Landau nivåer

Landau nivåer

Döpt efter	Lev Davidovich Landau
stat	USSR
Upptäckare eller uppfinnare	Lev Davidovich Landau
öppningsdatum	1930
Formel som beskriver en lag eller teorem	$E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\right),\qquad$

Landau-nivåer är energinivåerna för en laddad partikel i ett magnetfält . Erhölls först som en lösning på Schrödinger-ekvationen för en elektron i ett magnetfält av L. D. Landau 1930 . Lösningen på detta problem är egenvärdena och egenfunktionerna för Hamiltonian för kvantharmonisk oscillator . Landau-nivåer spelar en viktig roll i kinetiska och termodynamiska fenomen i närvaro av ett starkt magnetfält.

Inledande kommentarer

Inom kvantmekaniken , enligt Köpenhamnstolkningen , har partiklar ingen bestämd koordinat och man kan bara tala om sannolikheten att hitta en partikel i en viss region av rymden. Tillståndet för en partikel beskrivs av en vågfunktion , medan dynamiken hos en partikel (eller ett system av partiklar) beskrivs inte av Newtons andra lag, utan av den mycket mer komplexa Schrödinger-ekvationen . (Schrodinger-ekvationen är endast giltig i det icke-relativistiska fallet, det vill säga när partiklarnas hastighet är mycket mindre än ljusets hastighet, annars gäller den ännu mer komplexa Dirac-ekvationen .)

Ett karakteristiskt drag för Schrödinger-ekvationen är att dess egenvärden kan vara diskreta. Till exempel kan planeter kretsa runt solen i banor med vilken radie som helst och kan ha en kontinuerlig uppsättning energivärden, och en elektron i en väteatom i den semiklassiska approximationen "kretsar" runt en proton i banor med vissa radier och kan bara ha några tillåtna energier representerade i energispektrumet.

Med upptäckten av kvantmekanikens lagar uppstod frågan: vad händer med partiklarnas rörelse i ett magnetfält i det kvantmekaniska fallet? För att lösa detta problem är det nödvändigt att lösa Schrödinger-ekvationen. Detta gjordes första gången 1930 av den sovjetiske fysikern Landau . [1] Det visade sig att en partikel kan röra sig längs ett magnetfält med vilken hastighet som helst, men för en given hastighetsprojektion över magnetfältet kan en partikel endast uppta diskreta energinivåer. Dessa nivåer kallades Landau-nivåer.

Nedan är en semiklassisk lösning av energispektrumproblemet, Schrödinger-ekvationen (3), (8) och dess lösning (7), dessutom:

ekvation (1) beskriver energinivåerna för en partikel i ett magnetfält (Landau-nivåer),
Ekvation (10) beskriver energinivåerna för en partikel i vinkelräta elektriska och magnetiska fält.
Ekvation (11) beskriver energinivåerna för en partikel i tvådimensionellt rum.

Semiklassisk kasus

En elektron som rör sig med en hastighet i ett externt magnetfält är föremål för Lorentzkraften , $\mathbf{v}$ $\mathbf {B}$

$\mathbf {\dot {p))={\frac {e}{c}}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right],$

där är rörelsemängdsvektorn, är den elementära elektriska laddningen , är elektronens massa , är ljusets hastighet i vakuum, punkten anger differentiering med avseende på tid. Dess bana är en spiral, och projiceringen av omloppsbanan på ett plan vinkelrätt mot vektorn är en cirkel med radie ( Larmorradien , är momentumkomponenten vinkelrätt mot fältet). En elektrons bana i momentumrymden är en cirkel med radie . $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ $e$ $m$ $c$ $\mathbf {B}$ ${{r}_{L}}=c{{p}_{\bot }}/\left(eB\right)$ ${{p}_{\bot ))$ ${{p}_{\bot ))$

Enligt kvantmekanikens allmänna principer kvantiseras rörelseenergin begränsad i rymden i ett plan vinkelrätt mot magnetfältet. I den semiklassiska approximationen kan energinivåerna för en elektron hittas baserat på Lifshitz - Onsager- formeln [2] , som är en konsekvens av Bohr-Sommerfelds kvantiseringsregel : [3]

$S\left(E,{{p}_{z}}\right)={\frac {2\pi e\hbar B}{c}}\left(n+\gamma \right),$

där är den reducerade Planck-konstanten , är tvärsnittsarean av ytan (sfären) med konstant energi av planet , axeln är riktad längs magnetfältet, . Ersätter uttrycket för området $\hbar$ $S\left(E,{{p}_{z}}\right)$ $E=const$ ${{p}_{z}}=const$ $z$ $\left|\gamma \right|\leq 1/2$

$S=\pi p_{\bot}^{2}=\pi \left(2mE-p_{z}^{2}\right)$

vi får ett uttryck för Landau-nivåerna som gäller för : $n\gg 1$

${{E}_{n}}\left({{p}_{z}}\right)=\hbar {{\omega }_{c}}\left(n+\gamma \right)+ {\frac {p_{z}^{2}}{2m}}.$

var är cyklotronfrekvensen (CGS). $\omega _{c}={\frac {eB}{mc))$

3D-fodral

Energispektrumet för en elektron (energivärdet beroende på dess tillstånd) i ett magnetfält i det tredimensionella fallet representeras i en enkel form [4]

E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\right),\qquad (1)

var är vågvektorn i riktningen , som tas som riktningen för magnetfältet. Här är energispektrumet lätt att tolka. Rörelse längs ett magnetfält, där magnetfältet inte påverkar en laddad partikel, representeras av plana vågor, som för en fri partikel med en vågvektor . Rörelse i riktningen vinkelrät mot magnetfältet är begränsad och energispektrat är helt kvantiserat. Även om en partikels rörelse sker i tredimensionellt utrymme, beror energispektrumet endast på två kvanttal : kontinuerliga och diskreta . Det betyder att partikelns spektrum är degenererat . I det tredimensionella fallet finns det en dubbel degeneration av energi när det gäller projektionen av vågvektorn i magnetfältets riktning . Utöver detta finns en degeneration av Landau-nivån lika med $k_{z}$ ${\overrightarrow {z))$ $(ett)$ $k_{z}$ $k_{z}$ $n$ $\pm k_{z}$

N_{L}={\frac {eBS}{2\pi \hbar c)),\qquad (2)

Mångfalden av degeneration för var och en av Landau-nivåerna är lika med förhållandet mellan tvärsnittsarean av provet med ett plan vinkelrätt mot magnetfältet till arean av en cirkel med en radie lika med den magnetiska längden $S$

l_{H}={\sqrt {\frac {\hbar c}{eB))},

vilket är den karakteristiska storleken för regionen med hög sannolikhet att hitta partikeln.

Dessutom, för fria elektroner i tredimensionellt rymden, observeras en ungefärlig tvåfaldig degenerering av energinivåer i spinn . Denna degeneration är dock icke-trivial, eftersom den kräver att Landau-nivån för spin-down-elektronen är exakt densamma som Landau-nivån för spin-up-elektronen plus elektronens magnetiska moment på magnetfältet. Med andra ord krävs att g-faktorn för en elektron är exakt 2 (detta, som kvantelektrodynamiken visar , är inte helt sant). Detta krav är desto mer inte uppfyllt för elektroner, som är kvasipartiklar i fasta ämnen (en elektrons effektiva massa och dess magnetiska moment är endast obetydligt relaterade). Problemet med en elektron med spin och g-faktor lika med 2 är dock av visst teoretiskt intresse, eftersom det kan representeras som ett problem med supersymmetri [5] .

Om lösningen av Schrödinger-ekvationen för en elektron i ett magnetfält

Den stationära Schrödinger-ekvationen för en elektron i ett magnetfält representeras som

{\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}{\hat {\mathbf {A} }}\ höger)^{2}\Psi _{n}(\mathbf {r} )=E_{n}\Psi _{n}(\mathbf {r} ),\qquad (3)

där och är elektronmomentumoperatorn och magnetfältets vektorpotential , respektive är elektronvågsfunktionen , är energin och indexet anger den n :e Landau-nivån. I Landau-mätaren kan ekvationen skrivas i formen $\hat{\mathbf{p}}$ ${\hat {\mathbf {A} ))$ $\Psi _{n}(\mathbf {r} )$ $E_{n}$ $n$ $(3)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y }}-{\frac {eB}{c}}x\right)^{2}\right]\Psi _{n}(x,y,z)=E_{n}\Psi _{n}(x ,y,z).\qquad(4)

För att separera variablerna i denna ekvation är det lämpligt att leta efter lösningen som en produkt av tre funktioner

\Psi _{n}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {L_{z}L_{y))))e^{ik_{z}z}e^{ ik_{y}y}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (5)

var och är dimensionerna på systemet, och är vågvektorer, betyder vågfunktionens index att den beror på den som parameter. Genom att ersätta in får vi en endimensionell ekvation för $L_{z}$ ${\displaystyle L_{y))$ $k_{z}$ ${\displaystyle k_{y))$ ${\displaystyle k_{y))$ $\psi _{n,k_{y))(x)$ $(5)$ $(fyra)$ $\psi _{n,k_{y))(x)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_ {n}\psi_{n,k_{y}}(x).\qquad(6)

Denna ekvation är inget annat än Schrödinger-ekvationen för en kvantharmonisk oscillator med en förskjutning i potentialens minimum. Således kan lösningarna skrivas som [4]

\psi _{n,k_{y}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!\pi ^{1/2}l_{H)))) e^{-{\frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}}{2l_{H}^{2}}}}H_{n}\left({\ frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})}{l_{H}}}\right),\qquad (7)

var är hermitpolynomet av ordning . $H_n(x)$ $n$

På påverkan av det elektriska fältet

Låt oss nu betrakta effekten av ett elektriskt fält vinkelrätt mot magnetfältet på en elektrons energispektrum. Låt oss skriva om ekvationen med hänsyn till det elektriska fältet som riktas längs : [6] $(6)$ $\varepsilon$ $x$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}+e\varepsilon x\right]\psi _{n,k_{y}} (x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (8)

som, efter att ha valt hela kvadraten, representeras som

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-X_{k_{y}})^{2}+e\varepsilon k_{y}l_{H}^{2}-{\frac {m}{ 2}}v_{d}^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}( x),\qquad(9)

var och . Vi ser från Hamiltonian att det elektriska fältet helt enkelt förskjuter centrum av vågfunktionen. Energispektrumet ges av följande uttryck: $X_{k_{y}}=k_{y}l_{H}^{2}-v_{d}/\omega _{c}$ $v_{d}=c\varepsilon /B$

E_{n,k_{y}}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+e\varepsilon X_{k_{y}}- {\frac {m}{2}}v_{d}^{2}.\qquad (10)

Tvådimensionellt fall

I kvantdimensionella strukturer , där laddningsbärarnas rörelse är begränsad i en av riktningarna (till exempel en kvantbrunn nära gränsen för en heterojunction ), blir energispektrumet diskret för rörelse längs motsvarande koordinat (till exempel axel ). Om endast en kvantnivå med minsta energi fylls i den potentiella brunnen , beter sig bärarna som en tvådimensionell gas , dvs. under påverkan av externa fält kan inte tre, utan två komponenter i momentumet redan förändras. [7] $z$ $E_{0}$

I detta fall består elektronspektrumet av ekvidistanta nivåer (med avståndet mellan nivåerna , där bestäms av magnetfältskomponenten längs axeln ). Elektronenergin är $\hbar \omega _{c}$ $\omega_{c}$ $z$

E(n)=E_{0}+\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\qquad (11)

Om vi väljer energi som ursprung, kommer formel (11) att ha formen: [7] $E_{0}$

E(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right).\qquad (12)

Anteckningar

↑ Landau LD Diamagnetismus der Metalle (tyska) // Z. Phys .. - 1930. - Bd. 64 . — S. 629 .
↑ A. E. Meyerovich. Lifshitz-Onsager kvantisering . Encyclopedia of Physics and Technology . Hämtad 15 januari 2022. Arkiverad från originalet 2 juni 2022. (ryska)
↑ Abrikosov A.A. Grunderna i teorin om metaller / Ed. LA. Falkovskij. - Moskva: FIZMATLIT, 2010. - S. 182. - 600 sid. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). — 3:e upplagan, reviderad och förstorad. — M .: Nauka , 1974 . — 752 sid. - ("Teoretisk fysik", volym III).
↑ Gendenshtein L. E. , Krive I. V. Supersymmetry in quantum mechanics // UFN. - 1985. - T. 146 , nr. 4 . - S. 553-590 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508a.0553 . Arkiverad från originalet den 13 juli 2021.
↑ EN ADAMS och TD HOLSTEIN. KVANTTEORI OM TRANSVERS GALVANO - MAGNETISKA FENOMEN // J. Phys. Chem. fasta ämnen. - Pergamon Press, 1959. - Vol. 10 . — S. 254-276 . - doi : 10.1016/0022-3697(59)90002-2 .
↑ 1 2 A. Ya. Shik, L. G. Bakueva, S. F. Musikhin, S. A. Rykov. PHYSICS OF LOW-DIMENSIONAL SYSTEMS / Redigerad av V. I. Ilyin och A. Ya. Shik. - St Petersburg: "Nauka", 2001. - 160 sid. — ISBN 5-02-024966-1 . (ryska)

Litteratur

Landau nivåer // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (vol. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .