Hyperbolisk fixpunkt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 januari 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

En hyperbolisk fixpunkt ( hyperbolisk punkt ) är ett grundläggande begrepp som används i teorin om dynamiska system i relation till avbildningar ( diffeomorfismer ) och vektorfält . I fallet med en mappning är en hyperbolisk punkt en fast punkt där alla multiplikatorer ( egenvärdena för linjäriseringen av mappningen vid en given punkt) är modulo olika från en. I fallet med vektorfält är en hyperbolisk punkt en singulär punkt där alla egenvärden för fältlinjäriseringen har reella delar som inte är noll. $\mu _{i}$ $\lambda _{i}$

Stabila och instabila grenrör

Vid en hyperbolisk punkt i ett vektorfält (eller diffeomorfism), bryts tangentrymden upp i en direkt summa av två invarianta delrum och , som är invarianta under operatorn för den linjära delen av fältet: . Delutrymmena och definieras av villkoren , i fallet med vektorfält, och av villkoren , i fallet med diffeomorfismer. Dessa delrum är de invarianta grenrören av ett linjärt vektorfält (diffeomorfism) vid en given punkt, de kallas dess instabila respektive stabila . $T^{u}$ $T^{s}$ $\mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}$ $T^{u}$ $T^{s}$ $\operatorname {Re} \lambda _{i}>0$ $\operatorname {Re} \lambda _{i}<0$ $|\mu _{i}|>1$ $|\mu _{i}|<1$

Instabila och stabila grenrör av det ursprungliga icke-linjära vektorfältet (diffeomorphism) är dess oföränderliga grenrör och , tangent respektive till delutrymmena och vid den aktuella punkten och har samma dimensioner som . Varieteterna och är unikt definierade [1] . Observera att grenrören och existerar inte bara i fallet med hyperboliska singularpunkter, utan i fallet med en hyperbolisk punkt, summan av deras dimensioner är lika med dimensionen av hela rummet, och det finns inga andra invarianta grenrör som passerar genom detta singular punkt [1] . ${\displaystyle W^{u))$ ${\displaystyle W^{s))$ $T^{u}$ $T^{s}$ $T^{u}$ $T^{s}$ ${\displaystyle W^{u))$ ${\displaystyle W^{s))$ ${\displaystyle W^{u))$ ${\displaystyle W^{s))$

Satser om hyperboliska punkter

Grobman-Hartmans teorem . I närheten av en hyperbolisk punkt i en icke-linjär diffeomorfism (vektorfält) skiljer sig dynamiken från den för motsvarande linjära avbildning (vektorfält) genom en kontinuerlig förändring av koordinater .

Hadamard-Perrons sats. [2] [3] I närheten av en hyperbolisk punkt i ett jämnt (eller analytiskt ) vektorfält eller diffeomorfism, finns det instabila och stabila grenrör och samma klass av jämnhet (respektive analytisk) som passerar genom den givna punkten. ${\displaystyle W^{u))$ ${\displaystyle W^{s))$

Chens teorem. [4] [5] Om, i närheten av en hyperbolisk punkt, två -släta vektorfält (diffeomorfismer) är formellt ekvivalenta (d.v.s. översätts till varandra genom en formell förändring av variabler som ges av formella potensserier ), då är -jämnt likvärdiga. $C^\infty$ $C^\infty$

Se även

Litteratur

I. G. Sinai . Modern problem of ergodic theory, - M .: Fizmatlit, 1995 (s. 137).
V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Vanliga differentialekvationer, Dynamiska system - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. matta. Fundam. riktningar, 1, VINITI, M., 1985, 7–140
Marsden J., McCracken M. Cykelfördelningsfördelning och dess tillämpningar. M.: Mir, 1980.
Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Icke- lokala bifurkationer. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 sid. — ISBN 5-900916-34-0 .
Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system med en genomgång av senaste prestationer / Per. från engelska. ed. A.S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 sid. — ISBN 5-94057-063-1 .

Anteckningar

↑ 1 2 V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Vanliga differentialekvationer, Dynamiska system - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. anvisningar, 1, VINITI, M., 1985, kapitel 3. . Hämtad 24 mars 2018. Arkiverad från originalet 24 mars 2018. (obestämd)
↑ V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Vanliga differentialekvationer, Dynamiska system - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. anvisningar, 1, VINITI, M., 1985, s. 61. . Hämtad 24 mars 2018. Arkiverad från originalet 24 mars 2018. (obestämd)
↑ Marsden J., McCracken M. Cykelfördelning av födelse och dess tillämpningar. M.: Mir, 1980.
↑ V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Vanliga differentialekvationer, Dynamiska system - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. anvisningar, 1, VINITI, M., 1985, s. 72. . Hämtad 24 mars 2018. Arkiverad från originalet 24 mars 2018. (obestämd)
↑ Chen, Kuo-Tsai . Ekvivalens och sönderdelning av vektorfält kring en elementär kritisk punkt. amer. J Math. 85 (1963), sid. 693-722.