Dubbelt svart hål

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 februari 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ett binärt svart hål  är ett system som består av två svarta hål som roterar i en snäv bana runt varandra. Liksom de svarta hålen själva delas binära svarta hål vanligtvis in i binärer av stjärnmassa, bildade som resterna av stjärnsystem med hög massa eller under dynamiska processer och ömsesidiga fångar, och supermassiva binära svarta hål, troligen ett resultat av sammanslagningar av galaxer .

Under många år har det varit svårt att bevisa förekomsten av binära svarta hål, på grund av själva de svarta hålens natur och observationsmetodernas begränsningar. Men när ett par svarta hål smälter samman frigörs en enorm mängd energi i form av gravitationsvågor [2] [3] [4] . Under slutet av 1900-talet och början av 2000-talet blev binära svarta hål av särskilt intresse som en potentiell källa till gravitationsvågor och ett föremål som bevisar existensen av sådana vågor. Binära svarta håls sammanslagningar är en av de starkaste kända källorna till sådana vågor och ger därför en bra möjlighet att upptäcka gravitationsvågor. När snurrande svarta hål avger energi, minskar omloppsradien och rotationsperioden minskar. I det här fallet rör sig svarta hål i en spiral mot varandra. Vid någon tidpunkt smälter svarta hål samman. Vid sammanslagning blir ett enda svart hål gradvis stabilt, medan varje störning av formen leder till utsläpp av ytterligare gravitationsvågor [5] . I slutskedet kan det andra svarta hålet nå mycket höga hastigheter, med gravitationsvågor som toppar.

Förekomsten av binära svarta hål av stjärnmassor (och gravitationsvågor) bekräftades slutligen när LIGO upptäckte GW150914 (hittad september 2015, tillkännagav februari 2016), en separat manifestation av existensen av två sammanslagna svarta hål med en massa på cirka 30 solmassor på ett avstånd av cirka 1,3 miljarder ljusår från jorden. I slutskedet (20 millisekunder), när man rörde sig i en spiral och smälte samman, släppte GW150914 ut cirka 3 solmassor i form av gravitationsenergi , vid toppen var effekten 3,6⋅10 49 W - mer än den totala strålningseffekten av alla stjärnor i universum [6] [7 ] [8] . Förekomsten av dubbla supermassiva svarta hål har upptäckts, men har inte kategoriskt bekräftats [9] .

Förekomstens frekvens

Binära supermassiva svarta hål tros uppstå från galaxsammanslagningar . Vissa troliga binära svarta hålskandidater kan finnas i galaxer med dubbla kärnor. Ett exempel på en galax med dubbelkärna är NGC 6240 [10] . Mycket närmare binära svarta hål kan hittas i enkelkärniga galaxer med dubbla emissionslinjer, som SDSS J104807.74+005543.5 [11] och EGSD2 J142033.66 525917.5 [10] . Andra galaktiska kärnor med periodisk emission tyder på närvaron av stora föremål som kretsar kring det centrala svarta hålet, till exempel i OJ287 [12] .

Quasar PG 1302-102 kan ha ett centralt svart hål med en rotationsperiod på 1900 dagar [13] .

Förekomsten av binära svarta hål visades genom att observera gravitationsvågor från sammanslagning av svarta hål GW150914 [14] .

Det sista parsec-problemet

När två galaxer kolliderar kolliderar de supermassiva svarta hålen i deras centrum inte frontalt, utan kommer att flyga förbi varandra om inte någon mekanism för dem närmare varandra. En sådan mekanism är dynamisk friktion , som sammanför svarta hål upp till ett avstånd av flera parsec från varandra. På detta avstånd bildar de ett nära binärt system. Förlust av orbital energi leder till ytterligare närmande av svarta hål [15] .

Förklaringen verkar enkel: svarta hål överför energi till gasen och stjärnorna mellan dem, vilket leder till utstötning av materia i hög hastighet i processen av gravitationsmanöver och förlust av energi. Men volymen av rymden där denna process sker krymper när omloppsbanan drar ihop sig, och i det ögonblick då avståndet mellan svarta hål är cirka 1 parsec kommer det att finnas väldigt lite substans mellan stjärnorna, så det skulle ta miljarder år för omloppsbanan att minska till scenen sammanslagningar. Gravitationsvågor kan också bidra till energiförlusten, men bara när omloppsbanan krymper till 0,01-0,001  pc .

Men supermassiva svarta hål upplever sammanslagningar, ett sådant par observeras i PKS 1302-102 [16] . Frågan om exakt hur sammanslagningar uppstår kallas det "slutliga parsec-problemet" [17] .

Ett antal lösningar på det slutliga parsec-problemet har föreslagits. De flesta av alternativen involverar interaktionen av ett massivt binärt system med den omgivande materien - stjärnor eller gas - vilket kan ta energin från det binära systemet och leda till dess kompression. Till exempel, om ett tillräckligt antal stjärnor flyger förbi ett binärt system, kan deras gravitationsutstötning föra samman de svarta hålen ganska snabbt [18] .

Livscykel

Spiral

Det första steget i utvecklingen av ett binärt svart hål är en spiralrörelse, under vilken det sker en gradvis minskning av omloppsbanan. De första stadierna av spiralbildning varar mycket länge, eftersom de utstrålade gravitationsvågorna under denna period är svaga. Förutom att minska omloppsbanan på grund av emissionen av gravitationsvågor, kan vinkelmomentet också minska när det interagerar med annan materia i närheten av ett binärt svart hål.

När omloppsbanan minskar ökar hastigheten och strålningen från gravitationsvågor ökar. När svarta hål närmar sig varandra minskar omloppsbanan snabbare.

Den sista stabila omloppsbanan eller den innersta stabila cirkulära banan är den innersta fullständiga omloppsbanan efter vilken övergången från spiralformning till sammansmältning sker.

Sammanslagning

Efter att ha närmat sig i en spiral, flyttar binären till en bana där sammanslagningen sker. I detta fall når strålningen av gravitationsvågor ett maximum.

Sista steget

Omedelbart efter sammanslagningen pendlar det resulterande svarta hålet i form mellan en prolat och en oblate sfäroid. När gravitationsvågor emitteras stabiliseras formen. Som ett resultat kvarstår det en liten deformation på grund av spinn som inte är noll .

Observationer

Den första upptäckten av ett binärt binärt svart hål av stjärnmassa gjordes av LIGO -detektorn [14] [19] [20] . Enligt mätningar från jorden roterade ett par svarta hål med beräknade massor av cirka 36 och 29 solmassor runt varandra och slogs samman till ett svart hål med en massa av 62 solmassor, signalen togs emot den 14 september 2015 kl 09:50 UTC [21] . Tre massor av solen omvandlades till gravitationsstrålning under de sista bråkdelen av en sekund, effekten vid toppen nådde 3,6×10 56  erg/s (200 solmassor per sekund) [14] vilket är 50 gånger större än den totala effekten av stjärnor i det observerbara universum [22] . Sammanslagningen skedde på ett avstånd av 1,3 miljarder ljusår från solen [19] . Den observerade signalen överensstämmer med förutsägelserna av relativitetsteorin [2] [3] [4] .

Dynamisk simulering

När det gäller svarta hål långt ifrån varandra kan enkla algebraiska modeller användas under spiralstadiet.

För spiralstadiet används också post-newtonska approximationer . De tillåter en att få ungefärliga värden på relativitetsteorins ekvationer genom att lägga till ytterligare termer till de Newtonska gravitationsformlerna. Beställningarna som används i sådana beräkningar kan betecknas 2PN (andra ordningens post-Newtonsk approximation) 2,5PN eller 3PN (tredje ordningens post-Newtonsk approximation). Det finns också en approximation ( engelska  effective-one-body ), där ekvationerna reduceras till ekvationer med avseende på ett objekt. Det här alternativet är särskilt användbart i fallet med ett stort massförhållande, som vid sammanslagning av ett svart hål med stjärnmassa med ett svart hål i den galaktiska kärnan, men kan också tillämpas i fallet med lika stora massor.

I slutskedet kan man använda störningsteorin om svarta hål. Det resulterande Kerr-svarta hålet deformeras, spektrumet som produceras av det svarta hålet kan beräknas.

För att modellera den fullständiga utvecklingen av ett system, inklusive sammanslagning, måste man lösa de fullständiga ekvationerna för allmän relativitet. Detta kan göras med metoder för numerisk relativitet . Numerisk relativitet modellerar förändringar i rum-tid. I beräkningar är det viktigt att undersöka detaljerna nära svarta hål, i vissa fall räcker upplösningen för att bestämma gravitationsstrålningen som sträcker sig till oändligheten. Särskilda koordinatsystem som Boyer-Lindqvist-koordinater eller fisheye-koordinater används för att beräkningar ska kunna genomföras inom rimlig tid.

Numeriska relativitetsmetoder har förbättrats avsevärt sedan de första försöken på 1960- och 1970 -talen [23] [24] . Långtidssimuleringar av svarta håls reverseringar var inte möjliga förrän tre forskarlag oberoende utvecklade nya metoder för att modellera svarta håls spiralbildning, sammanslagning och slutfasen av svarta håls evolution [2] [3] [4] 2005.

I full sammanslagningsmodellering kan flera av dessa metoder användas i kombination. I det här fallet är det viktigt att kombinera separata avsnitt av modeller utvecklade enligt olika algoritmer. Lazarusprojektet länkar samman delar av en rumslig hyperyta under en sammanslagning [25] .

Beräkningsresultaten kan inkludera bindningsenergin. För en stabil omloppsbana är bindningsenergin ett lokalt minimum med avseende på störningen av parametrarna. På den innersta stabila omloppsbanan övergår det lokala minimumet till en vändpunkt.

Gravitationsvågsfronten som skapas är viktig för att förutsäga observationer och bekräfta fenomenet. När de rör sig i en spiral, när svarta hål når området för ett starkt gravitationsfält, sprids vågorna i området och skapar en post-newtonsk "svans" [25] .

I slutskedet av ett Kerr-svart hål skapar tröghetsreferensramens motstånd gravitationsvågor. Det svarta hålet Schwarzschild i slutskedet observeras i form av spridda vågor, men har inga direkta vågor [25] .

Strålningsreaktionskraften kan beräknas genom att summera Padé för flödet av gravitationsvågor. Strålningsuppskattningen kan göras med Cauchys metod, som ger en nära uppskattning av strålningsflödet i oändligheten, utan att man behöver göra beräkningar på stora och stora avstånd.

Den resulterande massan av det resulterande svarta hålet beror på definitionen av massa i allmän relativitetsteori. Bondi-massan MB beräknas med Bondi- Sahas massförlustformel. . Här är f(U) gravitationsvågsflödet vid tidpunkten U. f är ytintegralen för News-funktionen. Energin eller massan hos Arnovitt-Deser-Misner är massan mätt från ett oändligt avstånd och tar hänsyn till all utstrålad energi från gravitationsvågor. .

När gravitationsvågor sänds ut förloras också vinkelmomentet . Det mesta av förlusten sker längs z-axeln [26] .

Formulär

Ett problem som måste lösas är att bestämma formen, eller topologin, av händelsehorisonten under sammanslagningar av svarta hål.

Numeriska modeller överväger att testa geodetiska linjer och deras interaktion när de når händelsehorisonten. När svarta hål närmar sig bildar varje händelsehorisont en anknäbbstruktur mot det andra svarta hålet. När de närmar sig blir "näbbarna" längre och smalare tills de möts. I det här fallet har händelsehorisonten en X-form vid mötesplatsen [27] . Kontaktpunkten är en ungefär cylindrisk formation - en bro [27] .

Rekyl från sammanslagningar av svarta hål

När svarta hål smälter samman kan ett oväntat resultat uppstå där gravitationsvågor bär bort vinkelmomentum, och det sammanslagna paret av svarta hål accelererar på ett sätt som verkar bryta mot Newtons tredje lag. Tyngdpunkten kan ha en utstötningshastighet på 1000 km/s [28] . De största hastighetsökningarna (upp till 5000 km/s) inträffar vid lika massor och lika snurr av binära svarta hål, när riktningarna för spinn är motsatta, parallella med omloppsplanet, eller nästan parallella med omloppsrörelsens rörelsemängd [29] . Detta kan vara tillräckligt för att lämna en stor galax. Vid mer sannolika orienteringar uppstår en mindre effekt, endast några hundra km/s tillkommer. Vid sådana hastigheter kan sammanslagna binära svarta hål kastas ut från kärnorna i klotformiga kluster . Detta minskar chanserna för efterföljande sammanslagningar och sannolikheten för att upptäcka gravitationsvågor. För icke-roterande svarta hål är det maximala hastighetsökningen 175 km/s med ett massförhållande på 5 till 1. Om spinnen är samriktade i orbitalplanet, med två identiska svarta hål, är ett hastighetsökning på 5000 km/s möjligt [30] . Parametrar som kan vara av intresse inkluderar punkten där svarta hål smälter samman, massförhållandet vid vilket den maximala hastighetsökningen inträffar och hur mycket av energin som förs bort av gravitationsvågor. Vid en frontalkollision är denna andel 0,002 eller 0,2 % [31] . En av de mest troliga kandidaterna för sammanslagningar av svarta hål är det supermassiva svarta hålet CXO J101527.2+625911 [32] .

Anteckningar

  1. ↑ Tack : SXS-projektet (Simulating eXtreme Spacetimes) Arkiverat 16 december 2017 på Wayback Machine
  2. ↑ 1 2 3 Pretorius, Frans. Utvecklingen av binära svarthålsrumtider // Fysiska granskningsbrev. - 2005. - T. 95 , nr 12 . - S. 121101 . — ISSN 0031-9007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.95.121101 . - . - arXiv : gr-qc/0507014 . — PMID 16197061 .
  3. ↑ 1 2 3 Campanelli, M.; Lousto, CO; Marronetti, P.; Zlohower, Y. Accurate Evolutions of orbiting black-hole binaries without excision  (engelska)  // Physical Review Letters : journal. - 2006. - Vol. 96 , nr. 11 . — S. 111101 . — ISSN 0031-9007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.96.111101 . - . - arXiv : gr-qc/0511048 . — PMID 16605808 .
  4. ↑ 1 2 3 Baker, John G.; Centrella, Joan; Choi, Dae-Il; Koppitz, Michael; vanMeter, James. Gravitationsvågsextraktion från en inspirerande konfiguration av sammanslagna svarta hål  //  Physical Review Letters: journal. - 2006. - Vol. 96 , nr. 11 . — S. 111102 . — ISSN 0031-9007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.96.111102 . - . - arXiv : gr-qc/0511103 . — PMID 16605809 .
  5. ↑ Abadie, J.; LIGO vetenskapligt samarbete; Jungfrusamarbetet; Abernathy, M.; Accadia, T.; Acernese, F.; Adams, C.; Adhikari, R.; Ajith, P.; Allen, B.; Allen, G.S.; Amador Ceron, E.; Amin, R.S.; Anderson, S.B.; Anderson, W.G.; Antonucci, F.; Arain, M.A.; Araya, MC; Aronsson, M.; Aso, Y.; Aston, S.M.; Astone, P.; Atkinson, D.; Aufmuth, P.; Aulbert, C.; Babak, S.; Baker, P.; Ballardin, G.; Ballinger, T.; Ballmer, S. Sök efter gravitationsvågor från binära svarta hål inspiral, merger and ringdown  //  Physical Review D : journal. - 2011. - Vol. 83 , nr. 12 . — S. 122005 . - doi : 10.1103/PhysRevD.83.122005 . - . - arXiv : 1102.3781 .
  6. ↑ Observation av gravitationsvågor från en binär fusion med svart hål . LIGO (11 februari 2016). Hämtad 11 februari 2016. Arkiverad från originalet 16 februari 2016.
  7. ↑ Harwood, W. Einstein hade rätt: Forskare upptäcker gravitationsvågor i genombrott . CBS News (11 februari 2016). Datum för åtkomst: 12 februari 2016. Arkiverad från originalet 12 februari 2016.
  8. ↑ Drake, Nadia har hittats! Gravitationsvågor, eller en rynka i rymden . National Geographic News (11 februari 2016). Datum för åtkomst: 12 februari 2016. Arkiverad från originalet 12 februari 2016.
  9. ↑ Liu, Fukun; Komossa, Stefanie; Schartel, Norbert UNIKA PAR GOLDA SVARTA HÅL UPPTÄCKT AV XMM-NEWTON . En milli-parsec supermassiv svart hål binär kandidat i galaxen SDSS J120136.02+300305.5 (22 april 2014). Datum för åtkomst: 23 december 2014. Arkiverad från originalet den 4 april 2018.
  10. ↑ 1 2 Gerke, Brian F.; Newman, Jeffrey A.; Lotz, Jennifer; Yan, Renbin; Barmby, P.; Coil, Alison L.; Conselice, Christopher J.; Ivison, RJ; Lin, Lihwai; Koo, David C.; Nandra, Kirpal; Salim, Sameer; Liten, Todd; Weiner, Benjamin J.; Cooper, Michael C.; Davis, Marc; Faber, S.M.; Guhathakurta, Puragra et al. DEEP2 Galaxy Redshift Survey: AEGIS Observations of a Dual AGN AT zp 0.7  //  The Astrophysical Journal  : journal. - IOP Publishing , 2007. - 6 april ( vol. 660 ). -P.L23 -L26 . - doi : 10.1086/517968 . - . — arXiv : astro-ph/0608380 .
  11. ↑ Hongyan Zhou; Tinggui Wang; Xueguang Zhang; Xiaobo Dong; Cheng Li. Obscured Binary Quasar Cores i SDSS J104807.74+005543.5?  (engelska)  // The Astrophysical Journal  : journal. - The American Astronomical Society, 2004. - 26 februari ( vol. 604 ). - P.L33-L36 . - doi : 10.1086/383310 . - . - arXiv : astro-ph/0411167 .
  12. ↑ Valtonen, M.V.; Mikkola, S.; Merritt, D.; Gopakumar, A.; Lehto, HJ; Hyvonen, T.; Rampadarath, H.; Saunders, R.; Basta, M.; Hudec, R. Measuring the Spin of the Primary Black Hole i OJ287  //  The Astrophysical Journal  : journal. - The American Astronomical Society, 2010. - Februari ( vol. 709 , nr 2 ). - s. 725-732 . - doi : 10.1088/0004-637X/709/2/725 . - . - arXiv : 0912.1209 .
  13. ↑ Graham, Matthew J.; Djorgovski, S.G.; Stern, Daniel; Glikman, Eilat; Drake, Andrew J.; Mahabal, Ashish A.; Donalek, Ciro; Larson, Steve; Christensen, Erik. En möjlig nära supermassiv svarthålsbinär i en kvasar med optisk periodicitet  (engelska)  // Nature : journal. - 2015. - 7 januari ( vol. 518 , nr 7537 ). - S. 74-6 . — ISSN 0028-0836 . - doi : 10.1038/nature14143 . — . - arXiv : 1501.01375 . — PMID 25561176 .
  14. ↑ 1 2 3 B. P. Abbott. Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger  (engelska)  // Physical Review Letters : journal. - 2016. - Vol. 116 , nr. 6 . — S. 061102 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.116.061102 . - . - arXiv : 1602.03837 . — PMID 26918975 .
  15. ↑ Fler bevis för kommande svarthålskollision - New York Times . Hämtad 19 juni 2019. Arkiverad från originalet 6 maj 2019.
  16. ↑ D'Orazio, Daniel J.; Haiman, Zoltán; Schiminovich, David. Relativistisk uppsving som orsak till periodicitet i en massiv svarthåls binär kandidat  (engelska)  // Nature : journal. - 2015. - 17 september ( vol. 525 , nr 7569 ). - s. 351-353 . - doi : 10.1038/nature15262 . — . - arXiv : 1509.04301 .
  17. ↑ Milosavljević, Miloš; Merritt, David The Final Parsec Problem  // AIP Conference Proceedings. - American Institute of Physics, 2003. - Oktober ( vol. 686 , nr 1 ). - S. 201-210 . - doi : 10.1063/1.1629432 . - . - arXiv : astro-ph/0212270 .
  18. ↑ Merritt, David Dynamik och utveckling av galaktiska kärnor . - Princeton: Princeton University Press, 2013. - ISBN 978-0-691-12101-7 .
  19. ↑ 1 2 Castelvecchi, Davide; Witze, Witze. Einsteins gravitationsvågor hittade äntligen  // Nature News. - 2016. - 11 februari. - doi : 10.1038/nature.2016.19361 .
  20. ↑ Gravitationsvågor upptäckts 100 år efter Einsteins förutsägelse | NSF - National Science Foundation . www.nsf.gov . Hämtad 11 februari 2016. Arkiverad från originalet 19 juni 2020.
  21. ↑ Abbott, Benjamin P. Egenskaper för den binära svarta hålsfusionen GW150914  //  Physical Review Letters : journal. - 2016. - 11 februari ( vol. 116 , nr 24 ). — S. 241102 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.116.241102 . - . - arXiv : 1602.03840 . — PMID 27367378 .
  22. ↑ Kramer, Sarah Denna kollision var 50 gånger kraftigare än alla stjärnor i universum tillsammans . Tech Insider (11 februari 2016). Hämtad 12 februari 2016. Arkiverad från originalet 13 februari 2016.
  23. ↑ Hahn, Susan G; Lindquist, Richard W. Tvåkroppsproblemet i geometrodynamics // Annals of Physics. - 1964. - T. 29 , nr 2 . - S. 304-331 . — ISSN 0003-4916 . - doi : 10.1016/0003-4916(64)90223-4 . — .
  24. ↑ Smarr, Larry; Chadež, Andrej; DeWitt, Bryce; Epley, Kenneth. Kollision av två svarta hål: Teoretisk ram  (engelska)  // Physical Review D : journal. - 1976. - Vol. 14 , nr. 10 . - P. 2443-2452 . — ISSN 0556-2821 . - doi : 10.1103/PhysRevD.14.2443 . - .
  25. ↑ 1 2 3 Nichols, David A.; Yanbei Chen. Hybridmetod för att förstå svarthålsfusioner: Inspirerande fall  (danskt)  // Physical Review D. - 2011. - 1 september ( bd. 85 , nr 4 ). — S. 044035 . - doi : 10.1103/PhysRevD.85.044035 . - . - arXiv : 1109.0081 .
  26. ↑ Thibault
  27. ↑ 1 2 Cohen, Michael I.; Jeffrey D. Kaplan; Mark A Scheel. On Toroidal Horizons in Binary Black Hole Inspirals  (engelska)  // Physical Review D : journal. - 2011. - 11 oktober ( vol. 85 , nr 2 ). — S. 024031 . - doi : 10.1103/PhysRevD.85.024031 . - . - arXiv : 1110.1668 .
  28. ↑ Pietilä, Harry; Heinämäki, Pekka; Mikkola, Seppo; Valtonen, Mauri J. (10 januari 1996). Anisotropisk gravitationsstrålning i sammanslagningen av svarta hål . Relativistisk astrofysikkonferens . CiteSeerX  10.1.1.51.2616 .
  29. ↑ Campanelli, Manuela; Lousto, Carlos; Zlochower, Yosef; Merritt, David Maximal gravitationsrekyl . Maximal gravitationsrekyl (7 juni 2007). doi : 10.1103/PhysRevLett.98.231102 . Hämtad 23 juni 2020. Arkiverad från originalet 27 november 2019.
  30. ↑ Lousto, Carlos; Zlohower, Yosef Hangup Kicks: Still Larger Recoils by Partial Spin-Orbit Alignment of Black-Hole Binaries . Hangup Kicks: Still Larger Recoils by Partial Spin-Orbit Alignment of Black-Hole Binaries (2 december 2007). doi : 10.1103/PhysRevLett.107.231102 . Hämtad 23 juni 2020. Arkiverad från originalet 27 november 2019.
  31. ↑ Pietilä, Harry; Heinämäki, Pekka; Mikkola, Seppo; Valtonen, Mauri J. Anisotropisk gravitationsstrålning i problemen med tre och fyra svarta hål  // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy  : journal  . - 1995. - Vol. 62 , nr. 4 . - s. 377-394 . - doi : 10.1007/BF00692287 . - .
  32. ↑ Kim, D.-C. A Potential Recoiling Supermassive Black Hole CXO J101527.2+625911  //  The Astrophysical Journal  : journal. - IOP Publishing , 2017. - Vol. 840 . - S. 71-77 . - doi : 10.3847/1538-4357/aa6030 . — . — arXiv : 1704.05549 .

Länkar