Grundsyn

I representationsteorin för Lie-grupper och Lie-algebra är en fundamental representation  en irreducibel finitdimensionell representation av en semisenkel Lie-grupp eller Lie-algebra vars högsta vikt är den fundamentala vikten. Till exempel är den definierande modulen för en klassisk Lie-grupp en grundläggande representation. Varje ändlig-dimensionell irreducerbar representation av en halvenkel Lie-grupp eller Lie-algebra bestäms helt av dess högsta vikt ( Cartans sats ) och kan konstrueras från grundläggande representationer med hjälp av proceduren som beskrivs av Eli Cartan . Sålunda är fundamentala representationer på sätt och vis elementära byggstenar för godtyckliga änddimensionella representationer.

Exempel

• I fallet med en allmän linjär grupp är alla fundamentala representationer yttre potenser hos den definierande modulen.
• I fallet med den speciella enhetsgruppen SU ( n ) är n −1 fundamentala representationer yttre produkter som består av antisymmetriska tensorer , där k = 1, 2, ..., n − 1 .
• Spinnrepresentationen av det dubbla täcket av en udda ortogonal grupp , den udda spinorgruppen , och de två kirala spinnrepresentationerna av det dubbla täcket av en jämn ortogonal grupp, de jämna spinorgrupperna, är grundläggande representationer som inte kan realiseras i utrymmet av tensorer.
• Den angränsande representationen av en enkel Lie-grupp av typ E 8 är en fundamental representation.

Förklaring

Oreducerbara representationer av en enkelt sammankopplad kompakt Lie-grupp indexeras med sina högsta vikter . Dessa vikter är gitterpunkter i det ortanta Q + i Lie-gruppens viktgitter bestående av dominanta integralvikter. Det kan bevisas att det finns en uppsättning fundamentalvikter indexerade av hörnen i Dynkin-diagrammet , så att varje dominerande vikt är en icke-negativ heltalslinjär kombination av fundamentalvikterna. Motsvarande irreducerbara representationer är grundläggande representationer av Lie-grupper. Från nedbrytningen av den dominerande vikten i termer av fundamentala vikter kan man få motsvarande tensorprodukt av fundamentala representationer och peka ut en instans av den irreducibla representationen som motsvarar denna dominerande vikt.

Andra applikationer

Utanför lögnteorin används ibland termen "fundamental representation" för att hänvisa till den exakta representationen, den minsta i dimension, även om den också ofta kallas standardrepresentationen, eller definierande representation. Denna term har mer historiska rötter än en väldefinierad matematisk betydelse.

Litteratur

• Fulton, William; Harris, Joe. representationsteori. En första kurs. - New York: Springer-Verlag , 1991. - V. 129. - (Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics). — ISBN 978-0-387-97495-8 .
• Humphreys, James E. Introduktion till lögnalgebror och representationsteori. - Birkhäuser, 1972. - ISBN 978-0-387-90053-7 . .
• Zhelobenko D. P. Compact Lie-grupper och deras representationer. — M .: Nauka, 1970.