Beställd ring

En ordnad ring i allmän algebra är en ring (vanligtvis kommutativ ), för alla beståndsdelar av vilka en linjär ordning är definierad , i överensstämmelse med ringens funktioner. De mest praktiskt viktiga exemplen är ringen av heltal och ringarna av heltalsmultiplar . $R$ $\mathbb {Z}$

Definition

Låta vara en ring vars element har en linjär ordning , Dvs en relation ( mindre än eller lika med ) med följande egenskaper [1] . $R$ $\leqslant$

Reflexivitet : . $x \leqslant x$
Transitivitet : om och , då . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisymmetri : om och , då . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Linjäritet: alla element är jämförbara med varandra, det vill säga antingen , eller . $F$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Dessutom kräver vi att ordningen överensstämmer med operationerna för addition och multiplikation av ringen:

Om , då för alla z : . $x \leqslant y$ $x+z\leqslant y+z$
Om och , då . $0\leqslant x$ $0\leqslant y$ $0 \leqslant xy$

Om alla 6 axiomen är uppfyllda kallas ringen ordnad [2] . $R$

Exempel på ordnade ringar

Ring av heltal $\mathbb{Z}.$
Ringen av jämna tal och, i allmänhet, alla ring av tal som är multiplar av ett givet reellt tal som inte är noll (inte nödvändigtvis ett heltal). $k$
Alla ordnade fält - till exempel fälten med rationella och reella tal ) är också ordnade ringar.
Ett exempel på en ordnad ring med nolldelare : om vi i den additiva gruppen av heltal sätter alla produkter lika med noll, får vi en ordnad ring där vilket element som helst är en nolldelare (enheten är då inte ett neutralt element för multiplikation, så en ring utan enhet erhålls) [3 ] [4] .

Relaterade definitioner

För att underlätta notationen introduceras ytterligare sekundära relationer:

Ett förhållande större än eller lika med : betyder att .

x\geqslant y

y\leqslant x

Förhållandet större än : betyder att och .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Ett förhållande mindre än : betyder att .

x<y

y>x

En formel med något av dessa 4 samband kallas ojämlikhet .

Element större än noll kallas positiva , medan de mindre än noll kallas negativa . Uppsättningen av positiva element i en ordnad ring betecknas ofta med $R$ $R_{+}.$

En diskret ordnad ring är en ordnad ring som inte har några element mellan 0 och 1. Heltal är en diskret ordnad ring, medan rationella tal inte är det.

Grundläggande egenskaper

Alla har följande egenskaper. $x,y,z\in R$

Varje element i en ordnad ring tillhör en och endast en av tre kategorier: positiv, negativ, noll. Om det är positivt, då negativt, och vice versa. $x$ $-x$
Liknande ojämlikheter kan läggas till:

Om och , då .

x \leqslant y

x' \leqslant y'

x+x'\leqslant y+y'

Ojämlikheter kan multipliceras med icke-negativa element:

Om och , då .

x \leqslant y

z\geqslant 0

zx\leqslant zy

En ordnad ring har inga nolldelare om och endast om produkten av positiva element är positiv.
Teckenregel: produkten av element som inte är noll med samma tecken är icke-negativ (om det inte finns några nolldelare i ringen, då positiv), och produkten av ett positivt element med ett negativt är icke-positiv (om det finns inga nolldelare, sedan negativa),
- Resultat 1: i en ordnad ring är kvadraten på ett element som inte är noll alltid icke-negativt (och om det inte finns några nolldelare är det positivt) [5] .
- Resultat 2: alltid i en ordnad ring med 1 (eftersom 1 är kvadraten på sig själv) [4] . $1>0$
En ordnad ring som inte är trivial (det vill säga innehåller mer än bara noll) är oändlig.
Varje ordnad ring med enhet och inga nolldelare innehåller en och endast en subring som är isomorf till ringen av heltal [6] . $\mathbb {Z}$

Exempel på ringar och fält som inte tillåter beställning

Komplexa tal bildar inte en ordnad ring, för i en ordnad ring, som nämnts ovan, är kvadraten på ett element alltid icke-negativ, och den imaginära enheten kan inte komma in i den.
Slutfält .
p-adiska tal .

Absolut värde

Bestäm det absoluta värdet av elementet $x:$

|x|=\max(x,-x)

Här väljer funktionen det största värdet. Den har följande egenskaper (för hela ringen) [7] . $\max$ $x,y$

$|x|=0$ om och bara om . $x=0$
För alla som inte är noll och bara för dem . $x$ $|x|>0$
De absoluta värdena för motsatta tal är desamma: $|x|=|{-x}|$
Triangelojämlikhet : . $|x+y|\leqslant |x|+|y|$
Multiplikativitet: $|xy|=|x||y|.$
$|x|\leqslant y$ är liktydigt med $-y\leqslant x\leqslant y$

Variationer och generaliseringar

Teorin om ordnade ringar täcker också speciella fall av icke-kommutativa (eller till och med icke-associativa) ringar. Andra varianter undersöks:

Ringen är inte linjär, utan endast delvis beställd , det vill säga inte alla element kan jämföras med en given ordning [8] .
Istället för en ring finns det en semiring , det vill säga i allmänhet finns det ingen subtraktion i den [9] . Exempel: naturliga serier förlängda med noll.

Anteckningar

↑ Lam, TY (1983), Beställningar, värderingar och kvadratiska former , vol. 52, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1
↑ Bourbaki, 1965 , sid. 271.
↑ Bourbaki N. Algebra. Algebraiska strukturer. Linjär algebra. - M. : Nauka, 1962. - S. 137. - 517 sid.
↑ 1 2 Bourbaki, 1965 , sid. 272.
↑ Nechaev, 1975 , sid. 90.
↑ Nechaev, 1975 , sid. 100.
↑ Nechaev, 1975 , sid. 91.
↑ Delvis beställd ring . Hämtad 27 januari 2019. Arkiverad från originalet 27 januari 2019. (obestämd)
↑ Nechaev, 1975 , sid. 88-89.

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Polynom och fält. Beställda grupper. - M . : Nauka, 1965. - S. 271-272. — 299 sid.
Nechaev V. I. 6.4. Linjärt ordnade ringar och kroppar // Numeriska system. - M . : Utbildning, 1975. - S. 90-94. — 199 sid.

Länkar

Beställd ring på PlanetMath hemsida .