Japanskt inskrivet fyrsidigt teorem

Den japanska inskrivna fyrsidiga satsen säger att mitten av cirklar inskrivna i vissa trianglar inuti en inskriven fyrhörning är hörn av en rektangel .

Att dela en godtycklig inskriven fyrhörning med diagonaler ger fyra överlappande trianglar (varje diagonal ger två trianglar). Mitten av cirklarna inskrivna i dessa trianglar bildar en rektangel.

Låt särskilt □ ABCD vara en godtycklig inskriven fyrhörning och låt M 1 , M 2 , M 3 , M 4 vara mitten av cirklar inskrivna i trianglar △ ABD , △ ABC , △ BCD , △ ACD . Då är fyrkanten som bildas av centra M 1 , M 2 , M 3 , M 4 en rektangel.

Bevis [1]

$\angle {AM_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAC}/2-\angle {ABC}/2=90^{\circ }+\angle {ACB}/2$ (eftersom är bisektris av vinkel och är bisektrik av vinkel ) $AM_{2}$ $\angle {BAC}$ ${\displaystyle BM_{2))$ $\angle {ABC}$

På samma sätt får vi $\angle {AM_{1}B}=180^{\circ }-\angle {ABD}/2-\angle {BAD}/2=90^{\circ }+\angle {BDA}/2$

Eftersom fyrhörningen är inskriven har vi , därav följer att fyrhörningen också är inskriven i en cirkel, så vi får $ABCD$ $\angle {ADB}=\angle {ACB}$ $\angle {AM_{1}M_{2}B}$ $\angle {M_{1}M_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAM_{1))=180^{\circ }-\angle {A}/2$

På samma sätt får vi $\angle {BM_{2}M_{3}}=180^{\circ }-\angle {C}/2$

Och följaktligen, $\angle {M_{1}M_{2}M_{3}}=360^{\circ }-(\angle {M_{1}M_{2}B}+\angle {BM_{2}M_ {3)))=(\vinkel {A}+\vinkel {C})/2=180^{\cirkel }/2=90^{\cirkel }$

På samma sätt bevisar vi för andra vinklar. Vi får att alla fyra hörnen av fyrhörningen är rätt. Teorem bevisat

Observera att beviset för denna sats lätt kan generaliseras till beviset för den japanska satsen för inskrivna polygoner (japansk sats för cykliska polygoner) .

Beviset för en allmän inskriven polygon följer omedelbart från fallet med en fyrhörning (genom induktion på antalet trianglar i en partition av en polygon).

Anmärkning 1

För en inskriven fyrhörning är den japanska inskrivna fyrhörningen en del av ett mer komplext uttalande:

I den inskrivna fyrhörningen ABCD är mitten av incirklarna i trianglarna ABC , BCD , CDA och DAB rektangelns hörn , ortoscentran i samma fyra trianglar är vinkeln i fyrkanten lika med ABCD , tyngdpunkterna för dessa fyra trianglar är hörnen på en annan inskriven fyrhörning [2] .

Se även

Litteratur

Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (efterskriftsfil)
Teorem vid Cut-the-Knot
Wataru Uegaki: " Japansk satsの起源と歴史" (Om den japanska satsens ursprung och historia). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
Wilfred Reyes: En tillämpning av Thebaults sats . Forum Geometricorum, Volym 2, 2002, s. 183–185
Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Matematisk Olympiad Treasures. - Springer, 2004. - ISBN 978-0-8176-4305-8 .

Länkar

Japansk teorem, interaktivt bevis med animation

↑ Andreescu, Enescu, 2004 , sid. 45.
↑ Andreescu, Enescu, 2004 , sid. 2.3 Cykliska fyrhjulingar.