Bethe-Salpeters ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 april 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Bethe-Salpeter-ekvationen , uppkallad efter H. Bethe och E. Salpeter , beskriver de bundna tillstånden i ett kvantfältsystem med två partiklar i en relativistisk samvariant form . Ekvationen publicerades först 1950 i slutet av en artikel av Yoichiro Nambu , men utan härledning. [ett]

Integral form av Bethe-Salpeters ekvation

Huvudmetoden för att lösa problem med interaktion är utan tvekan störningsteori, men detta är långt ifrån den enda metoden. Det finns så kallade icke-perturbativa metoder, och en av dem leder till Bethe-Salpeters ekvation. Ett system med två kopplade fermioner övervägs . I en fri teori, som känt, för en enpartikelvågfunktion (där är spinorindex ) definieras propagatorn enligt följande: $\psi _{a}$ $a$

\psi (x_{2})=-i\int {d\sigma {(x_{1})}S_{F}{(x_{2},x_{1})}n\!\! \!/(x_{1})\psi (x_{1})}

Här använder vi en notation som använder "överkorsade matriser" , - 4-vektor av den yttre normalen . Integrationen utförs över volymens yta, som inkluderar händelsen , . Feynman propagator. När det gäller icke-interagerande partiklar, definieras det som lösningen av följande ekvation [2] : $n(x_{1})$ ${\displaystyle x_{2))$ $S_{F}$

(i\nabla \!\!\!/'-m_{0})S_{F}=\delta ^{4}(x'-x)\qquad (1)

På samma sätt som propagatorn för en-partikelvågsfunktionen kan man definiera propagatorn för tvåpartikelvågfunktionen med följande uttryck:

\psi _{ab}(x_{3},x_{4})=\int {d\sigma {(x_{1})}d\sigma {(x_{2})}S^{ab }{(x_{3},x_{1}x_{4},x_{2})}n\!\!\!/(x_{1})n\!\!\!/(x_{2} )\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}\qquad (2)

Här är en spinor med två spinorindex . I fallet med icke-interagerande partiklar, sönderfaller vågfunktionen med två partiklar till produkten av enpartiklar, och propagatorn till produkten av propagatorer: ${\displaystyle \psi _{ab))$ $a,b$

S^{0ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})

Detta är dock det mest triviala fallet. Låt oss nu "slå på" den elektromagnetiska interaktionen mellan två partiklar. Om vi följde ideologin om störningsteorin, så skulle vi få, efter att Feynman , representeras som: $S^{ab}$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\Sigma

Med menas summan av alla möjliga diagram erhållna från störningsteorin. Huvudtanken som leder till ekvationen är att vi betecknar hela summan av diagrammen som en viss kärna . Vi kommer att kalla ett diagram reducerbart om det, efter att ha tagit bort två fermioniska linjer, blir frånkopplat. Sedan kan det representeras som summan av två bidrag: bidraget från reducerbara diagram och bidraget från irreducerbara diagram . Det kan visas [3] att uttrycket för kan skrivas om som: $\Sigma$ $K$ $K$ ${\overline {K}}$ $S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\int {d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}d^{4}x_{7}d ^{4}x_{8}\cdot iS_{F}^{a}(x_{3},x_{5})iS_{F}^{b}(x_{4},x_{6}){\ överlinje {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{7},x_{8})S^{ab}(x_{7},x_{8};x_{1} ,x_{2})}

Genom att ersätta detta uttryck får vi Bethe-Salpeters ekvation: $(2)$

\psi _{ab}(x_{1},x_{2})=\varphi _{ab}(x_{1},x_{2})+\int {d^{4}x_{3 }d^{4}x_{4}d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}\cdot iS_{F}^{a}(x_{1},x_{5})iS_ {F}^{b}(x_{2},x_{6}){\överlinje {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{3},x_{4}) \psi _{ab}(x_{3},x_{4})}\qquad (3)

I detta uttryck är en fri tvåpartikelvågfunktion, det vill säga en vågfunktion i frånvaro av interaktion mellan partiklar. Således har vi fått Fredholms integralekvation av det andra slaget . ${\displaystyle \varphi _{ab))$

Integro-differentiell form av Bethe-Salpeters ekvation. Skriva i p-utrymme

Låt oss nu agera på Bethe-Salpeters ekvation av operatorerna , i kraft får vi följande uttryck: $(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a}),(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})$ $(1)$

(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})\psi _{ab }(x_{1},x_{2})=-\int {d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}{\överlinje {K))^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

Följaktligen får vi istället för en integralekvation av Fredholm-typ en integro-differentialekvation för en tvåpartikelvågfunktion . Ett annat möjligt sätt att skriva Bethe-Salpeter-ekvationen är att skriva den i momentumrymden, nämligen att vi definierar Fouriertransformen av en tvåpartikelvågfunktion enligt följande: $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$ $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$

\chi _{ab}(p_{1},p_{2})={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1 }d^{4}x_{2}\cdot e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\psi _{ab}{(x_{1},x_ {2})}}

Fouriertransformen av själva Bethe-Salpeter-ekvationen är skriven på följande sätt:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}e^{i(p_{1 }x_{1}+p_{2}x_{2})}(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{ 2}-m_{b})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=-{\frac {1}{(2\pi )^{4))}\int {d ^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_ {2}x_{2})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{ 3},x_{4})}

På vänster sida kan du ta gradienterna till exponenten med hjälp av integration av delar . Vi lägger även till två deltafunktioner på höger sida. Vi får:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\left[(i\nabla \ !\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})e^{i(p_{1}x_{1} +p_{2}x_{2})}\höger]\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=

=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_ {3}d^{4}x_{4}d^{4}x'_{3}d^{4}x'_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{ 2}x_{2})}\delta ^{4}(x'_{3}-x_{3})\delta ^{4}(x'_{4}-x_{4}){\overline { K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x'_{3},x'_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

Genom att använda impulsrepresentationen av deltafunktioner med primerade variabler kan vi skriva om kärnan i impulsrepresentation, nämligen: ${\overline {K}}^{ab}$

{\overline {K}}^{ab}(p_{1},p_{2};p_{3},p_{4})={\frac {1}{(2\pi )^{ 8}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{ 1}x_{1}+p_{2}x_{2}-p_{3}x_{3}-p_{4}x_{4})}{\överlinje {K}}^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})}

Med hjälp av detta får vi Bethe-Salpeters ekvation i momentumform:

({\cancel {p}}_{1}-m_{a})({\cancel {p}}_{2}-m_{b})\chi _{ab}(p_{1} ,p_{2})=-\int {d^{4}p'_{1}d^{4}p'_{2}{\overline {K}}^{ab}(p_{1}, p_{2};p'_{1},p'_{2})\chi _{ab}(p'_{1},p'_{2})}

Andra representationer

På grund av dess generella karaktär och det faktum att den används i många grenar av teoretisk fysik , kan Bethe-Salpeter-ekvationen hittas i olika former. En form som ofta används inom högenergifysik är:

\Gamma (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4))}\;K(P,p,k)\, S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})

var är Bethe-Salpeters amplitud , beskriver växelverkan mellan två partiklar och är deras propagator . $\gamma$ $K$ $S$

Eftersom denna ekvation kan erhållas genom att identifiera de bundna tillstånden med polerna i S-matrisen , kan den relateras till kvantbeskrivningen av spridningsprocesser och Greens funktioner .

Även för enkla system som positronium kan ekvationen inte lösas exakt, även om den i princip anges exakt. Lyckligtvis kan klassificeringen av stater göras utan att använda en exakt lösning. Om en partikel är mycket mer massiv än den andra, så förenklas uppgiften avsevärt, och i detta fall löses Dirac-ekvationen för en lätt partikel som ligger i en extern potential skapad av en tung partikel.

Anteckningar

↑ Y. Nambu. Kraftpotentialer i kvantfältteori // Teoretisk fysiks framsteg. - 1950. - Vol. 5 , nej. 4 . - doi : 10.1143/PTP.5.614 .
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Kvantkromodynamik . — 3:a. - Springer, 2007. - S. 46 -47. — 475 sid.
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Kvantkromodynamik. — Springer. - S. 347-348. — 475 sid.

Litteratur

W. Greiner , J. Reinhardt. Kvantelektrodynamik. — 3:a. - Springer (förlag), 2003. - ISBN 978-3-540-44029-1 .
N. Nakanishi. En allmän översikt över teorin om Bethe–Salpeter-ekvationen (engelska) // Progress of Theoretical Physics. - 1969. - Vol. 43 . — S. 1–81 . - doi : 10.1143/PTPS.43.1 .
N.N. Bogolyubov, D.V. Shirkov, Introduktion till teorin om kvantiserade fält, 1973