Universal set

En universell mängd är en mängd i matematik som innehåller alla objekt och alla mängder. I den axiomatik där den universella uppsättningen finns är den unik.

Den universella mängden betecknas vanligtvis (från engelska universum, universal set ), mer sällan . $\mathbb {U}$ ${\mathbb {E}}$

I Zermelo-Fraenkels axiomatik visar Russells paradox med urvalsschemat och Cantors paradox att antagandet om existensen av en sådan uppsättning leder till en motsägelse .

I axiomatiken av von Neumann - Bernays - Gödel finns en universell klass - klassen av alla mängder, men det är inte en mängd. Klassen för alla uppsättningar är en objektklass av kategorin Uppsättning .

I vissa axiomatik finns det en universell uppsättning, men urvalsschemat är inte uppfyllt. Ett exempel är W. V. O. Quines teori om New Foundations

En universell uppsättning är också en uppsättning objekt som beaktas i någon del av matematiken. För elementär aritmetik är den universella mängden mängden heltal, för planets analytiska geometri är den universella mängden mängden av alla ordnade par av reella tal [1] .

I Venn-diagram representeras den universella mängden (i båda betydelserna) av uppsättningen av punkter i någon rektangel; delmängder av dess punkter visar delmängder av den universella uppsättningen [1] .

I det följande diskuteras den första innebörden av begreppet. Formlerna nedan (med undantag för ) är också sanna för det andra värdet, om något element och någon delmängd av mängden betecknas med respektive . $\mathbb {U} \in \mathbb {U}$ $a$ $A$ $\mathbb {U}$

Egenskaper för den universella uppsättningen

Varje föremål, oavsett dess natur, är en del av den universella uppsättningen. $\forall a\colon a\in \mathbb {U}$
I synnerhet innehåller den universella uppsättningen sig själv som ett av många element. $\mathbb {U} \in \mathbb {U}$
Varje uppsättning är en delmängd av den universella uppsättningen. $\forall A\colon A\subseteq \mathbb {U}$
I synnerhet är den universella uppsättningen i sig sin egen delmängd. $\mathbb {U} \subseteq \mathbb {U}$
Föreningen av en universell mängd med vilken mängd som helst är lika med den universella mängden. $\forall A\colon \mathbb {U} \cup A=\mathbb {U}$
I synnerhet är föreningen av en universell mängd med sig själv lika med den universella mängden. $\mathbb {U} \cup \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Föreningen av varje mängd med dess komplement är lika med den universella mängden. $A\cup A^{\complement }=\mathbb {U}$
Skärningen av den universella uppsättningen med någon uppsättning är lika med den sista uppsättningen. $\forall A\colon \mathbb {U} \cap A=A$
I synnerhet är skärningen av en universell mängd med sig själv lika med den universella mängden. $\mathbb {U} \cap \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Uteslutningen av den universella uppsättningen från någon uppsättning är lika med den tomma uppsättningen . $\forall A\colon A\setminus \mathbb {U} =\varnothing$
I synnerhet är uteslutningen av en universell uppsättning från sig själv lika med den tomma uppsättningen. $\mathbb {U} \setminus \mathbb {U} =\varnothing$
Uteslutningen av en uppsättning från den universella uppsättningen är lika med tillägget av denna uppsättning. $\forall A\colon \mathbb {U} \setminus A=A^{\komplement }$
Komplementet till den universella uppsättningen är den tomma uppsättningen. $\mathbb {U} ^{\complement }=\varnothing$
Den symmetriska skillnaden för en universell uppsättning med vilken uppsättning som helst är lika med komplementet till den sista uppsättningen. $\forall A\colon \mathbb {U} \triangel A=A^{\komplement }$
I synnerhet är den symmetriska skillnaden mellan en universell uppsättning och sig själv lika med den tomma uppsättningen. $\mathbb {U} \triangle \mathbb {U} =\varnothing$

Art

En disjunktiv-universell uppsättning (DUM) G [2] av ordning n och rang p är en uppsättning funktioner i logikens algebra (FAL) så att det för alla finns en uppsättning funktioner så att: $g\in P_{2}(n)$ $g_{1},\ldots ,g_{p}\i G$

$g=g_{1}\lor \ldots \lor g_{p}$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Stoll, 1968 , sid. 25.
↑ S. A. Lozhkin. Föreläsningar om cybernetiks grunder, 2008 ( PDF )

Litteratur

Stoll R. Uppsättningar, logik, axiomatiska teorier. — M .: Mir, 1968. — 231 sid.
Nefedov V.N. , Osipova V.A. Diskret matematikkurs. - M. : MAI, 1992. - 264 sid. — ISBN 5-7035-0157-X .