Frobenius normal form

I linjär algebra är Frobenius normalform av en linjär operator A den kanoniska formen av dess matris, vilket motsvarar den minimala sönderdelningen av ett linjärt utrymme till en direkt summa av delrum som är invarianta under A, vilket kan erhållas som ett linjärt spann av några vektor och dess bilder under inverkan av A. Det kommer att vara blockdiagonal matris bestående av Frobenius-celler av arten

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

En sådan matris kallas ett medföljande polynom . ${\displaystyle x^{n}+x^{n-1}a_{n-1}+\cdots +a_{0))$

Uttalande av satsen

Låt V vara ett ändligt dimensionellt vektorrum över ett fält k , A vara en linjär operator på detta utrymme. Sedan finns det en grund V sådan att matrisen A i denna bas är blockdiagonal , dess block är medföljande matriser för enhetliga polynom som är delbara med . Polynom är unikt definierade. $f_{i}$ $f_{{i+1}}$ $f_{i}$ $f_{i}$

Bevis

En linjär operator på ett vektorrum gör det rummet till en modul över en polynomring k [ x ] (multiplicera med x motsvarar att tillämpa en linjär operator). En polynomring är euklidisk , därav en principiell idealdomän , så vi kan tillämpa struktursatsen för ändligt genererade moduler över principiella idealringar . Vi använder nämligen sönderdelningen av rymden till en direkt summa av invarianta faktorer. En individuell faktor har formen k[x]/f(x) , låt graden av f vara n . Vi väljer en bas i detta delrum som bilderna av polynomen 1, x, x 2 ... x n-1 i faktoriseringsmappingen, är det lätt att se att matrisen för operatorn "multiplicera med x" i denna bas sammanfaller med den medföljande matrisen för polynomet f(x) . Genom att välja baser av denna typ i varje faktor får vi en matris av den önskade typen. Polynomens invarians följer av invariansen av faktorer i struktursatsen. $f_{i}$

Exempel

Ett exempel på en allmän position.

Om alla egenvärden för en matris är olika, kommer dess Frobenius normala form att vara en matris som består av exakt ett block:

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

och talen är koefficienterna för det karakteristiska polynomet. $a_{{i}}$

Flera block kan bara uppstå om matrisens egenvärden är desamma.

extrema exempel.

Betrakta en skalär matris, det vill säga en diagonal matris så att alla tal på diagonalen är lika med samma nummer . För en sådan matris kommer dess Frobenius normala form att vara sig själv. Det vill säga att varje värde på diagonalen är ett Frobenius-delblock på 1 gånger 1. Och alla polynom är lika med varandra och lika med . Observera att när den konjugeras av någon matris förblir en skalär matris sig själv, det vill säga konjugering kan i princip inte ändra sin form, vilket motsvarar det faktum att den själv är dess Frobenius normala form. $\lambda$ $f_{i}$ $x-\lambda$

För en 2-av-2-matris som är en Jordan-cell:

${\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix))$ dess Frobenius normala form är matrisen: . Det vill säga ett block 2 gånger 2. I synnerhet är det lätt att se att spåren och determinanterna för dessa matriser är desamma. ${\begin{pmatrix}0&-\lambda ^{2}\\1&2\lambda \end{pmatrix}}$

För en 3 gånger 3-matris som är en Jordan-cell:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &1\\0&0&\lambda \end{pmatrix))

dess Frobenius normala form är matrisen:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda ^{3}\\1&0&-3\lambda ^{2}\\0&1&3\lambda \end{pmatrix}}

Dessa exempel visar att sammanträffandet av egenvärden inte är ett tillräckligt villkor för uppkomsten av flera block. (Även om det är nödvändigt - som noterats ovan).

Dessa exempel är generaliserade till fallet med matriser av godtycklig storlek - för en Jordan-cell av full storlek har dess Frobenius-normalform ett block och den sista kolumnen ges av koefficienterna för polynomet taget med ett minustecken. (Detta polynom är karakteristiskt och minimalt för denna matris). ${\displaystyle (x-\lambda )^{n))$

En matris som har Jordan normalform:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&1&0\\0&\lambda _{1}&\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix))

(för ).

{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2))

har en Frobenius normalform bestående av ett enda 3 x 3 block:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}\\1&0&-\lambda _{1}^{2}-2\lambda _{1}\lambda _{2}\\0&1&2\lambda _{1}+\lambda _{1}\end{pmatrix}}

Polynomet är , det är ett karakteristiskt och minimalt polynom. $f_{1}$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})$

Exempel med två block.

Tänk på en matris som har Jordan normalform:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{1}&0\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix))

(för ).

{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2))

dess Frobenius normala form är en matris som består av två underblock, det första 1 gånger 1 och det andra 2 gånger 2:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&0&-\lambda _{1}\lambda _{2}\\0&1&(\lambda _{1}+\lambda _{2}) \end{pmatrix}}

Polynom ges av formler , och det är lätt att se att (det vill säga ett polynom delar ett polynom ) . Ett polynom är ett minimalt polynom. ${\displaystyle f_{i))$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})$ $f_{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})$ $f_{1}|f_{2}$ $f_{1}$ ${\displaystyle f_{2))$ $f_{2}$

En matris som har Jordan normalform:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{pmatrix}}

dess Frobenius normalform är en matris som består av två underblock, det första 1 gånger 1 och det andra 2 gånger 2:

{\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&0&-\lambda ^{2}\\0&1&2\lambda \end{pmatrix))

Polynom ges av formler , och det är lätt att se att (det vill säga ett polynom delar ett polynom ). Ett polynom är ett minimalt polynom. ${\displaystyle f_{i))$ $f_{1}=(x-\lambda )$ $f_{2}=(x-\lambda )^{2}$ $f_{1}|f_{2}$ $f_{1}$ ${\displaystyle f_{2))$ $f_{2}$

Ytterligare exempel. Om en matris är nilpotent, sammanfaller dess jordanska och Frobenius normala former (fram till transponering). Faktum är att egenvärdena för den nilpotenta matrisen är lika med noll, liksom koefficienterna för det karakteristiska polynomet, det vill säga att de icke-triviala elementen i båda formerna försvinner, och enheter, fram till transponering, finns i båda formerna i på samma sätt.

Egenskaper

Det högsta av polynomen sammanfaller med det minsta polynomet i matrisen. Produkten av alla polynom är lika med det karakteristiska polynomet i matrisen. Blockstorlekarna i Frobenius normalform är desamma som potenserna för polynomen . Egenskapen medför uppenbarligen en identisk sammanträffande av polynom om de har samma grad. Därför, om block i Frobenius normalform har samma storlek, sammanfaller de identiskt. ${\displaystyle f_{i))$ ${\displaystyle f_{i))$ $f_{i}|f_{i+1}$ $f_{i},f_{i+1}$

Litteratur

Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 5:e uppl. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 sid. — ISBN 5-9221-0524-8 .
Milovanov M.V., Tolkachev M.M., Tyshkevich R.I., Fedenko A.S. Ch . 83. — 269 sid.
David S. Dummit och Richard M. Foote. Abstrakt algebra. 2:a upplagan, John Wiley & Sons. pp. 442, 446, 452-458. - ISBN 0-471-36857-1 .