Schwinger ekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 mars 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Schwingerekvationerna är ett system av ekvationer som relaterar Greenens funktioner i kvantfältteorin . Introducerad av Julian Schwinger 1951.

Schwingerekvationerna kan formuleras som en enda ekvation i variationsderivat :

\left\{{\frac ({\overrightarrow {\delta }}S(\varphi)}{\delta \varphi (x))){\bigg |}_{\varphi =\chi {\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}}+A(x)\right\}G(A)=0,

var är åtgärden funktionell , är den genererande funktionella för hela Greens funktioner . Argumentet för det funktionella är ett klassiskt objekt av samma karaktär som fältet , det vill säga den vanliga funktionen för bosoner och den antipendlande funktionen för fermioner , - den vänstra variationsderivatan , i det bosoniska fallet, i det fermioniska fallet. $S(\varphi )$ $G(A)$ $Yxa)$ $\varphi$ ${\frac {\overrightarrow {\delta )){\delta iA))$ $\chi =+1$ $\chi =-1$

För en teori med aktionspolynom i fältet är denna ekvation en ekvation av ändlig ordning i variationsderivator. Den bestämmer lösningen endast upp till en numerisk faktor - den genererande funktionaliteten för Greenens funktion utan vakuumslingor bestäms unikt , där är den genererande funktionen för Greenens funktioner i den fria teorin. $H(A)=G_{0}^{-1}G(A)$ $G_{0}$

Efter att ha gjort en substitution i ekvationen och reducerat multiplikatorn efter differentiering , får vi Schwinger-ekvationen för genereringsfunktionen för den anslutna gröna funktionerna . ${\displaystyle G(A)=e^{W(A)))$ $e^{W(A)}$ $W(A)$ $W_{n}$

Representerad som en serie $W(A)$

W(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {W_{n}(iA)^{n}}{n!}},

och genom att jämföra koefficienterna vid alla potenser får vi ett system av länkade ekvationer för den anslutna gröna funktionerna . $iA$ $W_{n}$

Schwinger-ekvationen i kvantelektrodynamik

För att erhålla Schwingerekvationerna introduceras klassiska källor för yttre fält. Till exempel, i kvantelektrodynamiken för partiklar med spin 1/2, i den enklaste versionen, är det tillräckligt att införa i Lagrangian interaktionen av det kvantiserade fotonfältet med källan till ett externt elektromagnetiskt fält i minimal form — . På grund av detta blir det möjligt, med hjälp av funktionell variation över en klassisk källa , att erhålla Greens funktioner med ett stort antal fotonändar . Spridningsmatrisen blir källan funktionell . Det är också bekvämt att introducera det genomsnittliga observerade värdet för fotonfältsoperatören (med hänsyn till kvantkorrigeringar): $A^{\mu }(x)$ $J_{\mu }(x)$ ${\displaystyle J_{\mu }A^{\mu ))$ $J_{\mu }(x)$ $S[J]$

{\mathcal {A^{\mu }}}(x)={\frac {1}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{A^{\mu }( x)S[J]\}\vert 0\rangle =i{\frac {\delta \ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x))),

där är medelvärdet för operatorerna över vakuumtillstånden i interaktionsrepresentationen , symbolen anger den kronologiska ordningen för operatorerna, är variationsderivatan av . $S_{0}[J]\equiv \langle 0\vert S[J]\vert 0\rangle ,\mu =0,1,2,3.$ $\langle 0\vert \cdots \vert 0\rangle$ $T$ ${\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)))),$

Som ett resultat för den tvåpunkts fermioniska Greens funktion

G(x,y\vert J)=-{\frac {i}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{\psi (x){\overline {\psi } }(y)S[J]\}\vert 0\rangle ,

var är spinoroperatorn för det fermioniska (elektron-positron) fältet, och stapeln ovanför operatorn betyder Dirac-konjugation , vi har en ekvation av Dirac -typen : $\psi(x)$

\left\{\gamma _{\mu }\left[{\frac {\partial }{\partial x_{\mu ))}-e{\mathcal {A^{\mu ))}(x )\right]-m-ie\gamma _{\mu }{\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)))\right\}G(x,y\vert J)=\ delta ^{4}(xy),

var är Dirac-matriserna och är elektronens laddning och massa. För medelvärdet för fotonfältsoperatorn får vi en ekvation av typen av Maxwell-ekvationen (den andra termen på höger sida av ekvationen har betydelsen av kvantkorrigeringar till den klassiska strömmen ): $\gamma_{\mu}$ $e,m$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$ $J$

\Box {\mathcal {A^{\mu }}}(x)=-J_{\mu }(x)+ie\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }G(x,x \vert J)],

där spåret tas över spinorindex. De resulterande ekvationerna, som gör det möjligt att bestämma och från givna källor , kallas Schwingerekvationer . $J_{\mu }(x)$ $G(x,y\vert J)$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$

Tvåpunktsfotonen Greens funktion kan hittas med hjälp av relationen

G^{\mu \nu }(x,y\vert J)=-{\frac {\delta A^{\mu}(x)}{\delta J^{\nu}(y)} }=-i{\frac {\delta ^{2}\ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)\delta J_{\nu }(y))).

Kvantiteten kallas genererande funktion . $Z[J]\equiv i\ln S_{0}[J]$

Trepunktsvertexdelen definieras enligt följande:

\Gamma _{\mu }(x,y,z)=-{\frac {\delta }{\delta A^{\mu ))}G^{-1}(x,y\vert J ),

var är den omvända operatorn för den fermioniska grönas funktion. Schwinger-ekvationerna är nära besläktade med Dyson-ekvationerna . Schwinger härledde också en ekvation för fyrpunktsgröns funktion av två partiklar (fermioner). I frånvaro av ett externt fält är denna ekvation ekvivalent med Bethe-Salpeters ekvation . $G^{-1}$

Litteratur

Vasiliev AN § 7.1 Schwinger-ekvationer // Funktionella metoder inom kvantfältteori och statistik,. - L . : Leningrads universitets förlag, 1976. - S. 72-74. — 295 sid.
Bogolyubov HH, Shirkov DV Kapitel VI. Tillämpning av den allmänna teorin om eliminering av divergenser // Introduktion till teorin om kvantiserade fält,. - 4:e upplagan,. - M. : Nauka, 1984. - T. 4. - S. 389. - 600 sid.
Physical Encyclopedia / Kap. ed. A. M. Prokhorov. Ed. räkna D. M. Alekseev, A. M. Baldin, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovikov och andra - Soviet Encyclopedia, 1988. - ISBN 5-85270-034-7 .