Capelli identitet

Capelli-identiteten är en analog till matrisrelationen för differentialoperatorer med icke-pendlande element associerade med Lie-algebra-representationen . Används för att korrelera invarianten med invarianten , där är Cayley-processen . Uppkallad efter Alfredo Capelli , som etablerade detta resultat 1887 . $\mathrm{det}(AB) = \mathrm{det}(A) \, \mathrm{det}(B)$ $\mathfrak{gl}_n$ $\mathsf f$ $\Omega \mathsf f$ $\Omega$

Formulering

Låt oss vara pendlingsvariabler och vara polarisationsoperatorn: $x_{ij}$ $i, j = 1, \dots , n$ $E$

E_{ij} = \sum_{a=1}^n x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja))

Capelli-identiteten säger att följande differentialoperatorer, uttryckta som determinanter, är lika:

\begin{vmatrix} E_{11}+n-1 & \cdots &E_{1,n-1}& E_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots&\vdots\\ E_{n-1,1} & \cdots & E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n} \\ E_{n1} & \cdots & E_{n,n-1}& E_{nn} +0\end {vmatrix} = \begin{vmatrix} x_{11} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots\\ x_{n1} & \cdots & x_{nn} \end{vmatrix} \ börja{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x_{11)) & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{1n)) \\ \vdots& \ddots & \vdots\\ \frac{ \partial}{\partial x_{n1}} & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{nn}} \end{vmatrix}.

Båda sidor av denna jämlikhet är differentialoperatörer. Determinanten på vänster sida har icke-pendlande element, och när den utökas bevarar den ordningen på dess faktorer från vänster till höger. En sådan determinant kallas ofta en kolumndeterminant.[ okänd term ] , eftersom den kan erhållas genom att expandera determinanten i kolumner, med början från den första kolumnen. Detta kan formellt skrivas som

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) A_{\sigma(1),1}A_{\sigma(2),2}\cdots A_{\sigma(n) ,n},

där i produkten kommer elementen från den första kolumnen först, sedan från den andra och så vidare. Determinanten i den andra faktorn på den högra sidan av jämlikheten är Omega Cayley-processen , och i den första faktorn är Capelli-determinanten .

Operatörer E ij kan skrivas i matrisform:

E = XD^t,

där finns matriser med elementen E ij , x ij , respektive. Om alla element i dessa matriser pendlar, då uppenbarligen . Capelli-identiteten visar att formeln ovan kan ges en mening, trots att den inte är omväxlande. Priset för att inte byta är en liten korrigering: på vänster sida av ekvationen. I det allmänna fallet, för icke-pendlande matriser, formler som t.ex $E, X, D$ $\frac{\partial}{\partial x_{ij))$ $\det(E) = \det(X) \det(D^t)$ $(ni)\delta_{ij}$

\det(AB)=\det(A)\det(B)

existerar inte, och själva begreppet en determinant har ingen mening. Det är därför Capelli-identiteten fortfarande är något mystisk, trots dess många bevis. Det finns tydligen inga korta bevis. En direkt identitetskontroll kan göras som en relativt enkel övning för n = 2, men redan för n = 3 skulle en direkt kontroll vara för lång.

Representation theory connection

Med tanke på den allmänna situationen antar vi att båda är två heltal och för är pendlingsvariabler. Omdefiniera nästan samma som tidigare: $n$ $m$ $x_{ij}$ $i = 1, \dots, n, \j = 1, \dots, m$ $E_{ij}$

E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja))

med den enda skillnaden att summeringsindexet sträcker sig från till . Det är lätt att se att sådana kommutatorer av dessa operatörer uppfyller följande relationer: $a$ $ett$ $m$

[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}

Här betyder switch . Det är samma relationer som gäller för matriser där det finns nollor överallt, förutom positionen där 1 är placerad (Sådana matriser kallas ibland matrisenheter ). Därför drar vi slutsatsen att kartläggningen bestämmer representationen av Lie-algebra i vektorrymden för polynom i . $[a,b]$ $ab-ba$ $e_{ij}$ $(I j)$ $e_{ij}$ $\pi : e_{ij} \mapsto E_{ij}$ $\mathfrak{gl}_n$ $x_{ij}$

Fallet m = 1 och representationen S k C n

När vi betraktar det speciella fallet m = 1, har vi x i1 , som vi kommer att förkorta som x i :

E_{ij} = x_i \frac{\partial}{\partial x_j}.

I synnerhet för polynom av första graden kan man se att:

E_{ij} x_k = \delta_{jk} x_i

Därför är åtgärden begränsad till utrymmet av polynom av första graden på exakt samma sätt som verkan av matrisenheter på vektorer i . Sålunda, ur representationsteoris synvinkel , är underrummet av polynom av första graden en underrepresentation av Lie-algebra , som vi identifierar med standardrepresentationen i . Det ses vidare att differentialoperatorerna bevarar graden av polynom, och därmed bildar polynomen av varje fast grad en subrepresentation av Lie-algebra . Det ses också att utrymmet för homogena polynom av grad k kan definieras av standardrepresentationens symmetriska gradtensor . $E_{ij}$ $e_{ij}$ $\mathbb{C}^{n}$ $\mathfrak{gl}_n$ $\mathbb{C}^{n}$ $E_{ij}$ $\mathfrak{gl}_n$ $S^k \mathbb{C}^n$ ${\mathbb C}^{n}$

Strukturen för den maximala vikten av dessa representationer kan också definieras . Monomial är den maximala viktvektorn . Ja, för i < j . Dess maximala vikt är ( k , 0, … ,0) eftersom . $x^k_1$ $E_{ij}x^k_1=0$ $E_{ii} x^k_1= k \delta_{i1}x^k_1$

Denna representation kallas ibland den bosoniska representationen . Liknande formler definierar den så kallade fermioniska representationen, där är antikommutativa variabler. Återigen, polynom av grad k bildar en irreducible subrepresentation isomorphic till , det vill säga en antisymmetrisk tensor av grad . Den maximala vikten för en sådan representation är (0, …, 0, 1, 0, …, 0). Dessa representationer för k = 1, …, n är fundamentala representationer . $\mathfrak{gl}_n$ $E_{ij} = \psi_{i}\frac{\partial}{\partial \psi_{j))$ $\psi_{i}$ $\Lambda^k \mathbb{C}^{n}$ $\mathbb{C}^{n}$ $\mathfrak{gl}_n$

Capellis identitet för m = 1

Låt oss återvända till Capelli-identiteten. Man kan bevisa följande:

\det(E+(ni)\delta_{ij}) = 0, \qquad n>1

Den huvudsakliga motiveringen för denna jämlikhet är följande: överväg några pendlingsvariabler . Matrisen har rang 1 och därför är dess determinant noll. Elementen i matrisen definieras av liknande formler, men dess element pendlar inte. Capellis identitet visar att den kommutativa identiteten kan bevaras genom att korrigera matrisen . $E^c_{ij} = x_i p_j$ $x_i, p_j$ $E^{c}$ $E$ $\det(E^{c})=0$ $(ni)\delta_{ij}$ $E$

Observera också att en liknande identitet för det karakteristiska polynomet:

\det(t+E+(ni)\delta _{ij})=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},

var . Detta är den icke-kommutativa analogen av det enkla faktum att det karakteristiska polynomet i en rang-1-matris endast innehåller de första och andra koefficienterna. $t^{[k]}=t(t+1) \cdots (t+k-1)$

Tänk på ett exempel för n = 2.

\begin{align} & \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\ E_{21} & t+ E_{22} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} t+ x_1 \partial_1 +1 & x_1 \partial_2 \\ x_2 \partial_1 & t+ x_2 \partial_2 \end{vmatrix} \\[8pt] & = (t+ x_1 \partial_1+1 ) ( t+ x_2 \partial_2)- x_2 \partial_1 x_1 \partial_2 \ \[6pt] & = t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2) +x_1 \partial_1 x_2 \partial_2+x_2 \partial_2 - x_2 \partial_1 x_1 \partial_2 \end{align}

Använder sig av

\partial _{1}x_{1}=x_{1}\partial _{1}+1,\partial _{1}x_{2}=x_{2}\partial _{1},x_ {1}x_{2}=x_{2}x_{1}

vi ser att detta är lika med:

\begin{align} & {} \quad t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2) +x_2 x_1 \partial_1 \partial_2+x_2 \partial_2 - x_2 x_1 \partial_1 \partial_2 - x_2 \partial_2 \ \[8pt] & = t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2)=t^{[2]}+ t\,\mathrm{Tr}(E). \end{align}

Universell omslutande algebra och dess centrum $U(\mathfrak{gl}_n)$

En intressant egenskap hos Capelli-determinanten är att den pendlar med alla operatorer E ij , det vill säga kommutatorerna är noll. $[E_{ij},\det(E+(ni)\delta _{ij})]$

Detta uttalande kan generaliseras enligt följande. Betrakta alla element E ij i valfri ring som uppfyller kommutatorrelationen , (de kan till exempel vara differentialoperatorer, som ovan, matrisenheter e ij eller andra element). Vi definierar elementen i C k enligt följande: $[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}$

\det(t+E+(ni)\delta _{ij})=t^{[n]}+\summa _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]} C_{k},

var $t^{[k]}=t(t+1)\cdots(t+k-1),$

sedan:

element C k pendlar med alla element E ij
element i C k kan representeras av formler som liknar det kommutativa fallet:

C_k=\sum_{I=(i_1<i_2<\cdots<i_k)} \det(E+(ki)\delta_{ij})_{II},

det vill säga de är summorna av de huvudsakliga minorerna i matrisen E , modulo Capelli-korrigeringarna . I synnerhet är elementet C0 den ovan diskuterade Capelli-determinanten. $+(ki)\delta_{ij}$

Dessa uttalanden är relaterade till Capelli-identiteten, som kommer att visas nedan, och det finns tydligen inga direkta korta bevis för dem heller, trots enkelheten i formuleringarna.

Den universella omslutande algebra kan definieras som den algebra som genereras av E ij relaterad endast av relationerna $U(\mathfrak{gl}_n)$

[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}

Utsagan ovan visar att elementen C k tillhör centrum . Dessutom kan det bevisas att de är gratis generatorer av centrum . De kallas ibland Capelli-generatorer . Capelli-identiteterna för dem kommer att övervägas nedan. $U(\mathfrak{gl}_n)$ $U(\mathfrak{gl}_n)$

Tänk på ett exempel med n = 2.

\begin{align} {}\quad \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\ E_{21} & t+ E_{22} \end{vmatrix} & = (t+ E_{11 }+1)(t+ E_{22})-E_{21}E_{12} \\ & = t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{ 22}-E_{21}E_{12}+E_{22}. \end{align}

Det är direkt verifierat att elementet pendlar med . (Detta motsvarar det uppenbara faktum att identitetsmatrisen pendlar med alla andra matriser). Mer lärorikt är att kontrollera kommutativiteten för det andra elementet med . Låt oss köra det för : $(E_{11}+E_{22})$ $E_{ij}$ $E_{ij}$ $E_{12}$

[E_{12}, E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]

=[E_{12}, E_{11}] E_{22} + E_{11} [E_{12}, E_{22}] - [E_{12}, E_{21}] E_{12} - E_ {21}[E_{12},E_{12}] +[E_{12},E_{22}]

=-E_{12} E_{22} + E_{11} E_{12} - (E_{11}- E_{22}) E_{12} - 0 +E_{12}

=-E_{12} E_{22} + E_{22} E_{12} +E_{12}= -E_{12} + E_{12}=0.

Vi ser att den naiva determinanten inte pendlar med och Capelli-korrigeringen är väsentlig för att tillhöra centrum. $E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}$ $E_{12}$ $+E_{22}$

Godtyckliga m och dubbla par

Låt oss gå tillbaka till det allmänna fallet:

E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja)),

för godtyckliga n och m . Definitionen av operatorer E ij kan skrivas i matrisform: , där är en matris med element ; är en matris med element ; är en matris med element . $E = XD^t$ $E$ $n\ gånger n$ $E_{ij}$ $X$ $n \ gånger m$ $x_{ij}$ $D$ $n \ gånger m$ $\frac{\partial}{\partial x_{ij))$

Capelli-Cauchy-Binet-identiteter

För godtycklig m är matrisen E produkten av två rektangulära matriser: X och transponerad till D . Om alla element i dessa matriser pendlar, så kan determinanten för matrisen E uttryckas med den så kallade Binet-Cauchy-formeln ] i termer av minor X och D. En liknande formel finns för matris E igen för en liten korrigeringsavgift : $E \högerpil (E+(ni)\delta_{ij})$

\det(E+(ni)\delta_{ij}) = \sum_{I=(1\le i_1<i_2<\cdots <i_n \le m)} \det(X_{I}) \det(D^t_ {I})

I synnerhet (liknande det kommutativa fallet): om m<n , då ; i fallet m=n återgår vi till identiteten ovan. $\det(E+(ni)\delta_{ij}) =0$

Observera att man, på samma sätt som det kommutativa fallet, inte bara kan uttrycka determinanten h E , utan även dess mindreåriga i termer av minderåriga X och D :

\det(E+(si)\delta_{ij})_{KL} = \sum_{I=(1\le i_1<i_2< \cdots <i_s \le m)} \det(X_{KI}) \det (D^t_{IL})

Här är K = ( k 1 < k 2 < … < k s ), L = ( 1 1 < l 2 < … < l s ) godtyckliga multi-index; betecknar som vanligt submatrisen M som bildas av elementen i M k a l b . Observera att Capelli-korrigeringen nu innehåller s istället för n som i föregående formel. Observera att för s=1 försvinner korrigeringen ( s − i ) och vi får helt enkelt definitionen av E som produkten av X och transponeringen av D . Notera också att för godtyckliga K, L pendlar inte motsvarande minderåriga med alla element i E ij , så att Capelli-identiteten existerar inte bara för de centrala elementen. $M_{KL}$

Som en konsekvens av denna formel och formeln för det karakteristiska polynomet från föregående avsnitt nämner vi följande:

\det(t+E+(ni)\delta_{ij}) = t^{[n]}+\sum_{k=n-1,\dots,0}t^{[k]} \sum_{I, J} \det(X_{IJ}) \det(D^t_{JI}),

var . Denna formel liknar det kommutativa fallet, förutom korrigeringen på vänster sida och ersättningen av t n med t [n] till höger. $I=(1\le i_1<\cdots <i_k \le n),$ $J=(1\le j_1< \cdots <j_k \le n)$ $+(ni)\delta_{ij}$

Relation med dubbla par

Modernt intresse för dessa grupper uppstod tack vare Roger Howe , som ansåg dem i sin teori om dubbla par . När det gäller den första bekantskapen med dessa idéer har vi att göra med operatörer . Sådana operatorer bevarar graden av polynom. Betrakta polynom av första graden: , vi ser att indexet l är bevarat. Ur representationsteoretisk synvinkel kan polynom av första graden identifieras med direkt addition av representationer , här spänns det l -: te delrummet ( l=1…m ) av , i = 1, …, n . Låt oss titta på vektorrummet igen: $E_{ij}$ $E_{ij} x_{kl} = x_{il} \delta_{jk}$ $\mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n$ $x_{il}$

\mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n = \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m .

Denna synvinkel ger den första antydan om symmetri mellan m och n . För att ta en djupare titt på denna idé, överväg:

E_{ij}^\text{dual} = \sum_{a=1}^n x_{ai}\frac{\partial}{\partial x_{aj}}.

Dessa operatorer ges av samma formler som med undantag för omnumrering , därför, med samma argument, kan vi dra slutsatsen som definierar representationen av Lie-algebra i vektorrymden för polynom x ij . Innan vi går vidare, låt oss vara uppmärksamma på följande egenskap: differentialoperatorer pendlar med differentialoperatorer . $E_{ij}$ $i vänster högerpil j$ $E_{ij}^\text{dubbel}$ $\mathfrak{gl}_m$ $E_{ij}^\text{dubbel}$ $E_{kl}$

Lie-gruppen verkar på ett vektorrum på ett naturligt sätt. Det kan visas att motsvarande verkan av Lie-algebra ges av differentialoperatorerna resp . Detta förklarar kommutativiteten hos dessa operatörer. $GL_n\ gånger GL_m$ $\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m$ $\mathfrak{gl}_n \times \mathfrak{gl}_m$ $E_{ij}$ $E_{ij}^\text{dubbel}$

Dessutom är följande egenskaper sanna:

Differentialoperatorer som pendlar med är alla polynom i och bara de. $E_{ij}$ $E_{ij}^\text{dubbel}$
Nedbrytningen av ett vektorrum av polynom till en direkt summa av tensorprodukter av irreducerbara representationer och kan ges enligt följande: $GL_n$ $GL_m$

\mathbb{C} [x_{ij}] = S(\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m) = \sum_D \rho_n^D \otimes\rho_m^{D'}.

Här indexeras termerna av Young-diagrammet D , och representationerna är ömsesidigt icke-isomorfa. Diagrammet definierar och vice versa. $\rho^D$ ${D}$ ${D'}$

I synnerhet en representation av en stor grupp så att varje irreducerbar representation endast visas en gång. $GL_n\ gånger GL_m$

Det är lätt att se en stark likhet med Schur-Weil-dualiteten

Generaliseringar

Ett antal fysiker och matematiker ägnade sina arbeten åt generaliseringen av Capelli-identiteten, bland dem: R. Howe, B. Constant [1] [2] , Fields-medaljören A. Okounkov [3] [4] , A. Sokal , [5] D. Zeilberger. [6]

Förmodligen erhölls de första generaliseringarna av Herbert Westren Tarnbull redan 1948, [7] som fann en generalisering för fallet med symmetriska matriser (se modern översikt i [5] [6] ).

De återstående generaliseringarna kan delas in i flera grupper. De flesta av dem är baserade på Lie algebra synvinkel. Sådana generaliseringar består av att ersätta Lie-algebra med en halvenkel Lie-grupp [8] och deras superalgebra [9] [10] kvantgruppen , [11] [12] och efterföljande utveckling av ett sådant tillvägagångssätt [13] . Identiteten kan också generaliseras till andra dubbla par. [14] [15] Slutligen kan vi överväga inte bara determinanten av matrisen E, utan också dess permanenta [16] , spåret av dess krafter och immananten . [3] [4] [17] [18] Låt oss nämna några fler verk $\mathfrak{gl}_n$ [ förtydliga ] : [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] . Man trodde länge att identiteten är djupt relaterad till den halvenkla Lie-gruppen. En ny rent algebraisk generalisering av identiteten, som hittades 2008 [5] av S. Caraciollo, A. Sportiello, A. Sokal, har dock ingenting att göra med Lie-algebra.

Turnbulls identitet för symmetriska matriser

Tänk på symmetriska matriser

X=\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ x_{12} & x_{22} & x_{23} &\cdots & x_ {2n} \\ x_{13} & x_{23} & x_{33} &\cdots & x_{3n} \\ \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ x_{1n} & x_ {2n} & x_{3n} &\cdots & x_{nn} \end{vmatrix}, D=\begin{vmatrix} 2 \frac{\partial} { \partial x_{11} } & \frac{\partial } {\partial x_{12}} & \frac{\partial} { \partial x_{13}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{1n} } \\[6pt] \frac{ \partial} {\partial x_{12} } & 2 \frac{\partial} {\partial x_{22)) & \frac{\partial} { \partial x_{23)) &\cdots & \frac{\ partial}{\partial x_{2n} } \\[6pt] \frac{\partial} {\partial x_{13} } & \frac{\partial} {\partial x_{23)) & 2\frac{\ partial} { \partial x_{33}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{3n} } \\[6pt] \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ \frac {\partial} {\partial x_{1n} } & \frac{\partial} {\partial x_{2n)) & \frac{\partial} { \partial x_{3n)) &\cdots & 2 \frac{ \partial}{\partial x_{nn} } \end{vmatrix}

Herbert Turnbull [7] upptäckte följande ekvation 1948 :

\det(XD+(ni)\delta _{ij})=\det(X)\det(D)

Ett kombinatoriskt bevis finns i [6] för ett annat bevis och intressant[ förtydliga ] generaliseringar i [5] se även diskussionen nedan.

Howe-Umeda-Constant-Sahi-identitet för antisymmetriska matriser

Tänk på antisymmetriska matriser

X=\begin{vmatrix} 0 & x_{12} & x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ -x_{12} & 0 & x_{23} &\cdots & x_{2n} \\ -x_{13} & -x_{23} & 0 &\cdots & x_{3n} \\ \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ -x_{1n} & -x_{2n} & -x_{3n} &\cdots & 0 \end{vmatrix}, D=\begin{vmatrix} 0 & \frac{\partial} {\partial x_{12)) & \frac{\partial} {\partial x_ {13}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{1n} } \\[6pt] -\frac{\partial} { \partial x_{12} } & 0 & \frac{\partial } { \partial x_{23}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{2n} } \\[6pt] -\frac{\partial} {\partial x_{13} } & -\ frac{\partial} {\partial x_{23)) & 0 &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{3n} } \\[6pt] \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \ vdots \\[6pt] -\frac{\partial} {\partial x_{1n} } & -\frac{\partial} {\partial x_{2n)) & -\frac{\partial} {\partial x_{ 3n}} &\cdots & 0 \end{vmatrix}.

Sedan

\det(XD+(ni)\delta _{ij})=\det(X)\det(D).

Caraciollo-Sportiello-Sokal-identiteten för Manin-matriserna

Betrakta två matriser M och Y över någon associativ ring som uppfyller villkoret

[M_{ij},Y_{kl}]=-\delta _{jk}Q_{il}

för vissa delar av Q il . Med andra ord pendlar elementen i den j -: te kolumnen M med elementen i den k -: te raden Y när , och i fallet när , kommutatorn för elementen M ik och Y kl beror endast på i , l , men inte på k . $j\neq k$ $j=k$

Antag att M är en Manin-matris (det enklaste exemplet är en matris med pendlingselement).

Då för fallet med en kvadratisk matris

\det(MY+ Q \,\mathrm{diag}(n-1, n-2, \dots , 1,0) ) = \det(M) \det(Y)

Här är Q en matris med poster Q il , och diag( n − 1, n − 2, …, 1, 0) betyder en diagonal matris med poster n − 1, n − 2, …, 1, 0 på diagonalen.

Se [5] Proposition 1.2' formel (1.15) s. 4, vårt Y är en transposition till deras B .

Uppenbarligen är Cappellis ursprungliga identitet ett specialfall av denna identitet. Dessutom visar denna identitet att man i den ursprungliga Kappeli-identiteten kan beakta elementen

\frac{\partial} {\partial x_{ij} } + f_{ij}(x_{11},\dots,x_{kl},\dots)

för godtyckliga funktioner f ij och identiteten fortsätter att vara giltig.

Mukhin-Tarasov-Varchenko-identiteten och Gaudin-modellen

Formulering

Betrakta matriserna X och D som i Capelli-identiteten, det vill säga med element och i position ( ij ). $x_{ij}$ $\partial_{ij}$

Låt z vara en annan formell variabel (pendling med x ). Låt A och B vara några matriser vars element är komplexa tal.

\det\left( \frac{\partial}{\partial_z} - A - X \frac{1}{zB} D^t \right)

={\det}^\text{beräkna som om alla pendlar}_{\text{Sätt alla }x\text{ och }z\text{ till vänster medan alla härledningar är till höger}}

\left( \frac{\partial}{\partial_z} - A - X \frac{1}{zB} D^t \right)

Här ska den första determinanten förstås, som alltid, som en determinant över kolumnerna i en matris med icke-kommutativa poster. Den andra determinanten måste beräknas och placera (som om alla element är kommutativa) alla x och z till vänster och alla härledningar till höger (ett sådant recept kallas normalordningen i kvantmekaniken ).

Kvantintegrerbart Gaudin-system och Talalaevs teorem

Matris

L(z) = A + X \frac{1}{zB} D^t

är Lax-matrisen för en kvantintegrerbar systemspinkedja[ term okänd ] Gaudin. D. Talalaev löste det gamla problemet med explicit lösning för den kompletta uppsättningen bevarandelagar för kvantkommutering i Gaudin-modellen genom att upptäcka följande teorem.

Låt oss sätta

\det\left(\frac{\partial}{\partial_z} - L(z) \right) =\sum_{i=0}^n H_i(z) \left(\frac{\partial}{\partial_z} \höger)^i.

Sedan för alla i, j, z, w

[H_{i}(z),H_{j}(w)]=0,

dvs. Hi ( z ) genererar funktioner av z för differentialoperatorer för x , som alla pendlar. Så de ger bevarandelagarna för kvantkommutering i Gaudin-modellen.

Permanenter, immananter, matrisspår - "högre Capelli-identiteter"

Den ursprungliga Capelli-identiteten är ett uttalande om determinanter. Senare hittades liknande identiteter för permanenta, immanenter och spår av en matris. Baserat på det kombinatoriska tillvägagångssättet var artikeln av S. G. Williamson [26] ett av de första resultaten i denna riktning.

Turnbulls identitet för permanenter av antisymmetriska matriser

Betrakta antisymmetriska matriser X och D med element x ij och motsvarande derivator, som i fallet Hove-Umeda-Constant-Sahi ovan .

Sedan

\mathrm{perm}(X^tD -(ni)\delta_{ij}) = \mathrm{perm}^\text{beräkna som om alla pendlar}_{\text{Sätt alla }x\text{ till vänster , medan alla härledningar är till höger}} ( X^t D).

För att citera: [6] "...säger utan bevis i slutet av Turnbulls papper." Författarna själva följer Turnbull - i slutet av sitt arbete skriver de:

"Eftersom beviset för denna sista identitet är mycket likt det för Turnbulls symmetriska analog (med en liten avvikelse), lämnar vi det som en lärorik och njutbar övning för läsaren."

Denna jämlikhet analyseras i [27] .

Anteckningar

↑ Kostant, B. & Sahi, S. (1991), The Capelli Identity, rördomäner och den generaliserade Laplace-transformen , Advances in Math. T. 87: 71–92 , DOI 10.1016/0001-8708(91)90062-C
↑ Kostant, B. & Sahi, S. (1993), Jordan algebras and Capelli identiities , Inventiones Mathematicae T. 112 (1): 71–92 , DOI 10.1007/BF01232451
↑ 1 2 Okounkov, A. (1996), Quantum Immanants and Higher Capelli Identities
↑ 1 2 Okounkov, A. (1996), Young Basis, Wick Formula, and Higher Capelli Identities
↑ 1 2 3 4 5 Caracciolo, S.; Sportiello, A. & Sokal, A. (2008), Icke-kommutativa determinanter, Cauchy-Binet-formler och identiteter av Capelli-typ. I. Generaliseringar av Capelli och Turnbulls identiteter
↑ 1 2 3 4 Foata, D. & Zeilberger, D. (1993), Combinatorial Proofs of Capelli's and Turnbull's Identities from Classical Invariant Theory
↑ 1 2 Turnbull, Herbert Westren (1948), Symmetric determinants and the Cayley and Capelli operators , Proc. Edinburgh Math. soc. V. 8 (2): 76–86 , DOI 10.1017/S0013091500024822
↑ Molev, A. & Nazarov, M. (1997), Capelli Identities for Classical Lie Algebras
↑ Molev, A. (1996), Faktoriella supersymmetriska Schur-funktioner och super Capelli-identiteter
↑ Nazarov, M. (1996), Capelli-identiteter för Lie-superalgebra
↑ Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1994), A quantum analoge of the Capelli identity and an elementary differential calculus on GLq(n) , Duke Mathematical Journal vol. 76 (2): 567–594, doi : 10.1215/S0012 -7094-94-07620-5 , < http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286975 > Arkiverad 1 mars 2014 på Wayback Machine
↑ Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1996), Dual pairs, spherical harmonics and a Capelli identity in quantum group theory , Compositio Mathematica T. 104 (2): 227–277 , < http://www.numdam.org /item?id=CM_1996__104_3_227_0 > Arkiverad 27 februari 2014 på Wayback Machine
↑ Mukhin, E.; Tarasov, V. & Varchenko, A. (2006), En generalisering av Capelli-identiteten
↑ Itoh, M. (2004), Capelli-identiteter för reduktiva dubbla par , Advances in Mathematics vol. 194 (2): 345–397 , DOI 10.1016/j.aim.2004.06.010
↑ Itoh, M. (2005), Capelli Identities for the dual pair ( OM, Sp N) , Mathematische Zeitschrift T. 246 (1–2): 125–154 , DOI 10.1007/s00209-003-0591-2
↑ Nazarov, M. (1991), Quantum Berezinian and the classical Capelli identity , Letters in Mathematical Physics vol 21 (2): 123–131 , DOI 10.1007/BF00401646
↑ Nazarov, M. (1996), Yangians och Capelli identiteter
↑ Molev, A. (1996), En anmärkning om de högre Capelli-identiteterna
↑ Kinoshita, K. & Wakayama, M. (2002), Explicit Capelli identities for skew symmetric matrices , Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society vol 45(2): 449–465 , DOI 10.1017/S001309117600
↑ Hashimoto, T. (2008), Genererande funktion för GLn -invarianta differentialoperatorer i den skeva Capelli-identiteten
↑ Nishiyama, K. & Wachi, A. (2008), En anteckning om Capelli-identiteterna för symmetriska par av hermitisk typ
↑ Umeda, Toru (2008), On the proof of the Capelli identities , Funkcialaj Ekvacioj vol 51 (1): 1–15 , DOI 10.1619/fesi.51.1
↑ Brini, A & Teolis, A (1993), Capelli's theory, Koszul maps, and superalgebras , PNAS vol 90 (21): 10245–10249 , < http://www.pnas.org/content/90/21/ 10245.short > Arkiverad 24 september 2015 på Wayback Machine
↑ Koszul, J (1981), Les algebres de Lie graduées de type sl (n, 1) et l'operateur de A. Capelli, CR Acad. sci. Paris (nr 292): 139–141
↑ Orsted, B & Zhang, G (2001), Capelli-identitet och relativa diskreta serier av linjebuntar över rördomäner , < http://www.math.chalmers.se/Math/Research/Preprints/2001/13.pdf > Arkiverad 3 mars 2014 på Wayback Machine
↑ Williamson, S. (1981), Symmetry operators, polarizations, and a generalized Capelli identity , Linear & Multilinear Algebra T. 10(2): 93–102 , DOI 10.1080/03081088108817399
↑ Umeda, Toru (2000), Om Turnbull-identitet för skevsymmetriska matriser , Proc. Edinburgh Math. soc. V. 43 (2): 379–393 , DOI 10.1017/S0013091500020988

Länkar

Capelli, Alfredo (1887), Ueber die Zurückführung der Cayley'schen Operation Ω auf gewöhnliche Polar-Operationen , Mathematische Annalen (Berlin/Heidelberg: Springer) . — V. 29 (3): 331–338, ISSN 1432-1807 , DOI 10.1007/BF01447728
Howe, Roger (1989), Remarks on classical invariant theory , Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society). — T. 313 (2): 539–570, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307/2001418
Howe, Roger & Umeda, Toru (1991), The Capelli identity, the double commutant theorem, and multiplicity-free actions , Mathematische Annalen vol. 290 (1): 565–619 , DOI 10.1007/BF01459261
Umeda, Tôru (1998), The Capelli identities, a century after , Valda artiklar om harmonisk analys, grupper och invarianter , vol. 183, Amerika. Matematik. soc. Transl. Ser. 2, Providence, R.I.: Amer. Matematik. Soc., sid. 51–78, ISBN 978-0-8218-0840-5 , < https://books.google.com/books?isbn=0821808400 >
Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9 , < https://books.google.com/?id=zmzKSP2xTtYC > . Hämtad 03/2007/26.
Umeda, Toru (2000), Om Turnbull-identitet för skevsymmetriska matriser , Proc. Edinburgh Math. soc. V. 43 (2): 379–393 , DOI 10.1017/S0013091500020988