Verbal räkning

Mentalkonto  - matematiska beräkningar utförda av en person utan hjälp av ytterligare enheter ( dator , miniräknare , kulram , etc.) och enheter ( penna , penna , papper , etc.).

Processen för mental räkning

Processen för mental räkning kan betraktas som en räkneteknik som kombinerar mänskliga idéer och färdigheter om siffror, matematiska algoritmer för aritmetik.

Det finns tre typer av mental räkningsteknik , som använder olika fysiska förmågor hos en person:

• konto " på fingrarna ";
• teknik för ljudmotorräkning;
• visuell räkningsteknik.

Ett karakteristiskt drag för audiomotorisk mental räkning är ackompanjemanget av varje handling och varje nummer med en verbal fras som "två gånger två är fyra". Det traditionella räknesystemet är just ljudmotortekniken. Nackdelarna med audiomotormetoden för att utföra beräkningar är:

• frånvaron i den memorerade frasen av relationer med närliggande resultat,
• omöjligheten att separera tiotals och enheter av produkten i fraser om multiplikationstabellen utan att upprepa hela frasen;
• oförmågan att vända frasen från svaret till faktorer, vilket är viktigt för att utföra division med en rest;
• långsam uppspelningshastighet för en verbal fras.

Superdatorer, som visar höga tankehastigheter, använder sina visuella förmågor och utmärkta visuella minne. Människor som är skickliga i hastighetsberäkningar använder inte ord i processen att lösa ett aritmetiskt problem i sina sinnen. De demonstrerar verkligheten av den visuella tekniken för mental räkning , utan den största nackdelen - den långsamma hastigheten att utföra elementära operationer med siffror.

Huvudräkning i grundskolan

Utvecklingen av mentalräknande färdigheter intar en speciell plats i grundskolan och är en av huvuduppgifterna för att undervisa i matematik i detta skede [1] . Det är under de första åren av träning som huvudmetoderna för muntliga beräkningar läggs, som aktiverar elevernas mentala aktivitet, utvecklar barns minne, tal, förmågan att uppfatta vad som sägs med gehör, öka uppmärksamheten och reaktionshastigheten [1 ] .

För att lära barn att räkna används ofta japansk kulram - soroban . Många experter tror att metoden att räkna med hjälp av asiatisk kulram (denna metod kallas också huvudräkning ) dök upp i det antika Kina, men det finns inga bevis för detta. Kulramen var en räknebräda. Dessa enheter användes över hela världen, inte bara i Kina [2] .

Ett träningsprogram för huvudräkning tar vanligtvis flera år att genomföra. Först lär sig barn att räkna med en riktig kulram. Sedan, istället för en riktig tavla, börjar eleverna använda dess bild: när du tittar på ritningen under beräkningar måste du föreställa dig hur knogarna rör sig. Så småningom börjar barn att visualisera kulramen, vilket gör att de mentalt kan utföra samma operationer som att använda en riktig bräda. Många experter tror att mental aritmetik effektivt kan utveckla logiskt tänkande, analytiska färdigheter och förbättra minnet. Eleverna kan visualisera uppgifter, förstå dem djupare och tänka kreativt. Dessa färdigheter hjälper dem att bättre koncentrera sin uppmärksamhet, systematisera de förvärvade kunskaperna och bättre anpassa sig till förändrade förhållanden [2] .

Vissa lärare och vetenskapsmän är dock lite skeptiska till denna metod. Så, enligt folkets lärare i Ryssland Leonid Isakovich Zvavich , är mental räkning en användbar sak, men det finns många andra metoder för mental räkning, och det är svårt att säga vilken som är bättre. Ett barns framgång i lärande beror till stor del på vilken typ av lärare han hade, men utvecklingsaktiviteter hjälper honom förstås att dra upp olika ämnen [2] .

Men även kritiker av denna metod medger att det fortfarande finns en viss fördel med huvudräkning, särskilt om matematik är svårt för ett barn. Dessutom utvecklar barn i inlärningsprocessen vanan att arbeta, vilket definitivt kommer att komma väl till pass senare i livet [2] .

Simulatorer för mental räkning

Digitala skivspelare på en telefonmatris.

Digitala skivspelare i grundutförande är två telefonpaneler som kan vridas runt en central axel. Digitala skivspelare är mekaniska inlärningshjälpmedel som låter barn lära sig i form av ett spel metoderna för geometrisk addition och multiplikation av ensiffriga decimaltal. Beskrivs i RF-patentet [3] .

Konstruktion av en digital skivspelare . Den fasta basen på skivspelaren är ett plan med ritningar av siffror arrangerade i formatet av en T-matris med tre rader och tre kolumner. Ett roterande plan (propeller) är överlagrat på basen, på vilket pilar är ritade som föreslår svar. Propellerns rotationsaxel sammanfaller med mitten av den fasta T-matrisen. Den enda tillgängliga rörelsen är propellerns rotation runt axeln [4] .

Tillägg .

Funktionsprincipen för en digital skivspelare är följande. Vi skriver summan av ensiffriga tal A+B=[D;E] i två siffror av tiotal D och enheter E. Alla exempel med samma värde på termen +B kommer att kallas additionsbladet .

Vi visar antalet enheter E i additionsexemplet med en pil från A till E. Denna pil kallas summaenhetsindikator .

Pilarna på tilläggsbladet bildar streckade blixtlinjer .

Enhetsregel . Addering A + B utförs genom att flytta längs pilpekaren som visas på additionsbladet (+B), från siffran A till talet E för summaenheterna.

2+1 exempel . Du behöver ett tilläggsblad (+1). Ställ in chip-etiketten till nummer 2 på T-matrisen. Vi flyttar chippet längs blixtpilen som kommer ut från punkt 2. I slutet av pekaren visas summan 3.

Exempel 7+7 . Vi tar tilläggsarket (+7). Ställ in chip-etiketten till nummer 7 på T-matrisen. Vi flyttar chippet längs "steg upp"-pilen på den 7:e blixten som kommer ut från punkt A=7. I slutet av pekaren visas enhetssiffran E=4.

Tillämpa tiotalsregeln . Om det finns en inversion på enhetsindikatorn av summan A->E, det vill säga A>E, så är tiotalssiffran i summan D=1 [5] .

Multiplikation .

Låt oss utföra följande experiment med exempel på multiplikation med 3 (det tredje multiplikationsbladet 3xB=[D;E]). Föreställ dig att vi befinner oss i mitten av en stor telefon T-matris. Låt oss med vänster hand visa riktningen från mitten till multiplikatorn B. Låt oss lägga åt sidan höger hand och göra en rät vinkel med vänster hand. Då kommer den högra handen att visa enhetssiffran E i 3xB multiplikationsexemplet [6] . Så regeln för enheter multiplicerad med 3 formuleras i två ord: "enheter till höger" (från den radiella strålen av faktorn B).

Regeln för att vända strålar (siffror) på T-matrisen kan betraktas som en mnemonisk regel , bekväm för att komma ihåg alla exempel på det 3:e multiplikationsarket. Om läraren ber om att beräkna 3x7 kommer eleven att komma ihåg bilden av T-matrisen med de nödvändiga strålarna och läsa svarsnumren från den och kalla siffrorna i ord . Men i geometriska beräkningar i sinnet behövs inte ord, eftersom ord dyker upp i minnet på räknaren efter bilden, där svarsnumren redan är indikerade. Samtidigt med bilden som visas i minnet av en person har numret på resultatet redan tagits emot och realiserats.

Det bör noteras att elementen i bilden i visuell aritmetik är standardiserade, de kan betraktas som ett språk för visuella bilder , vars sekvens (motsvarande algoritmen) är likvärdig med att utföra beräkningar. Bilderna som visas i minnet kan vara dynamiska , som i en film, eller statiska , om både initialdata och resultatsiffror visas på samma geometriska diagram. Enstegsalgoritmer är att föredra framför flerstegsalgoritmer.

För att komma ihåg rätt bild för att få siffrorna i svaret i ett elementärt exempel krävs ett tidsintervall på 0,1-0,3 sekunder. Observera att när man löser elementära exempel på ett geometriskt sätt, sker ingen ökning av belastningen på psyket. Faktum är att det geometriska kontot för en tränad miniräknare automatiskt är ett höghastighetskonto.

Dator "på fingrarna" .

Indikeringen av radiella strålar när de multipliceras med 3 kan utföras med höger handflata . Sätt åt sidan tummen på höger hand, tryck hårt på resten av fingrarna. Låt oss placera den högra handflatan på mitten av T-matrisen och rikta tummen mot multiplikatorn B. Sedan kommer de återstående fingrarna på höger hand att visa antalet enheter E av produkten 3xB=[D;E]). Så, multiplikation med 3 implementeras på telefonmatrisen med högerregeln ". Till exempel, 3x2=6 [7] .

På samma sätt: regeln för multiplikationsenheter med 7 är regeln för vänster hand [8] .

Enhetsregeln för att multiplicera med 9 är en fingerdelning [9] .

Andra geometriska regler för multiplikationsenheter kan visas i diagram som har radiella strålar av T-matrisen [10] . I detta fall utförs multiplikationen av jämna tal på ett jämnt kors av siffror i T-matrisen [11] . En framgångsrik simulator är mekaniska träningshjälpmedel - digitala skivspelare som använder en digital telefonmatris [12] .

För att visa storleken på tiotalet för produkten AxB kan du använda stegmodellerna av multiplikationsblad, vars utseende och funktioner vi minns på samma sätt som terrängen. Handens höjd över basen (golvet) visar värdet på tior. Om D-talet är större än 5, kommer botten av golvet att motsvara D=5, och den övre nivån på handen kommer att motsvara 9 [13] .

Fenomenala räknare

Fenomenet med speciella förmågor i mentalräkning har funnits länge. Som ni vet hade många forskare dem, i synnerhet Andre Ampère och Karl Gauss . Men förmågan att snabbt räkna var också inneboende hos många människor vars yrke låg långt ifrån matematik och naturvetenskap i allmänhet.

Fram till andra hälften av 1900-talet var framträdanden av specialister inom muntlig räkning populära på scenen [14] . Ibland anordnade de demonstrationstävlingar sinsemellan, som också hölls inom väggarna av respekterade utbildningsinstitutioner, inklusive till exempel Lomonosov Moscow State University [14] .

Bland de välkända ryska "superdiskarna":

• Aron Chikvashvili  - "mirakelräknare" [15] [16] [17] [18]
• Arrago [14]
• David Goldstein [14]
• Igor Shelushkov [15]
• Gorny (Yashkov) Yuri Gavrilovich [19]
• A. V. Nekrasov  - "mänsklig-dator" [20] [21] [22] [23] [24]
• Vladimir Kutyukov  - "man-kalender" [25] [26] [27] [28] [29] [30]

Bland utländska:

• Borislav Gadzhansky [15]
• William Kline [15]
• Jacques Inaudi [15]
• Louis Fleury [15]
• Mademoiselle Osaka [15]
• Maurice Dagber [15]
• Thomas Fuller [15]
• Urania Diamondi [15]
• Shakuntala Devi [15]
• Yusnier Viera  är en kubansk-amerikansk matematiker, fenomenal räknare , världsrekordhållare inom området muntlig kalenderberäkning [31] [32] .

Även om vissa experter försäkrade att det var en fråga om medfödda förmågor [33] , hävdade andra övertygande motsatsen: "poängen är inte bara och inte så mycket i vissa exceptionella," fenomenala "förmågor, utan i kunskapen om vissa matematiska lagar som tillåter dig att snabbt göra beräkningar” och avslöjade villigt dessa lagar [14] .

Mental Counting Competitions

I de baltiska länderna, Slovenien och Ukraina hålls för närvarande tävlingar i muntlig räkning bland skolbarn under namnet Pranglimine ( Est. Pranglimine ). Sedan 2004 har internationella tävlingar hållits bland skolbarn och vuxna. 2016 hölls tävlingen i Murska Sobota (Slovenien) [34] [35] .

Sedan 2004 har World Mental Computing Championship hållits vartannat år [36] . Tävlingar hålls för att lösa problem som att lägga till tio 10-siffriga nummer (enligt reglerna för 2016, 7 minuter ges för denna uppgift), multiplicera två 8-siffriga tal på 10 minuter, beräkna veckodagen enligt Gregoriansk kalender för ett givet datum från 1600 till 2100 år (1 minut), kvadratroten ur 6 siffror på 10 minuter (resultatet måste rapporteras med 8 decimaler). Vinnaren i kategorin "Bästa universalräknare" bestäms också baserat på resultaten av att lösa sex okända "problem med en överraskning". Ansökan åtföljs av resultaten i mind sport och resultatet i Memoriad-programmen (från memoriad.com [37] ), bekräftat av någon (till exempel en matematiklärare). Det finns ingen åldersgräns, och ingen skillnad görs mellan könen. Deltagaren startar varje uppgift med kommandot "Neurons: On the ready, go". Mästerskapet 2018 hölls den 28-30 september 2018 på Phæno Science Center i Wolfsburg , Tyskland enligt följande regler [38] .

Memoriad [37] (Mental math + meMORy + olimpIAD) är en internationell olympiad i huvudräkning, memorering och snabbläsning, som hålls vart 4:e år (sammanfaller i år med de olympiska sommarspelen). Mentalaritmetiska uppgifter inkluderar: multiplicera 5-, 8- och 20-siffriga tal; dividera 10-siffriga tal med 5-siffriga ettor; ta kvadratroten ur ett 6-, 8- och 10-siffrigt tal; addera 250 två -siffriga nummer, som visar varje nummer 0,6 sekunder. Bland andra uppgifter: komma ihåg binära tal, decimaltal för en viss tid (från 1 minut till 1 timme).

Trachtenberg-metoden

Bland dem som utövar huvudräkning är boken "Quick Counting Systems" av Zürichprofessorn i matematik Jacob Trachtenberg mycket populär [39] . Historien om dess skapelse är ovanlig [15] . 1941 kastade tyskarna den blivande författaren i ett koncentrationsläger . För att upprätthålla klarhet i sinnet och överleva under dessa förhållanden började forskaren utveckla ett system för accelererad räkning. På fyra år lyckades han skapa ett sammanhängande system för vuxna och barn, som han senare skisserade i en bok. Efter kriget skapade vetenskapsmannen och ledde Zürichs matematiska institut [15] .

Mentalaritmetik i konsten

I Ryssland, målningen av den ryska konstnären Nikolai Bogdanov-Belsky " Mental Account. I S. A. Rachinskys folkskola ”, skriven 1895. Uppgiften som ges på tavlan, som eleverna funderar på, kräver ganska hög mentalräkningsförmåga och uppfinningsrikedom. Här är hennes tillstånd:

Fenomenet med snabb räkning av en autistisk patient avslöjas i filmen " Rain Man " av Barry Levinson och i filmen " Pi " av Darren Aronofsky .

Några knep för mental räkning

För att multiplicera ett tal med en ensiffrig faktor (till exempel 34×9) muntligt, är det nödvändigt att utföra åtgärder, med början från den mest signifikanta siffran, sekventiellt lägga till resultaten (30×9=270, 4×9=36 , 270+36=306) [40] .

För effektiv mental räkning är det användbart att känna till multiplikationstabellen upp till 19 × 9. I detta fall utförs 147×8 multiplikationen mentalt enligt följande: 147×8=140×8+7×8= 1120 + 56= 1176 [40] . Men utan att känna till multiplikationstabellen upp till 19×9 är det i praktiken bekvämare att beräkna alla sådana exempel genom att reducera multiplikatorn till bastalet: 147×8=(150−3)×8=150×8−3 ×8=1200−24=1176 och 150×8=(150×2)×4=300×4=1200.

Om en av de multiplicerade delas upp i envärdiga faktorer är det lämpligt att utföra åtgärden genom att successivt multiplicera med dessa faktorer, till exempel 225×6=225×2×3=450×3=1350 [40] . Dessutom kan 225×6=(200+25)×6=200×6+25×6=1200+150=1350 vara enklare.

Flera sätt att räkna:

• Multiplicera med 10. Tilldela noll till höger: 48 × 10 \u003d 480.

• Multiplikation med 9. För att multiplicera ett tal med 9, måste du addera 0 till multiplikaden och subtrahera multiplikationen från det resulterande talet, till exempel 45 × 9=450−45=405.

• Att multiplicera med 5 är bekvämare så här: multiplicera först med 10 och dividera sedan med 2.

• Multiplicera med 11 tvåsiffriga tal [N; A]. Flytta isär siffrorna N och A, ange summan (N + A) i mitten.

till exempel, 43×11 = [4; (4+3); 3] = [4; 7; 3] = 473.

• När du multiplicerar med 1,5 måste det multiplicerade delas på mitten och läggas till det multiplicerade, till exempel 48 × 1,5 = 48/2 + 48 = 72. Kan användas när du multiplicerar med 15 48 × 1,5 × 10 \u003d 720.

• Kvadreringen av ett tal av formen [N;5] (som slutar på fem) utförs enligt schemat: vi multiplicerar N med N + 1, skriver ner det i hundratal och tilldelar 25 till höger. Formel: [N; 5]x[N; 5] = [(Nx(N+1)); 2; 5].
  

Bevis: Till exempel, 65² = 6×7 och tilldela 25 till höger, vi får 4225 eller 95² = 9025 (hundratals 9×10 och attribut 25 till höger).

• Tal som är nära praktiska tal för multiplikation. kan kvadratiseras med en formel (t.ex. 42² = (42 + 2)(42 − 2) + 2² = 44 × 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764). Du kan också multiplicera siffror som har samma korta avstånd från lämpliga, till exempel: 23 × 17 = (20 + 3)(20 − 3) = 20² − 3² = 400 − 9 = 391. [41]

Se även

• Binom
• Beräkningsmatematik
• Miniräknare (yrke)
• Multiplikationstabell

Anteckningar

1. ↑ 1 2 G. V. Dyudyaeva, N. V. Dolbilova Om inverkan av systemet med muntliga övningar på prestationer hos yngre skolbarn i matematik // Lärare - student: problem, sökningar, fynd: Samling av vetenskapliga artiklar. Release 8
2. ↑ 1 2 3 4 Kuzaev, Marat. Har barn nytta av huvudräkning  : [ arch. 2018-07-24 ] // TASS . - 2018. - 23 juli. — Tillträdesdatum: 2021-06-06.
3. ↑ Ryska federationens patent nr 2406160, 2009. V. B. Curds. Digitala skivspelare för addition, subtraktion, multiplikation och heltalsdivision med hjälp av en telefon T-matris
4. ↑ T-matris och blixtlåskonstruktion. . Datum för åtkomst: 29 oktober 2013. Arkiverad från originalet 1 november 2013. (obestämd)
5. ↑ A. V. Tvorogov Digitala skivspelare i spelmetoden för undervisning tillägg. . Hämtad 30 oktober 2013. Arkiverad från originalet 30 oktober 2013. (obestämd)
6. ↑ Illustration av hur man multiplicerar med 3. . Datum för åtkomst: 31 oktober 2013. Arkiverad från originalet den 2 november 2013. (obestämd)
7. ↑ Illustration av multiplikation med 3. . Datum för åtkomst: 29 oktober 2013. Arkiverad från originalet 1 november 2013. (obestämd)
8. ↑ Illustration av multiplikation med 7. . Datum för åtkomst: 29 oktober 2013. Arkiverad från originalet 1 november 2013. (obestämd)
9. ↑ Illustration av multiplikation med 9. . Datum för åtkomst: 29 oktober 2013. Arkiverad från originalet 1 november 2013. (obestämd)
10. ↑ Regler för enheter för multiplikationstabellen på telefonmatrisen. . Hämtad 30 oktober 2013. Arkiverad från originalet 30 oktober 2013. (obestämd)
11. ↑ Illustration av enhetsregeln för multiplikation. . Datum för åtkomst: 29 oktober 2013. Arkiverad från originalet 1 november 2013. (obestämd)
12. ↑ A. V. Tvorogov Digitala skivspelare som ett multiplikationsverktyg. . Hämtad 30 oktober 2013. Arkiverad från originalet 30 oktober 2013. (obestämd)
13. ↑ A. V. Tvorogov "Dator på fingrarna" i spelmetoden för att studera multiplikationstabellen. . Hämtad 30 oktober 2013. Arkiverad från originalet 30 oktober 2013. (obestämd)
14. ↑ 1 2 3 4 5 Geni eller metod? Arkivexemplar daterad 27 februari 2011 på Wayback Machine // A. Leonovich, Science and Life , N4 1979
15. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Mirakelräknare. Arkiverad 27 februari 2021 på Wayback Machine // Viktor Pekelis, Technique for Youth , N7 1974
16. ↑ Mirakelräknare // Divo-90. Mirakel. Uppgifter. Prestationer. - Moskva: "Divo", 1991. - S. 54. - 207 sid. — 100 000 exemplar.
17. ↑ Mirakelräknare // Mirakel 93. Mirakel. Uppgifter. Prestationer. - Moskva: "Divo", 1993. - S. 29. - 191 sid. — 100 000 exemplar.  — ISBN 5-87012-008-X . .
18. ↑ Mirakelräknare // Rekordbok "Lefty". - Moskva: Förlag "All Russia", 2004. - S. 123. - 336 s. - 4000 exemplar.
19. ↑ Officiell webbplats för Yu. Gorny . Hämtad 20 september 2010. Arkiverad från originalet 5 januari 2010. (obestämd)
20. ↑ Människo-dator // Divo-90. Mirakel. Uppgifter. Prestationer. - Moskva: "Divo", 1991. - S. 54. - 207 sid. — 100 000 exemplar.
21. ↑ Människo-dator // Divo 93. Mirakel. Uppgifter. Prestationer. - Moskva: "Divo", 1993. - S. 29. - 191 sid. — 100 000 exemplar.  — ISBN 5-87012-008-X . .
22. ↑ Människo-dator // Divo. Mirakel. Uppgifter. Prestationer. - Moskva: "Divo", 1998. - S. 30. - 224 s. — 15 000 exemplar.  - ISBN 5-87012-014-4 . .
23. ↑ Människo-dator // Divo. Mirakel. Uppgifter. Prestationer. - Moskva: "Divo", 2001. - S. 29. - 287 sid. — 10 000 exemplar.  — ISBN 5-87012-017-9 . .
24. ↑ Människo-dator // Rekordbok "Lefty". - Moskva: Förlag "All Russia", 2004. - S. 123. - 336 s. - 4000 exemplar.
25. ↑ Människokalender // Mirakel 93. Mirakel. Uppgifter. Prestationer. - Moskva: "Divo", 1993. - S. 29. - 191 sid. — 100 000 exemplar.  — ISBN 5-87012-008-X . .
26. ↑ Människokalender // Fantastiskt. Mirakel. Uppgifter. Prestationer. - Moskva: "Divo", 1998. - S. 30-31. — 224 sid. — 15 000 exemplar.  - ISBN 5-87012-014-4 . .
27. ↑ Kalender i huvudet // Divo. Mirakel. Uppgifter. Prestationer. - Moskva: "Divo", 2001. - S. 29-30. — 287 sid. — 10 000 exemplar.  — ISBN 5-87012-017-9 . .
28. ↑ Kalender i huvudet // Divo. Mirakel. Uppgifter. Prestationer. - Moskva: "Divo", 2005. - S. 28-29. — 208 sid. - ISBN 5-87012-023-3 . .
29. ↑ Man-kalender // Book of Records "Lefty". - Moskva: Förlag "All Russia", 2004. - S. 123. - 336 s. - 4000 exemplar.
30. ↑ Fantastiska människor. Säsong 4 8 nummer. Vladimir Kutyukov. YouTube Calendar Man
31. ↑ Ung kubansk fjärdeplats i mentalräkningsolympiaden. Arkiverad 11 mars 2012 på Wayback Machine 
32. ↑ Kubanskt underbarn upp för ännu ett Guinness-rekord. Arkiverad 11 mars 2012 på Wayback Machine 
33. ↑ "Jag tror att kamrat. Goldstein D.N. är en kalkylator av högsta märke ... Hans arbete bygger enbart på minne och medfödda förmågor. Jag är mycket nöjd med att mitt företag har hittat en ganska välförtjänt efterträdare i honom.” R. S. Arrago, Moskva, 5.11.1929
34. ↑ PRANGLIMINE. Arkiverad 5 mars 2010 på Wayback Machine  (på estniska)
35. ↑ Pranglimine expressfaktura. . Datum för åtkomst: 12 september 2010. Arkiverad från originalet den 30 januari 2009. (obestämd)
36. ↑ Alexander Khavronin . Nummerätare. Robert Fontaine räknas till mästerskapet , Radio Liberty  (8 december 2006). Hämtad 29 september 2012.
37. ↑ 12 Memoriad.com . _ Hämtad 23 januari 2022. Arkiverad från originalet 5 maj 2015. (obestämd)
38. ↑ Regler . Hämtad 19 september 2018. Arkiverad från originalet 19 september 2018. (obestämd)
39. ↑ Ya. Trachtenberg "Quick Counting Systems"
40. ↑ 1 2 3 Perelman Ya. I. Snabbräkning. Trettio enkla metoder för mental räkning.
41. ↑ Arthur Benjamin - Den mentala matematikens  hemligheter . Tillträdesdatum: 19 februari 2016. Arkiverad från originalet 5 augusti 2017.

Litteratur

• Bantova M. A. Systemet för bildande av beräkningsfärdigheter. //Börja. skola - 1993. - Nr 11. - sid. 38-43.
• Beloshistaya A. V. Metod för bildandet av muntliga datorkunskaper inom 100 // Grundskola. - 2001.- Nr 7
• Berman G.N. Räknemetoder, red. 6:e, Moskva: Fizmatgiz, 1959.
• Borotbenko EI Kontroll av muntliga datorkunskaper. //Börja. skola - 1972. - Nr 7. - sid. 32-34.
• Vozdvizhensky A. Mental Computing. Regler och förenklade exempel på handlingar med siffror. — 1908.
• Volkova SI., Moro MI Addition och subtraktion av flervärdiga tal. //Börja. skola - 1998.-№ 8.-s.46-50
• Voskresensky MP Metoder för förkortade beräkningar: heltal. - M .: Typo-lit. W. Richter, 1905.- 39 sid.
• Wroblewski . Hur man lär sig att räkna enkelt och snabbt. - M.-1932. — 132 sid.
• Gol'dshtein D. N. En kurs av förenklade beräkningar. M.: Stat. utbildnings-ped. uppl., 1931.
• Gol'dshtein D. N. Teknik för snabba beräkningar. M.: Uchpedgiz, 1948.
• Gonchar D.R. Oral räkning och minne: Gåtor, utvecklingstekniker, spel // I lör. Oral räkning och minne. Donetsk: Stalker, 1997. ISBN 966-596-057-7 .
• Demidova T. E., Tonkikh A. P. Metoder för rationella beräkningar i grundkursen i matematik // Grundskola. - 2002. - Nr 2. - S. 94-103.
• Cutler E. McShane R. Trachtenberg Quick Counting System. - M.: Uchpedgiz. - 1967. - 150 sid.
• Lipatnikova I. G. Muntliga övningars roll i matematiklektioner // Grundskola. - 1998. - Nr 2.
• Martel F. Metoder för snabb räkning. — Pb. −1913. − 34 s.
• Martynov I. I. Muntlig räkning för en skolbarn, vilka skalor är för en musiker. // Grundskola. - 2003. - Nr 10. - S. 59-61.
• Melentiev P. V. "Snabba och muntliga beräkningar." Moskva: Gostekhizdat, 1930.
• Perelman Ya. I. Snabb poäng. L .: Soyuzpechat, 1945.
• Pekelis V.D. Dina möjligheter, man!. - 4:a, reviderad. och ytterligare - Moscow: Knowledge, 1984. - 272 s. - 200 000 exemplar.
• Robert Toquet "2 + 2 = 4" (1957) (engelsk utgåva: The Magic of Numbers (1960)).
• Sorokin A.S. Räkneteknik. M.: "Kunskap", 1976.
• Sukhorukova A.F. Mer uppmärksamhet åt muntliga beräkningar. //Börja. skola - 1975.- Nr 10. - sid. 59-62.
• Curds VB Visuell aritmetik och teknik för snabb räkning. M.: Bok 1: Fundamentals. "Librocom", 2011. - 208 sid. ISBN 978-5-397-01928-6 .
• Faddeycheva T. I. Undervisar i Oral Computing // Grundskola. - 2003. - Nr 10.
• Faermark D. S. "Uppgiften kom från bilden." M.: "Vetenskap".

Länkar

• V. Pekelis. Mirakelräknare // Teknik för ungdomar , nr 7, 1974
• S. Trankovskij. Muntlig redogörelse // Science and life , nr 7, 2006.
• 1001 huvudräkningsuppgifter av S. A. Rachinsky .
• Perelman Ya. I. Snabb poäng. L., 1941, 12 sid. (i Math.Ru-biblioteket)
• Oral räkneledare .
• Lösningar på Rachinsky-problemet från målningen "Mental Counting. I S. A. Rachinskys folkskola.
• Visuell aritmetik
• Mobilapplikation - simulator för muntlig räkning