Exponentiell exakt sekvens

En exponentiell exakt sekvens är en grundläggande kort exakt sekvens av skivor som används i komplex algebraisk geometri [1] .

Definition

Låt vara en komplex mångfald , och vara en bunt av holomorfa funktioner och dess underhylla som består av ingenstans försvinnande funktioner. Den komplexa exponenten specificerar mappningen $M$ ${\mathcal {O}}_{M}$ ${\mathcal {O}}_{M}^{*}$

\exp :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},

som är en homomorfism av kärvar av abelska grupper . Denna mappning är lokalt surjektiv och har en kärna , som ger en exponentiell exakt sekvens [1] $2\pi \mathbb {Z}$

0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0 .

Egenskaper

Denna exakta sekvens är inte surjektiv på globala sektioner , till exempel i en punkterad skiva , men den fortsätter till en lång exakt sekvens av kärvkohomologi , som börjar som

0\to H^{0}(\mathbb {Z} )\to H^{0}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{0}({\mathcal { O}}_{N}^{*})\till H^{1}(\mathbb {Z} )\till H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\till H^ {1}({\mathcal {O}}_{M}^{*}){\xrightarrow[{}]{c_{1}}}H^{2}(\mathbb {Z} )\to \cdots

var är Picard-gruppen , det vill säga isomorfismklassgruppen av linjebuntar , och är den första Chern-klassen [1] . $H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})$ $c_{1}$

Anteckningar

↑ 1 2 3 Griffiths F., Harris J. Principer för algebraisk geometri = Principer för algebraisk geometri. - M .: Mir, 1982. - Vol. 1. - ISBN 9780471050599 .