Rörelseekvationen för ett kontinuerligt medium

Rörelseekvationen för ett kontinuerligt medium är en vektorekvation som uttrycker momentumbalansen för ett kontinuerligt medium .

Historisk bakgrund

Rörelseekvationen i allmän form erhölls av Cauchy i början av 1820-talet. (kungörelsen avser 30 september 1822 [1] , kortpublikation 1823 [2] , fullständig publicering 1828 [3] ).

Generell form av ekvationen

I ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem har tre projektioner av rörelseekvationen för ett kontinuerligt medium formen [4]

$\rho \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+v_{ y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\right)={\frac {\ partiell p_{xx)){\partial x))+{\frac {\partial p_{xy)){\partial y))+{\frac {\partial p_{xz)){\partial z))+\ rho F_{x},$

$\rho \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+v_{ y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)={\frac {\ partiell p_{yx)){\partial x))+{\frac {\partial p_{yy)){\partial y))+{\frac {\partial p_{yz)){\partial z))+\ rho F_{y},$

$\rho \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}+v_{ y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)={\frac {\ partiell p_{zx)){\partial x))+{\frac {\partial p_{zy)){\partial y))+{\frac {\partial p_{zz)){\partial z))+\ rho F_{z},$

där är densiteten för det kontinuerliga mediet, , , är projektionerna av mediets hastighet, är komponenterna i spänningstensorn , , , är komponenterna i massdensitetsvektorn för de volymetriska krafterna som verkar på det kontinuerliga mediet (kraft per massaenhet). Om referensramen som används inte är tröghetskrafter måste tröghetskrafter inkluderas i antalet kroppskrafter . $\rho (x,y,z,t)$ $v_{x}(x,y,z,t)$ $v_{y}(x,y,z,t)$ $v_{z}(x,y,z,t)$ $p_{{ij}}$ $F_{x}(x,y,z,t)$ $F_{y}(x,y,z,t)$ $F_{z}(x,y,z,t)$

Uttrycken inom parentes på vänster sida är projektioner av acceleration , så på sätt och vis kan rörelseekvationen betraktas som en generalisering av Newtons andra lag för en materiell punkt med konstant massa.

I ett godtyckligt krökt koordinatsystem har rörelseekvationen formen

$\rho \left({\frac {\partial v^{i}}{\partial t}}+v^{k}\nabla _{k}v^{i}\right)=\nabla _ {k}p^{ik}+\rho F^{i},\quad i=1,2,3,$

där symbolen anger den kovarianta derivatan med avseende på den -:e koordinaten, och summeringen från ett till tre utförs över det upprepade indexet . $\nabla _{i}$ $i$ $k$

Specialformer av ekvationen

Om det kontinuerliga mediet är i vila (i förhållande till det koordinatsystem som används), så förvandlas rörelseekvationerna till jämviktsekvationer ${\vec {v}}\equiv 0$

$0={\frac {\partial p_{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{xz }}{\partial z}}+\rho F_{x},$

$0={\frac {\partial p_{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{yz }}{\partial z}}+\rho F_{y},$

$0={\frac {\partial p_{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{zz }}{\partial z}}+\rho F_{z}.$

Särskilda fall av rörelseekvationen är

Eulers ekvation (rörelseekvationen för en ideal vätska );
Navier–Stokes-ekvationen (rörelseekvationen för en linjärt viskös vätska );
Navier-Lame- ekvationen (rörelseekvationen för små deformationer av ett linjärt elastiskt medium ).

Anteckningar

↑ Truesdell K. Essäer i mekanikens historia . - M.-Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2002. - 316 sid. — ISBN 5-93972-192-3 . Arkiverad 7 december 2013 på Wayback Machine
↑ Cauchy. Recherches sur l'équilibre et le mouvement intérieur des corps solides, élastiques ou non elastiques // Bulletin de la Société Philomatique. - 1823. Arkiverad 7 december 2013.
↑ Cauchy. Sur les équations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur d'un corps solide, élastique ou non elastique . - 1828. Arkiverad 7 december 2013.
↑ Sedov L.I. Kontinuummekanik . - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 sid. Arkiverad 28 november 2014 på Wayback Machine