Fermi gas

Fermigas (eller Fermi - Dirac idealgas ) är en gas som består av partiklar som uppfyller Fermi-Dirac-statistiken , med låg massa och hög koncentration . Till exempel elektroner i en metall . I den första approximationen kan vi anta att potentialen som verkar på elektronerna i metallen är ett konstant värde, och på grund av den starka screeningen av positivt laddade joner kan den elektrostatiska repulsionen mellan elektronerna försummas . Då kan metallens elektroner betraktas som en idealisk Fermi-Dirac-gas - en elektrongas .

Fermi-Dirac gas vid noll temperatur

Den lägsta energin för en klassisk gas (eller Bose-Einstein-gas ) vid är lika med . Det vill säga, vid noll temperatur faller alla partiklar till sitt lägsta tillstånd och förlorar all sin kinetiska energi . Detta är dock inte möjligt för Fermi-gasen. Pauli-uteslutningsprincipen tillåter endast en Fermi-partikel med halvheltalsspinn att vara i ett tillstånd .

Den lägsta partikelgasenergin kan erhållas genom att placera en partikel i vart och ett av de lägsta energikvanttillstånden . Därför kommer energin hos en sådan gas att skilja sig från noll.

Värdet är lätt att beräkna. Låt oss beteckna med energin hos en elektron i högsta kvanttillstånd, som fortfarande är fylld vid . Vid nolltemperatur är alla kvanttillstånd med energi under upptagna, och alla kvanttillstånd med energi över är fria.

Därför måste det finnas exakt tillstånd med energier mindre än eller lika med . Detta tillstånd är tillräckligt för att hitta . Eftersom volymen är mikroskopisk är translationstillstånd nära varandra i momentumrymden, och vi kan ersätta summering över translationella kvanttillstånd med integration över klassiskt fasutrymme efter att ha dividerat med :

var är antalet interna kvanttillstånd som motsvarar den inre energin . Antal , för elektroner med spin 1/2. Genom att integrera det sista uttrycket från till , rörelsemängden för det högsta fyllda tillståndet med energi , och likställa resultatet med , får vi med hänsyn till det faktum att :

eller för elektroner med :

Kvantiteten , den högsta energin av fyllda nivåer, kallas Fermi-energin .

Fermi-Dirac-gas vid ändlig temperatur

För värden som inte är noll av parametern hittas tätheten för antalet elektroner i energiutrymmet genom att multiplicera tillståndens kvantdensiteter

med faktorn , som ger antalet elektroner per kvanttillstånd:

där kvantitet är den kemiska potentialen vid , och är den kemiska potentialen vid en given temperatur.

Om vi ​​integrerar denna funktion över alla värden på , kan vi definiera den som en funktion av temperaturen.

Jämför resultatet, som ingår i det totala antalet partiklar . Detta visar att för är en funktion av parametrarna och .

Energi kan hittas från relationen:

varifrån det kan ses att vi här står inför problemet att hitta en integral av typen:

där funktionen är någon enkel och kontinuerlig funktion av till exempel eller , och

Det bör noteras att värdet har en storleksordning från till K för de flesta metaller.

Om vi ​​hoppar över ganska besvärliga matematiska beräkningar får vi det ungefärliga värdet av den kemiska potentialen:

som uttrycker den kemiska potentialen i termer av parametrarna och .

Här bör det noteras att detta beroende inte är särskilt starkt, till exempel för rumstemperaturer är den första tillsatsen ett ganska litet värde - . Därför, i praktiken, vid rumstemperatur, sammanfaller den kemiska potentialen praktiskt taget med Fermi-potentialen.

Se även

Litteratur

Länkar