Trilatering

Trilateration (av lat. trilaterus - tripartite) är en metod för att bestämma positionen för geodetiska punkter genom att konstruera ett system av intilliggande trianglar på marken, i vilket längden på deras sidor mäts [1] . Det är en av metoderna för att bestämma koordinater på marken tillsammans med triangulering (där vinklarna för motsvarande trianglar mäts) och polygonometri (både vinklar och avstånd mäts). Trilatering baseras på en linjär skåra .

Matematisk härledning

Alternativ 1

Inom geometri är det tredimensionella trilaterationsproblemet att hitta koordinaterna för skärningspunkten för tre sfärer , som bestäms genom att lösa ett ekvationssystem . För att förenkla beräkningarna antar vi att centra för alla tre sfärer ligger i planet , en av dem sammanfaller med koordinaternas ursprung , den andra ligger på axeln . De pålagda restriktionerna minskar inte generaliteten: vilket system av motsvarande ekvationer som helst kan reduceras till denna form genom att övergå till ett annat koordinatsystem . För att hitta en lösning i det ursprungliga koordinatsystemet utsätts lösningen som finns i detta (reducerade) koordinatsystem för transformationer som är omvända till de som gjorde att den ursprungliga uppsättningen av tre punkter kunde bringas i linje med begränsningarna. $z=0$ $x$

Låt oss börja med ekvationerna för de tre sfärerna:

{\begin{cases}r_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\r_{2}^{2}=(xd)^ {2}+y^{2}+z^{2}\\r_{3}^{2}=(xi)^{2}+(yj)^{2}+z^{2}\\\ slut{cases}}

Du måste hitta en punkt som uppfyller alla tre ekvationerna. $(x,y,z)$

Subtrahera först den andra ekvationen från den första och hitta : $x$

x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2d}}

Vi anser att de två första sfärerna skär varandra vid mer än en punkt, det vill säga . I det här fallet, genom att ersätta uttrycket i ekvationen för den första sfären, får vi cirkelekvationen , som är den önskade skärningspunkten mellan de två första sfärerna: $d-r_{1}<r_{2}<d+r_{1}$ $x$

y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-{\frac {(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}) ^{2}}{4d^{2}}}

Vi ersätter : i ekvationen för den tredje sfären och finner : $y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-x^{2}$ $y$

y={\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}-x^{2}+(xi)^{2}+j^{2}}{2j}}={ \frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}+i^{2}+j^{2}}{2j}}-{\frac {i}{j}}x

Genom att känna till koordinaterna kan du enkelt hitta koordinaterna : $x$ $y$ $z$

z=\pm {\sqrt {r_{1}^{2}-x^{2}-y^{2}}}.

Nu har vi alla tre koordinaterna. Eftersom det uttrycks som en positiv eller negativ kvadratrot, kan ett givet problem ha noll, en eller två lösningar. $z$

Detta kan representeras genom att ta cirkeln som erhålls från skärningspunkten mellan de två första sfärerna och hitta dess skärning med den tredje sfären. Om denna cirkel passerar utanför den tredje sfären är koordinaten lika med roten av ett negativt tal, vilket betyder att det inte finns någon verklig lösning. Om cirkeln vidrör sfären vid exakt en punkt är den lika med noll. Om cirkeln skär sfären i två punkter, är den lika med den positiva eller negativa roten av ett positivt tal. $z$ $z$ $z$

Alternativ 2: ingen koordinattransformation

Genom att använda det faktum att varje par av sfärer skär längs en cirkel vars centrum ligger på en rät linje som förbinder sfärernas mittpunkter, och det faktum att denna cirkel ligger i ett plan vinkelrätt mot denna räta linje, kan vi lösa problemet genom en linjär ekvationssystem .

Låt vara centrum för de ursprungliga sfärerna, vara avstånden mellan sfärernas mittpunkter och vara den önskade punkten. $O_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),O_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),O_{3}(x_{3} },y_{3},z_{3})$ $d_{ij}$ $X(x,y,z)$

Hitta - mitten av skärningspunkten för de två första sfärerna. $O_{{12}}(x_{1}+\alfa (x_{2}-x_{1}),y_{1}+\alpha (y_{2}-y_{1}),z_{1}+ \alpha (z_{2}-z_{1}))$

|O_{1}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{1}^{2}

|O_{2}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{2}^{2}

Subtrahera den andra ekvationen från den första:

|O_{1}O_{{12}}|^{2}-|O_{2}O_{{12}}|^{2}=r_{1}^{2}-r_{2}^{2 }

. Låt oss omvandla:

\alpha ^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}-(1-\alpha )^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}=r_{1} ^{2}-r_{2}^{2}

\alpha ={\frac {1}{2}}+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}

Den önskade punkten ligger i ett plan som går genom och vinkelrätt mot . Därför är ekvationen för detta plan uppfylld för det: $O_{{12}}$ $O_{1}O_{2}$

(x-(1-\alpha )x_{1}-{\alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+(y-(1-\alpha )y_{1}-{ \alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1})+(z-(1-\alpha )z_{1}-{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_ {1})=0

, eller annars:

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z=((1-\alpha )x_{1}+{ \alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+((1-\alpha )y_{1}+{\alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1 })+((1-\alpha )z_{1}+{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_{1})

Efter byte får vi: $\alfa$

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}((x_{2}-x_{1}) ^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2})

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2}}

Likaså,

(x_{3}-x_{1})x+(y_{3}-y_{1})y+(z_{3}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 3}^{2}-x_{1}^{2}+y_{3}^{2}-y_{1}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}}{2}}

Skärningen mellan de två erhållna planen ger en rät linje vinkelrät mot triangelns plan. Skärningen av denna linje med triangelns plan ger en punkt - basen av vinkelrät från punkten till triangelns plan. Efter att ha kompletterat systemet med ekvationen för triangelns plan får vi ett linjärt ekvationssystem för punktens koordinater . $O$ $X$ $O$

Triangelplanets ekvation:

((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1}))(x- x_{1})+((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1 }))(y-y_{1})+((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{ 3}-y_{1}))(z-z_{1})=0

var:

{\vec {n}}((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{ 1}),(z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}), (x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))

är vektorprodukten och .

\overline {O_{1}O_{2}}

\overline {O_{1}O_{3}}

Koefficienterna vid koordinaterna för den önskade punkten bildar en 3x3 matris. Om mitten av de ursprungliga sfärerna inte ligger på en rät linje, är denna matris icke degenererad och de önskade koordinaterna hittas efter applicering av den inversa matrisen på höger sida av systemet. Beteckna punktens hittade koordinater . Sedan: $O$ $O(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{cases}x=x_{0}+k((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1 })(z_{3}-z_{1}))\\y=y_{0}+k((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_ {2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}))\\z=z_{0}+k((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_ {1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))\\k=\pm {\frac {\sqrt {r_{1}^{2}- |OO_{1}|^{2}}}{2S_{O_{1}O_{2}O_{3}}}}\\\end{fall}}

Nackdelar

Först

Kontrollen av avståndsmätningar och trilaterationsnätverkskonstruktioner i sig är för svag, och i vissa konfigurationer är den helt frånvarande, vilket är oacceptabelt i exakta geodetiska konstruktioner. Till exempel, i den första triangeln med uppmätta sidor, är mätkontroll helt frånvarande, eftersom inte en enda villkorlig ekvation uppstår, det vill säga det finns inga redundanta mätningar; i en geodetisk fyrhörning och ett centralt system med uppmätta sidor uppstår endast en villkorlig ekvation, det vill säga det finns ett otillräckligt antal redundanta mätningar [2] .

Andra

Med jämförbar noggrannhet av vinkelmätningar och linjära mätningar är noggrannheten för azimutöverföring vid trilateration betydligt lägre än vid triangulering. Styrningen utförs genom Laplace Azimuths, som möjliggör oberoende styrning och utjämning av vinkelmätningar [2] [3] .

Tredje

I tekniska och ekonomiska termer är trilatereringsmetoden betydligt sämre än triangulering. Metoden är komplex både i fältarbete och i kontorsberäkningar [2] .

Egenskaper

Klasser/led	Sidans längd, km	Sidofel (begränsar relativt fel vid bestämning av sidlängder)	Antal trianglar mellan ursprung	Minsta vinkel i en triangel, båge. grad	Minsta vinkel i en fyrhörning, båge. grad
III klass
IV klass	1-5	1: 50 000	6	tjugo	25
1 rang	0,5—6	1: 20 000	åtta	tjugo	25
2:a kategorin	0,25-3	1: 10 000	tio	tjugo	25

[fyra]

Applikation

Trilateration kan användas för att lokalisera blixtnedslag . Detektorer som arbetar på ett gemensamt synkroniserat system kan använda skillnaden i ankomsttid för radioemissionen som följer med urladdningen för att bestämma avståndet från detektorn till urladdningen. Sådana system kan vara användbara inom skogsbruket för brandförebyggande och cyklonspårning .

Denna metod kan användas i vissa fall vid bildandet av geodetiska referensnätverk av III, IV klasser, koncentration av nätverk upp till 1, 2 kategorier. När man skapade statliga geodetiska nätverk av klasserna I och II användes inte trilaterationsmetoden i Sovjetunionen [5] [6] [2] .

I samband med utvecklingen och förbättringen av noggrannheten hos ljus- och radioräckviddsutrustning, satellitnavigeringssystem, såväl som datateknik och avståndsmätningar, blir trilatereringsmetoder allt viktigare, särskilt i utövandet av ingenjörs- och geodetiskt arbete [2] .

Se även

Anteckningar

↑ Sergei Fedorovich Akhromeev, institutet för militärhistoria. Militär encyklopedisk ordbok. — Militär. förlag, 1986. - 863 sid.
↑ 1 2 3 4 5 Yakovlev N.V. § 14. GRUNDLÄGGANDE METODER FÖR ATT SKAPA DET STATLIGA GEODETISKA NÄTVERKET // Högre geodesi . - Moskva: Nedra, 1989. - S. 47 -48. — 445 sid. - 8600 exemplar. (ryska)
↑ Igor Pandul. Geodetisk astronomi som tillämpas på lösningen av tekniska geodetiska problem . — Liter, 2017-12-09. — 326 sid. — ISBN 9785040943883 . Arkiverad 21 juni 2020 på Wayback Machine
↑ Teknisk geodesi
↑ Trilateration, dess metod - vad är det? . Hämtad 4 januari 2020. Arkiverad från originalet 19 juni 2020. (obestämd)
↑ Grundläggande metoder för att skapa ett statligt geodetiskt nätverk . Hämtad 4 januari 2020. Arkiverad från originalet 7 januari 2020. (obestämd)

Litteratur

Brinker, R.C. och Minnick, R. 12. Trilateration // The Surveying Handbook . - Chapman & Hall, 1995. - 967 sid. — ISBN 9780412985119 .