Intervall (relativitetsteori)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 oktober 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Ett intervall i relativitetsteorin är en analog av avståndet mellan två händelser i rum-tid , vilket är en generalisering av det euklidiska avståndet mellan två punkter. Intervallet är Lorentz-invariant , det vill säga det ändras inte när man flyttar från en tröghetsreferensram till en annan , och, ännu mer, är en invariant ( skalär ) i speciell och allmän relativitet.

Denna egenskap hos intervallet gör det till ett grundläggande koncept på grundval av vilket, i enlighet med relativitetsprincipen , en kovariant formulering av fysiska lagar kan utföras. I synnerhet kan Lorentz-transformationer (transformationer av koordinater, inklusive tid, lämnar posten för alla fysikaliska ekvationer oförändrade när referensramen ändras) formellt hittas som en grupp av transformationer som håller intervallet invariant.

Intervallets invarians tjänade som grund för införandet av Minkowski-rummet , där förändringen av tröghetsreferensramar motsvarar "rotationerna" av detta utrymme, vilket var den första explicita formuleringen av begreppet rum-tid .

Definition

En intervallkvadrat är en symmetrisk bilinjär form på ett konfigurationsmässigt 4-dimensionellt rum- tidsförgreningsrör . Med korrekt valda koordinater (galileiska - lokalt tröghetsreferensram med kartesiska rumsliga koordinater och tid ) för en oändligt liten förskjutning i rum-tid, har den formen $x,y,z$ $t$

{\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2))

(lokalt ett pseudo-euklidiskt rum- tid, ett Menkowski-rum i den ledande ordningen, med andra ord en mångfald med en obestämd pseudo-riemannisk signaturmetrik (+−−−)).

I fallet med en platt rumtid - det vill säga en rumtid utan krökning , vilket i modern fysik hänvisar till fallet med frånvaron (eller försumbar litenhet) av gravitation - gäller samma uttryck för ändliga skillnader i koordinater:

s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^ {2}

(ett sådant utrymme är redan exakt och globalt ett Minkowski-rum, om det naturligtvis är topologiskt ekvivalent i sin naturliga topologi). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

Vanligtvis indikeras intervallet med en latinsk bokstav . $s$

Den allmänna relativitetsteorin använder det generaliserade begreppet intervall, som ger en naturlig generalisering av avståndet mellan två punkter. En metrisk tensor introduceras , från vilken endast symmetri och icke- degeneration krävs . Uttrycket för kvadraten av intervallet mellan två oändligt nära punkter tar formen ${\displaystyle g_{ik))$

ds^{2}=g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j},\quad i,j=0\dots 3,\quad x^{0}=ct,\ x^{1}=x,\ x^{2}=y,\ x^{3}=z,

där finns koordinatdifferentialer, och summering antyds över upprepade index , det vill säga detta uttryck betyder $dx^{i}$

\sum _{i,j=0}^{3}g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.

Observera att den sålunda definierade metriken inte kommer att vara en positiv-definitiv kvadratisk form, vilket vanligtvis krävs i fallet med riktiga Riemannska grenrör. Tvärtom är det underförstått att alltid eller nästan alltid lokalt kan rum-tidskoordinaterna (referensram) väljas på ett sådant sätt att intervallet för ett litet område av rum-tid i dessa koordinater skrivs på samma sätt som det är skrivet för Lorentziska koordinater (referensramar) i ett platt Minkowski-utrymme: $t,x,y,z$

ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

så att det genom en punkt av rum-tid finns oändligt många linjer som har noll "längd" (när man definierar längden i rum-tid genom dess "fysiska metrik" - det vill säga som en integral av ) - bildar en ljuskon ; det finns oändligt många linjer vars längd är verklig - de är alla i det inre området av ljuskäglan; och det finns oändligt många av dem vars längd är rent imaginär - nära en given punkt är de alla i det yttre området av ljuskäglan med en vertex vid den om de är släta. ${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}\,dt^{2))))$

Intervalltecknet är en överenskommelse. Det kan väljas (och var historiskt sett) tvärtom. Nuförtiden är kanske valet av tecken enligt ovan i denna artikel mer vanligt förekommande. Men ibland är motsatsen bekvämare om Minkowskis och ofta bekväma tolkning av tidskoordinaten som rent imaginär används.
Numreringen av koordinater är också föremål för enighet, men i modern litteratur numreras de oftast som här - från 0 till 3, och indexet 0 tilldelas tidskoordinaten. $x^i$
I teoretiska konstruktioner som använder rum-tid av en högre dimension, generaliseras definitionen av ett intervall naturligt genom att addera ett visst antal rumsliga koordinater till summan. I det här fallet antas oftast (men inte alltid) att tidskoordinaten förblir unik, det vill säga vanligtvis bara en term kommer in med ett tecken motsatt alla de andra.
Ett grenrör med ett icke-degenererat intervall (eller, med andra ord, ett icke-degenererat mått) som anges på det kallas pseudo-riemannsk , närmare bestämt pseudo-riemannsk, för att understryka skillnaden från det riemannska grenröret , där metriska - till skillnad från intervallet - är positivt bestämt, som det vanliga euklidiska avståndet.
Intervalldefinitioner är något olika i speciell och allmän relativitet. Detta beror på det faktum att intervallet mellan två godtyckliga punkter i Minkowskis rumtid kan anges, utan att stöta på svårigheter, som längden på en rak linje (geodesisk) som förbinder dem, som gjordes ovan. Men för den allmänna formen av krökt rumtid kan detta inte längre göras så enkelt, eftersom punkter kan kopplas samman med flera olika geodesiker (eller till och med ett oändligt antal av dem). Därför bestäms intervallet i den allmänna relativitetsteorin vanligtvis i en oändligt liten omgivning av en given punkt, där de olika geodetikerna som härrör från den ännu inte skär varandra, och avståndet längs geodetiska linjer från en punkt till en annan kallas världen funktion .

Intervallinvarians i speciell relativitet

Använda postulat

Direkt från relativitetsprincipen , rummets homogenitet och isotropi , såväl som tidens homogenitet, följer att när man flyttar från en IFR (tröghetsreferensram) till en annan IFR förblir intervallet oförändrat. Det är denna egenskap hos den som gör det möjligt att formellt härleda Lorentz-transformationerna och underbygger motiveringen för att introducera Minkowski-rummet och den icke-Riemannska metriken.

Invariansen av ljusets hastighet har betydelse här eftersom det är känt att ljusets hastighet alltid är densamma i minst en referensram, och av detta och av relativitetsprincipen följer att den måste vara densamma i alla IFR . Men istället för ljusets hastighet skulle man kunna ta den maximala hastigheten för kroppars rörelser eller utbredningen av interaktioner, som också, utifrån relativitetsprincipen, borde vara densamma i alla tröghetsreferensramar. Om den maximala hastigheten för utbredning av interaktioner är ändlig, måste den, på grund av relativitetsprincipen, sammanfalla med ljusets hastighet, som vi kommer att beteckna här, som vanligt, . $c$

För beviset som ges nedan är det väsentligt att vi betraktar alla förändringar i rumsliga koordinater och tid som små (oändligt små), det vill säga allt kommer att formuleras för intervallet mellan två händelser som är oändligt nära i rum och tid.

Bevis

Förmodligen, med tanke på några av de fallgropar som noteras i anteckningarna, i beviset från Landaus lärobok nedan, är det lättast att först explicit erhålla Lorentz-transformationerna , från vilka intervallinvariansen helt enkelt följer.

Låt oss först visa att om intervallet mellan två händelser är lika med noll i en IFR, så är det lika med noll i vilken IRF som helst. Låt faktiskt IFR K händelse 1 inträffa vid en tidpunkt och händelse 2 vid en tidpunkt . Tillståndsmässigt är intervallet mellan dem lika med 0, det vill säga ${\displaystyle x_{1},y_{1},z_{1))$ $t_{1}$ ${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2))$ $t_{2}$

c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2} )^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}=0.

Detta betyder att om en signal som rör sig med ljusets hastighet sänds ut från punkt 1 till punkt 2, så kommer den att vara vid punkt 2 efter tid . Men på grund av ljusets hastighets invarians, för händelserna 1 och 2, betraktade i referensramen K' , kan vi skriva på liknande sätt $t_{2}-t_{1}$

c^{2}(t_{1}^{'}-t_{2}^{'})^{2}-(x_{1}^{'}-x_{2}^{'} )^{2}-(y_{1}^{'}-y_{2}^{'})^{2}-(z_{1}^{'}-z_{2}^{'})^ {2}=0.

Detta bevisar att likheten mellan intervallet och noll inte beror på ISO.

För ytterligare ändamål, kom ihåg att vi överväger intervallet mellan oändligt nära händelser, därför måste det vara ett oändligt litet värde. På grund av rymdens homogenitet och isotropi och tidens homogenitet vid ändring av IFR, kan det nya intervallet endast vara en funktion av det gamla intervallet och hastigheten för det nya IFR i det gamla IFR, det kan inte bero på koordinaterna för en tidpunkt eller tidpunkt. Vid ändring av IFR kan en term som inte beror på intervallet i den gamla IFR inte läggas till intervallet, eftersom om intervallet i en IFR är 0, så är det i den andra IFR också 0. Därför kommer båda intervallen att vara oändligt liten. Eftersom intervallen är oändligt små måste de vara proportionella [1] , som oändligt små av samma ordning, givet att ett av dem försvinner om och bara om det andra, som vi redan upptäckte i början. Detta innebär att när du ändrar ISO, omvandlas intervallet enligt regeln

ds_{2}^{2}=k({\vec {V)))\,ds_{1}^{2}.

På grund av rymdens isotropi kan k inte bero på hastighetens riktning, bara på dess modul.

Detta betyder [2] att efter att ha beaktat förändringen i intervallet under övergången från system 1 till system 2, och sedan tillbaka, givet att V är detsamma för direkta och inversa transformationer från rymdens isotropi och relativitetsprincipen ( det andra systemet ser omöjligt att skilja från det första, hur det första systemet ser ut från det andra), vi har

ds_{2}^{2}=K(V)\,ds_{1}^{2},

ds_{1}^{2}=K(V)\,ds_{2}^{2},

och därför (eftersom ) ${\displaystyle ds_{1}=ds_{1))$

K^{2}(V)=1

för vilket V som helst .

Det återstår att ta bort fallet K = −1. Detta kan göras genom att överväga tre ISO:er och ändra intervallet mellan dem. Att göra en sekventiell övergång från den första CO till den tredje, genom den andra, har vi

ds_{3}^{2}=K^{2}\,ds_{1}^{2},

och för en direkt övergång omedelbart från den första till den tredje:

ds_{3}^{2}=K\,ds_{1}^{2}.

Detta visar att , och därför finns bara varianten kvar $K^{2}=K$

k(V)=1

för alla V , det vill säga intervallet ändras inte när ISO ändras.

Sammanfattningsvis kan det noteras att invariansen av infinitesimala intervall innebär invariansen av finita, eftersom de senare erhålls genom enkel integration av infinitesimals.

Betydelsen av intervalltecknet

Om , då kallas intervallet tidsliknande . Det tidslika intervallet mellan händelser innebär att det finns en sådan referensram där båda händelserna inträffade på samma plats. Ännu viktigare, det tidsliknande intervallet mellan händelser innebär att de kan vara orsaksrelaterade . Det är lätt att verifiera det för kausalt relaterade händelser , eftersom varje interaktion utbreder sig med en hastighet som inte är högre än c , och motsvarar händelser som är associerade med en signal som fortplantar sig med ljusets hastighet. Denna signal behöver inte vara exakt lätt, det kan vara en gravitationsvåg , i allmänhet, vilken masslös partikel som helst , eller till och med en interaktion som ännu inte har upptäckts. Det är bara väsentligt att det finns en maximal utbredningshastighet för interaktionen, som är densamma för alla referensramar och lika, som följer av Maxwells ekvationer , till ljusets hastighet. $ds^{2}\geqslant 0$ $ds^{2}\geqslant 0$ $ds=0$
Om , så kallas intervallet space- like , vilket betyder att du kan välja en sådan tröghetsreferensram där båda händelserna inträffade samtidigt. Händelser, vars intervall är rymdliknande, som indikerat ovan, kan inte vara orsakssamband, eftersom även en signal som utbreder sig i en rät linje skulle behöva röra sig snabbare än ljusets hastighet för detta. $ds^{2}\leqslant 0$
Om , då kallas intervallet ljusliknande (ibland isotropt eller noll). Riktningar i Minkowski - rymden längs vilka intervallet är 0 sägs vara isotropa . Förgreningsrör kallas också isotropa om formen är identiskt lika med 0. Ljus fortplantar sig alltid i isotropa riktningar. $ds^{2}=0$ $ds^2$

Anmärkning . Eftersom själva intervallet är invariant är det uppenbart att dess kvadrats tecken också visar sig vara invariant. Klassificeringen av intervall på denna grund, som ges här, beror därför inte på referenssystemet.

Se även

Anteckningar

↑ Denna passage i beviset som ges i Landau och Lifshitz lärobok är ganska icke-trivial trots sin uppenbara enkelhet. Kanske Landau, med sin kärlek till skämt, bestämde sig här för att kolla hur väl läsarna förstår presentationen, som är till synes enkel, men innehåller omärkliga fallgropar. Även om, naturligtvis, i någon mening måste påståendet som övervägs vara sant, åtminstone baserat på det korrekta resultatet av beviset. En detaljerad diskussion om varför koefficienten visar sig vara bara ett tal som inte beror till exempel på vinkeln mellan hastighetsvektorn och vektorn som förbinder händelsepunkterna, vars intervall beaktas, utelämnas i detta bevis: det föreslås återställa det till läsaren.
↑ Från och med denna punkt är beviset något förenklat jämfört med Landaus bevis, men om vi tar som bevisat det som redan har bevisats fram till denna punkt, enligt Landaus utläggning, är följande tillräckligt.

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .