades ursprungligen på heltal , men den är giltig i alla kommutativa ringar eller fält , som polynomringen eller fältet med komplexa tal .

Brahmagupta-Fibonacci-identiteten är ett specialfall av Eulers fyrkantiga identitet eller Lagrange-identiteten (talteori) . Den fyrkantiga identiteten gäller också för quaternions , och den analoga åtta-kvadratidentiteten för oktonioner .

Anteckningar

↑ Brahmagupta-Fibonacci-identitet . Hämtad 11 augusti 2020. Arkiverad från originalet 31 december 2020. (obestämd)
↑ Marc Chamberland: Ensiffriga siffror: I priset av små siffror . Princeton University Press, 2015, ISBN 9781400865697 , sid. 60
↑ Stillwell, 2002 , sid. 76
↑ Shanks, Daniel , Solved and unsolved problems in number theory, s.209, American Mathematical Society, fjärde upplagan 1993.
↑ 1 2 History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 195.

Litteratur

Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Joseph, George G. (2000), [ [1] i Google Books The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics] (2:a upplagan), Princeton University Press , sid. 306, ISBN 978-0-691-00659-8 , < [2] i " Google Books ">
Stillwell, John (2002), [ [3] i Google Books Mathematics and its history] (2:a upplagan), Springer , sid. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6 , < [4] i " Google Books ">

Länkar

Brahmaguptas identitet på PlanetMath
Brahmagupta Identity på MathWorld
En samling algebraiska identiteter