Rent imaginärt tal

... (valt fragment upprepas på obestämd tid)
i −3 = i
i -2 = -1
i −1 = − i
i 0 = 1
i 1 = i
i 2 = −1
i 3 = − i
i 4 = 1
i 5 = i
i 6 = −1
i n = i m där m ≡ n mod 4

Ett rent imaginärt tal är ett komplext tal med noll reell del . Ibland kallas bara sådana tal imaginära tal, men termen används också för att hänvisa till godtyckliga komplexa tal med en imaginär del som inte är noll [1] . Termen "imaginärt tal" föreslogs på 1600-talet av den franske matematikern René Descartes [2] , från början hade denna term en nedsättande betydelse, eftersom sådana tal ansågs fiktiva eller värdelösa, och först efter verk av Leonhard Euler och Carl Gauss fick detta koncept ett erkännande i det vetenskapliga samfundet.

Definitioner

Låta vara ett komplext tal, där och är reella tal . Tal eller och eller kallas reella respektive imaginära (liknande engelska real, imaginary ) delar . $z=x+iy$ $x$ $y$ $x=\Re(z)$ $\operatörsnamn {Re}~z$ $y=\Im (z)$ $\operatörsnamn {Im}~z$ $z$

Om , då kallas ett rent imaginärt tal. $x=0$ $z$
Om , då är ett reellt tal . $y=0$ $z$

Historik

Den antika grekiske matematikern och ingenjören Heron av Alexandria [3] [4] var den första att nämna imaginära tal i sina verk , men reglerna för att utföra aritmetiska operationer (i synnerhet multiplikation ) på dem infördes av Rafael Bombelli 1572 . Bombellis koncept går före liknande arbete av Gerolamo Cardano . Under 1500- och 1600-talen ansågs imaginära siffror av större delen av vetenskapssamfundet som fiktiva eller värdelösa (liknande hur begreppet noll uppfattades på sin tid ). I synnerhet Rene Descartes, som nämner imaginära siffror i sitt grundläggande arbete " Geometry ", använde termen "imaginär" i en nedsättande mening [5] [6] . Användningen av imaginära siffror blev inte utbredd förrän Leonhard Eulers (1707-1783) och Carl Friedrich Gauss (1777-1855) verk. Den geometriska betydelsen av komplexa tal som punkter på ett plan beskrevs först av Kaspar Wessel (1745-1818) [7] .

År 1843 utvidgade den irländska matematikern William Hamilton idén om en axel av imaginära tal i planet till ett fyrdimensionellt kvaternionrum , där tre dimensioner är analoga med de imaginära talen i ett komplext fält.

Med utvecklingen av begreppet ringen av polynom i teorin om faktorringar , blev begreppet ett imaginärt tal mer meningsfullt och vidareutvecklades i begreppet j - bikomplexa tal , vars kvadrat är lika med +1 . Denna idé dök upp i ett papper från 1848 av den engelske matematikern James Cockle 8] .

Geometrisk tolkning

I det komplexa talplanet befinner sig de imaginära talen på en vertikal axel vinkelrät mot den reella talaxeln . Ett sätt att geometriskt tolka imaginära tal är att överväga standardnummerlinjen , där positiva tal är till höger och negativa tal till vänster . Genom punkten 0 på x -axeln kan y -axeln ritas med den "positiva" riktningen uppåt; "positiva" imaginära tal ökar i storlek uppåt, medan "negativa" imaginära tal ökar i magnitud nedåt. Denna vertikala axel kallas ofta den "imaginära axeln" och betecknas i ℝ , , eller ℑ . $\scriptstyle \mathbb {I}$

I denna representation motsvarar multiplicering med -1 en rotation på 180 grader från origo. Att multiplicera med i motsvarar en 90 graders rotation i den "positiva" riktningen (d.v.s. moturs), och ekvationen i 2 = −1 tolkas som att om vi tillämpar två 90 graders rotationer runt origo, blir resultatet en rotation 180 grader. En 90 graders vridning i den "negativa" riktningen (dvs medurs) uppfyller emellertid också denna tolkning. Detta speglar det faktum att − i också är en lösning på ekvationen x 2 = −1 . Generellt är att multiplicera med ett komplext tal analogt med att rotera runt ursprunget för argumentet för det komplexa talet och sedan skala med dess storlek.

Kvadratrötter av negativa tal

Man måste vara försiktig när man arbetar med imaginära tal, som är huvudvärdena av kvadratrötterna av negativa tal . Till exempel sådan matematisk sofism : [9]

6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)))\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)( 3i)=6i^{2}=-6.

Ibland skrivs det så här:

-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (sofism) }}{=}}{\sqrt {(- 1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.

En liknande matematisk sofism uppstår när variablerna i jämlikhet inte har motsvarande begränsningar. I det här fallet misslyckas likheten eftersom båda siffrorna är negativa. Detta kan visas som ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

{\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}} {\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},

där både x och y är icke-negativa reella tal.

Se även

Anteckningar

↑ Komplext nummer // " Matematisk uppslagsverk " / Chefredaktör I. M. Vinogradov. - M . : "Sovjetisk uppslagsverk", 1982. - T. 3. - S. 708. - 1183 sid. - (51 [03] M34).
↑ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe. Matematisk analys : Approximation och diskreta processer . — illustrerad. - Springer Science & Business Media , 2004. - P. 121. - ISBN 978-0-8176-4337-9 . Utdrag från sida 121
↑ Hargittai, István. Femfaldig symmetri (neopr.) . — 2:a. - World Scientific , 1992. - S. 153. - ISBN 981-02-0600-3 .
↑ Roy, Stephen Campbell. Komplexa tal : gittersimulering och zetafunktionsapplikationer . - Horwood, 2007. - P. 1. - ISBN 1-904275-25-7 .
↑ René Descartes, Discourse de la Méthode ... (Leiden, (Nederländerna): Jan Maire, 1637), citerad bok: Geometry , bok 3, sid. 380. Från sidan 380: ”Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Ekvation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." ("Dessutom är både sanna rötter och falska [rötter] inte alltid verkliga; men ibland finns det bara imaginära [tal], det vill säga i varje ekvation kan man alltid representera så många som jag sa; men ibland finns det ingen sådan storleksordning , vilket motsvarar vad man kan föreställa sig, precis som i denna [ekvation], x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, där endast en rot är reell och lika med 2, och i förhållande till de andra två, även om en ökar, eller reducerar eller multiplicerar dem på det sätt jag just har förklarat, ingen kan göra dem annorlunda än de imaginära [värdena].")
↑ Martinez, Albert A. (2006), Negativ matematik: Hur matematiska regler kan böjas positivt , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 .
↑ Rozenfeld, Boris Abramovich. Kapitel 10 // En historia om icke-euklidisk geometri: utveckling av konceptet om ett geometriskt utrymme (engelska) . - Springer, 1988. - S. 382. - ISBN 0-387-96458-4 .
↑ Cockle, James (1848) "Om vissa funktioner som liknar kvarternioner och om en ny imaginär i algebra", London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine , serie 3, 33:435-9 och Cockle (1849) "On a New Imaginary in Algebra ”, Filosofisk tidskrift 34:37-47
↑ Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of "i" [kvadratroten ur minus ett ] . - Princeton University Press , 2010. - P. 12. - ISBN 978-1-4008-3029-9 . Utdrag från sidan 12

Litteratur

Fikhtengolts G.M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 2. - 810 sid.
Nahin, Paul. En imaginär berättelse: historien om kvadratroten av −1 (engelska) . - Princeton: Princeton University Press , 1998. - ISBN 0-691-02795-1 .

Länkar

Hur kan man visa att imaginära siffror verkligen existerar? (Engelsk)
I vår tid : Fantasifulla siffror
5 siffror program 4
Varför använda imaginära siffror? (Engelsk)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor norsk Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4588957-0