Kvantkromodynamik på ett gitter

Kvantkromodynamik på ett gitter är kvantkromodynamik (QCD) formulerad på ett diskret euklidiskt rum-tidsgitter. Med detta övervägande introduceras inga nya parametrar eller fältvariabler, vilket innebär att QCD på ett gitter behåller den grundläggande karaktären av QCD.

QCD på ett gitter kännetecknas av tre speciella egenskaper. Först blir den funktionella integralen matematiskt väldefinierad för alla värden på kopplingskonstanterna . För det andra spelar det diskreta rum-tidsgittret rollen som en icke-perturbativ regularisering . Detta betyder att det inte finns några oändligheter för ändliga värden för det stabila gittret, eftersom det så kallade ultravioletta cut-offet vid π/a tillhandahålls, där a är gitterkonstanten. Med hjälp av gitterregularisering kan man alltså utföra de vanliga störande beräkningarna. För det tredje kan gitter QCD simuleras på en dator med metoder liknande de som används inom statistisk mekanik. För närvarande är simuleringsindataparametrar såsom den starka kraftkonstanten och nakna kvarkmassor hämtade från experimentella data [1] .

Denna formulering föreslogs av Wilson 1974. Det är viktigt att mätinvariansen bevaras i detta tillvägagångssätt [2] .

Fundamentals of lattice formalism för fallet med gauge-teorier $SU(N)$

Betrakta ett d-dimensionellt hyperkubiskt gitter , vars avstånd mellan noderna är lika med . Utan förlust av allmänhet kommer vi att anta att . Gitternoderna betecknas som ${\displaystyle \Lambda \in Z^{d))$ $a$ $a=1$

{\vec {x}}=(x_{1},x_{2},...x_{d})\,,

där Låt , vara enhetsvektorn i riktningen $0\leq x_{i}\leq L-1\,.$ ${\vec {e}}_{\mu }$ $\mu =1,2,...,d$ $\mu \,.$

En kant är en väg som förbinder två angränsande noder på ett rutnät. Kanten bestäms helt av nodens position och vektorn , det vill säga den kan betecknas med . $l$ ${\vec {x}}$ ${\vec {e}}_{\mu }$ $l=({\vec {x)),{\vec {e}}_{\mu })$

En plakett är den minsta möjliga öglan på ett galler. Plaketten bestäms helt av nodens position och vektorerna och , , Det vill säga den kan betecknas med . Betrakta mätteorin på ett gitter. I detta fall är de grundläggande frihetsgraderna parallella översättningar definierade på kanterna av gittret. $sid$ ${\vec {x}}$ ${\vec {e}}_{\mu }$ ${\vec {e}}_{\nu }$ $\mu \neq \nu$ $p=({\vec {x)),{\vec {e}}_{\mu },{\vec {e}}_{\nu })$ $SU(N)$ $U_{\mu }({\vec {x)))$

U_{\mu }\in SU(N)

U_{\mu }({\vec {x)))

är ett element i mätgruppen , den är riktad från gitterplatsen till platsen . Följaktligen kommer kantvariabeln, som är riktad från k, att ges av den reciproka av k- . Observera att . $SU(N)$ ${\vec {x}}$ ${\vec {x}}+{\vec {e}}_{\mu }$ ${\vec {x}}+{\vec {e}}_{\mu }$ ${\vec {x}}$ $U_{\mu }({\vec {x)))$ $U_{\mu }^{-1}({\vec {x)))$ $U_{\mu }^{-1}({\vec {x)))=U_{\mu }^{\dolk }({\vec {x)))$

På gittret definieras mätartransformationen vid noden . Låt vara en lokal mätare transformation. För det transformeras kantvariablerna enligt följande ${\vec {x}}$ $\Omega ({\vec {x)))$

{U_{\mu }^{'}({\vec {x)))}=\Omega ({\vec {x))){U_{\mu}({\vec {x))) }\Omega ^{\dolk }({\vec {x}}+{\vec {e}}_{\mu })\,.

Låta vara en parallell översättning runt plaquetten som anges av noden och riktningarna , . Det kan skrivas på följande sätt $U_{\mu \nu }({\vec {x)))$ ${\vec {x}}$ ${\vec {e}}_{\mu }$ ${\vec {e}}_{\nu }$

{U_{\mu \nu }^{}({\vec {x)))}=U_{\mu }({\vec {x))){U_{\nu }({\vec { x}}+{\vec {e}}_{\mu })}U_{\mu }^{\dolk }({\vec {x}}+{\vec {e}}_{\nu}) U_{\nu }^{\dolk }({\vec {x)))\,.

Den lokala omvandlingen förändras enligt följande $\Omega ({\vec {x)))$ $U_{\mu \nu }({\vec {x)))$

{U_{\mu \nu }^{'}({\vec {x)))}=\Omega ({\vec {x))){U_{\mu \nu }({\vec { x)))}\Omega ^{\dolk }({\vec {x}}+{\vec {e}}_{\mu })\,.

Action i gitterkvantkromodynamik och kvantisering av teori

Nyckelbegreppet i fältteorin är handling . För att konstruera en åtgärd på ett gitter används följande naturliga krav:

Interaktionsplats (detta tillåter endast interaktion mellan närliggande mätfält)
Invarians av åtgärden under lokala transformationer $\Omega ({\vec {x)))$
Translationell invarians
Förekomsten av en naiv kontinuumgräns
Enkelhet (i den meningen att den mest grundläggande representationen av mätgruppen väljs)

En åtgärd som helt uppfyller dessa krav föreslogs av Wilson [2] för mätteorier om gitter i termer av plaquettevariabler: $SU(N)$

S[U]=\beta \sum _{x,\mu <\nu }(1-{\frac {1}{N)){\text{Tr))U_{\mu \nu }( {\vec {x))))\,,

där summeringen är över alla plaquetter i gittret, och β är den omvända nakna interaktionskonstanten. Mätfältsmatriserna tas i den fundamentala representationen av gruppen.

Wilson-handlingen är en av de möjliga varianterna av aktionen på ett gitter vars naiva kontinuumgräns sammanfaller med Yang-Mills- teorins kontinuerliga verkan .

Tänk på materiens fält på gittret. Dessa kan vara både skalära fält (motsvarande till exempel Higgsfältet ) och fermioniska fält ( beskriv kvarkar eller leptoner ).

Den naiva gitterformen för den fermioniska verkan, som följer av diskretiseringen av Dirac-verkan, stöter på det så kallade fermioniska dubbleringsproblemet. Det visar sig att modellen, som beskrivs av en sådan handling, innehåller Dirac-partiklar (fermioner med två laddningar och två spinntillstånd) [3] . För att eliminera detta problem används två mer komplexa former av aktion på gittret: Wilson-aktionen och Kogut-Suskind-aktionen. $2^{4}=16$

Allmän form av Wilsons fermioniska verkan (färg- och spinnindex utelämnade) [4]

S_{W}={\frac {1}{2}}\sum _{x,\mu }\sum _{f=1}^{N_{f}}[{\bar {\Psi } }_{f}({\vec {x)))U_{\mu }({\vec {x)))(r-\gamma _{\mu })\Psi _{f}({\vec { x}}+{\vec {e}}_{\mu })+{\bar {\Psi }}_{f}({\vec {x}})U_{\mu }^{\dolk }( {\vec {x}}-{\vec {e}}_{\mu })(r+\gamma _{\mu})\Psi _{f}({\vec {x}}-{\vec { e}}_{\mu })]+\summa _{x}\summa _{f=1}^{N_{f}}{\bar {\Psi }}_{f}({\vec {x )))\Gamma _{f}\Psi _{f}({\vec {x)))\,,

där , är massan av det fermioniska fältet, är antalet kvargsmaker och är Wilson-parametern, vilket gör det möjligt att undvika oönskade frihetsgrader. I Wilsons originalverk blev det dock senare klart att det fanns ett mer allmänt fall [ 5] . Den naiva kontinuumgränsen leder till teorin om massiva Dirac-fermioner associerade med ett jämnt mätfält. Kiral symmetri kränks för alla möjliga och , och CP-symmetri kränks också för eller . Kogut Action - Saskind [6] $\Gamma _{f}=m_{f}-rd$ $m_{f}$ $N_{f}$ $r$ $r=1$ $r=s\exp(i\phi \gamma _{5})$ $0\leq s\leq 1$ $\phi$ $s$ $\phi \neq 0$ $\phi \neq \pi$

S_{KS}={\frac {1}{2}}\sum _{x,\mu =-d}^{d}\eta _{\mu }({\vec {x))) {\bar {\Psi }}({\vec {x}})U_{\mu}({\vec {x}})\Psi ({\vec {x}}+{\vec {e}}_ {\mu })+m\sum _{x}{\bar {\Psi }}({\vec {x}})\Psi ({\vec {x}})

var ,

\eta _{-\mu }({\vec {x)))=-\eta _{\mu }({\vec {x)))

U_{-\mu }({\vec {x)))=U_{\mu }^{\dolk }({\vec {x}}-{\vec {e}}_{\mu } )\,.

Multiplikatorn visas i åtgärden efter diagonaliseringen av den ursprungliga naiva åtgärden med avseende på spin-indexen. Detta är inte den enda möjligheten att välja , men det är detta val som gör att man kan beskriva massiva Dirac-fermioner med fyra smaker i kontinuumgränsen [7] . När det gäller kirala egenskaper, i fallet med nollmassagränsen, är denna verkan oföränderlig under den globala omvandlingen av fermioniska fält. $\eta _{\mu }=(-1)^{x_{1}+x_{2}+...+x_{\mu -1))$ $\eta$ $U(N_{f})\otimes U(N_{f})$

Ett viktigt steg i övervägandet av problemen med kvantkromodynamik på ett gitter är kvantiseringen av mätfält. I vägintegralmetoden sker kvantisering genom funktionell integration över alla mätfältskonfigurationer. I fallet med en gittermåttteori ges vakuumförväntningsvärdet för en observerbar som funktion av en linjevariabel enligt följande: $O$ $U_{\mu }(x)$

\langle O\rangle ={\frac {1}{Z}}\int {\mathcal {D}}[U]O[U]\exp(-S[U])\,,

var är Wilson-åtgärden och är partitionsfunktionen . Integrationen utförs över alla kanter av gittret: $S[U]$ $Z$ $Z=\int {\mathcal {D}}[U]\exp(-S[U])$

{\mathcal {D}}[U]=\prod _{x,\mu }dU_{\mu }({\vec {x)))\,.

För den exakta beräkningen av integralerna som ges i detta underavsnitt är det nödvändigt att ange måttet . Det måste vara mätinvariant om kvantfluktuationer inte bryter mot denna viktiga princip. Motsvarande unika mått som uppfyller mätinvariansvillkoret är Haar-måttet för mätargruppen. Således garanteras mätinvariansen av Haar-måttet som ett mått på integration, såväl som av åtgärdens mätinvarians. Enligt Elitzurs teorem [8] kan en sådan lokal mätinvarians inte brytas spontant. I en finit volym är antalet variabler i de reducerade funktionella integralerna också finit. Eftersom integrationsgränserna är kompakta, är dessa integraler väldefinierade utan att fixera mätaren för något värde på kopplingskonstanten . Därför ger sådana medelvärden en icke-perturbativ kvantisering av mätmodeller. ${\displaystyle dU_{\mu ))$ $\beta =1/g^{2}$

QCD-metoder

Perturbativ teori

Vid en första anblick kan det tyckas att användningen av orden "galler" och " störningsteori " utesluter varandra, men så är inte fallet, och störande teori på ett gitter har vuxit till en stor och etablerad disciplin. Det finns faktiskt många praktiska tillämpningar av gitterstörningsteori, och ibland är det till och med nödvändigt. Bland dem är definitionen av renormaliseringsfaktorer för matriselementen hos operatörer och renormaliseringen av nakna lagrangiska parametrar, såsom interaktion och massparametrar. Exakt kunskap om renormaliseringen av den starka interaktionen är nödvändig för parametern i QCD på gittret, såväl som för kontinuumet som motsvarar den [9] . $\lambda$ $\Lambda _{{QCD}}$

Till exempel, inom kvantelektrodynamik är parametern för den störande expansionen den konstanta fina strukturen. . Inom kvantkromodynamik är analogen till den elektromagnetiska laddningen , och måttet på interaktion är (alfa stark). På grund av närvaron av en färgladdning interagerar gluoner med varandra. Som ett resultat, på avstånd i storleksordningen av hadroner, är interaktionen stark och växer med ökande avstånd [10] . $\alpha =e^{2}/4\pi$ $g$ $\alpha _{s}=g^{2}/4\pi$ $\alfa_s$

Perturbationsteorin är i själva verket väsentligt relaterad till kontinuumgränsen för diskreta versioner av QCD. På grund av den asymptotiska friheten , eftersom avståndet mellan kvarkar minskar, kan därför , och därför vara en expansionsparameter [9] . $g\longrightarrow 0$ $\alpha \longrightarrow 0$ $\alfa$

Monte Carlo Method

Monte Carlo-metoden är att föredra i gitter-QCD-beräkningar. Dess idé liknar statistisk mekanik, eftersom den i datorns minne genererar uppsättningar av mätarkonfigurationer med vikter uttryckta av vägintegralens exponentiella verkan. Idén bygger på att inte integrera över alla fält, utan över flera "typiska konfigurationer". Proceduren utförs genom att tillämpa Markov-kedjeprincipen för små, viktade ändringar i det lagrade systemet.

För att få ett resultat i det kontinuerliga fallet är det nödvändigt att utföra olika extrapolationer, det konstanta gittret måste tendera till noll och gitterstorleken måste tendera till oändlighet. Sådan modellering blir också mycket svårare med minskande kvarkmassor. Monte Carlo-metoden fungerar mycket bra för bosoniska fält, men blir tröttsam för fermioner [11] .

Nedbrytning av en stark bindning

I den täta kopplingsapproximationen är den lilla parametern . Starka och svaga kopplingsregimer kan separeras av en eller flera fasövergångar, vilket gör det svårt att lösa problem. Detta problem kan lösas med Monte Carlo-metoden eller Padé-approximationsmetoden. Med denna metod extrapoleras resultaten som erhålls vid expansionen av stark koppling till den region där resultaten av störningsteorin i form av en liten kopplingskonstant blir giltiga [12] . $1/g^{2}$

Ett utmärkande drag för den starka länknedbrytningen är att gruppintegrationen ger ett resultat som inte är noll endast om varje länk förekommer i en kombination som kan bilda en färgad singlett.

Medelvärdet för Wilson-slingan för plaquetteverkan i litet β (stort g) kan utökas enligt följande:

\langle W_{RT}\rangle ={\frac {1}{Z}}\int dUW_{RT}e^{\beta /2N(W_{11}^{+}+W_{11}^ {-})}={\frac {1}{Z}}\int dUW_{RT}{\Bigl (}1+\beta /2N(W_{11}^{+}+W_{11}^{- })+...{\Bigr )}\,,

där finns två plaquetteorienteringar, och färgindexspåret inuti varje slinga är inte skrivet explicit. Det första bidraget som inte är noll till integralen kan erhållas från slingan omgiven av elementära plaquetter med korrekt orientering. Varje sådan plakett bidrar med en faktor genom expansion och en faktor genom integration. Sedan [1] $W_{11}^{+},W_{11}^{-}$ $W_{RT}$ $\beta /2N$ $1/N$

\langle W_{RT}\rangle ={\frac {\beta ^{RT}}{2N^{2}}}{\Bigl (}1+...{\Bigr )}\,.

Renormaliseringsgrupp

På nivån för Feynman -träddiagram är relativistisk kvantfältteori väldefinierad och kräver ingen renormalisering. Men med hänsyn till efterföljande loopkorrigeringar uppstår oenigheter som måste elimineras genom renormalisering. I allmänhet, i det här fallet, beror teorin på någon cutoff-parameter, som måste tas bort samtidigt som man justerar de blotta parametrarna och håller de fysiska storheterna ändliga.

Betrakta gittergränsen för gitterkonstanten . Låt vara protonmassan, en ändlig fysikalisk kvantitet, som på gittret är en a priori okänd funktion av cutoff, bar gauge interaktionskonstanten och de kala kvarkmassorna. Eftersom massorna av kvarkar tenderar till noll, förväntas det att protonmassan kommer att vara ändlig, därför försummar vi för en förenklad övervägande tillfälligt kvarkmassor. Sedan . Med tanke på denna parameter som en konstant under ersättningen får vi ett beroende av : $a$ $m_{p}$ $m_{p}=m_{p}(g,a)$ $a$ $g$ $a$

a{\frac {d}{da}}m_{p}(g(a),a)=0=a{\frac {\partial }{\partial a}}m_{p}(g, a)+a{\Bigl (}{\frac {dg}{da}}{\Bigr )}{\frac {\partial }{\partial g}}m_{p}(g,a)\,,

detta uttryck kallas den grundläggande grupprenormaliseringsekvationen.

Renormaliseringsgruppfunktion:

\beta (g)=-a{\frac {dg}{da}}=-{\frac {m_{p}(g,a)}{{\frac {\partial }{\partial g} }m_{p}(g,a)}}

kännetecknar hur den nakna interaktionskonstanten förändras i kontinuumgränsen. Denna funktion kallas även Callan-Symanzik-funktionen [13] och är viktig för att konstruera kontinuumgränsen. Dessutom är den exakta kunskapen om den icke-perturbativa -funktionen avgörande i denna fråga. Det bör noteras att denna definition inte är beroende av störningsteori eller några mätanordningar. Hittills är endast ett störande uttryck för -funktionen känt. $\beta$ $\beta$ $\beta$

Eftersom renormalisering inte är nödvändig så länge som kvantloopar inte tas med i beräkningen, minskar som vid . Störningskoefficienter från den asymptotiska serien $\beta (g)$ ${\displaystyle g^{3))$ $g\longrightarrow 0$

\beta (g)=\beta _{0}g^{3}+\beta _{1}g^{5}+...\,.

Vid ett tillfälle beräknades koefficienten för icke-abelian mätteorier : ${\displaystyle \beta _{0))$

\beta _{0}=-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}{\Bigl (}11N/3-2N_{f}/3{\Bigr )}\,,

där mätgruppen är , och anger antalet fermiontyper [14] [15] [16] . $SU(N)$ $N_{f}$

Slingbidraget definierades också [17] [18] :

\beta _{1}=-{\biggl (}{\frac {1}{16\pi ^{2}}}{\biggr )}^{2}{\Bigl (}34N^{2 }/3-10NN_{f}/3-N_{f}(N^{2}-1)/N{\biggr )}\,.

I allmänhet beror betafunktionen på vilket renormaliseringsschema som används. Det kan till exempel bero på vilken fysisk kvantitet som är inställd som en konstant, såväl som på cutoff-parametern. En viktig egenskap hos betafunktionen är att de betraktade koefficienterna och är universella [11] . ${\displaystyle \beta _{0))$ $\beta_{1}$

Eftersom -funktionen är negativ för små värden på kopplingskonstanten, då tenderar gitterkonstanten också att bli noll. Detta uttalande motsvarar asymptotisk frihet . Genom att integrera kan man få följande samband mellan den blotta kopplingskonstanten och gitterkonstanten : $\beta$ $g\longrightarrow 0$ ${\displaystyle \beta (g)\thickapprox \beta _{0}g^{3))$ $g$ $a$

a(g)={\frac {1}{\Lambda _{L))}\exp {\Bigl (}-{\frac {8\pi ^{2)){bg^{2)) }{\Bigr )}\,,

där , och är integrationskonstanten , som har dimensionen massa. ${\displaystyle b={\Bigl (}11N/3-2N_{f}/3{\Bigl )))$ $\Lambda _{L}$

För de två första termerna av -funktionen och fallet med ren gauge QCD ( ), kan man få följande resultat: $\beta$ $N_{c}=3,N_{f}=0$

\beta \thickapprox -{\frac {11}{16\pi ^{2}}}g^{3}-{\frac {102}{(16\pi ^{2})^{2} }}g^{5}\,,

a(g)={\frac {1}{\Lambda _{L))}{\biggl (}{\frac {11}{16\pi ^{2))}g^{2}{ \biggr )}^{-51/121}\exp(-{\frac {8\pi ^{2}}{11g^{2}}})\,.

Dessa två uttryck kallas också ofta för skalningslagen eftersom de ger information om beteendet hos den blotta kopplingskonstanten som , tenderar mot noll. $a$

Problem med starka interaktioner

För att kvantkromodynamik ska beskriva den starka interaktionen måste den ha följande tre egenskaper, som var och en skiljer sig väsentligt från fallet med den klassiska teorin.

Hadronmassor

Ett häpnadsväckande faktum som visar sig i kvarkbetraktningen av materia är att massorna av kvarkar (sammansatta hadroner) bara summerar till proton-/neutronmassorna: $0.2\%$

m_{u}=2.3{\textrm {MeV)),\,m_{d}=4.8{\textrm {MeV)),\,m_{p}=938{\textrm {MeV))\, .

Tänk på följande transformationer av kvarkfält:

U(N_{f})\times U(N_{f})=SU_{L}(N_{f})\times SU_{R}(N_{f})\times U_{V}(1 )\ gånger U_{A}(1)\,.

Kirala rotationer som verkar på lämnar den kinetiska delen av QCD Lagrangian invariant. Masstermen bryter tydligt mot denna symmetri. Men eftersom massorna och kvarkarna är mycket små, kan denna uppenbara kränkning försummas som en första approximation i en teori med två eller till och med tre av de lättaste smakerna. $\Psi _{L,R}^{f}={\frac {1\pm \gamma _{5}}{2}}\Psi ^{f}$ $u$ $d$

Huvudantagandet är att QCD är inneboende i spontan symmetribrytning .

Orderparametern för denna överträdelse kallas kvarkkondensat :

\sigma =\sum _{i=1}^{N_{c}}{\bar {\Psi }}_{i}^{f}\Psi _{i}^{f}\,.

Om , då den resulterande effektiva teorin om bundna hadroniska tillstånd i QCD har en massterm för både mesoner och baryoner. En sådan effektiv teori kan endast beräknas i den starka interaktionsapproximationen. $\sigma \neq 0$

Problemet ligger i att konstruera en operatör som ger rätt hadroniska massor. En sådan operator är , som är sammansatt av kvarkfält , gammamatriser och gruppmatriser för att bilda ett färglöst tillstånd med de nödvändiga kvanttalen och symmetriska egenskaperna. Hadronmassorna kan beräknas med hjälp av tvåpunktskorrelationsfunktionen: $O(t,x)$ ${\displaystyle \Psi _{f}^{a))$ $\gamma$

\langle O(t_{1},x)O(t_{2},x)\rangle _{c}\backsim \sum _{n}C_{n}\exp ^{-m_{n} |t_{1}-t_{2}|}\,.

Även om sådana operatorer visar sig vara lokala (vilket inte är fallet för riktiga hadroner), kommer de på grund av deras korrelationer att bete sig som exakta hadronkorrelationer vid kontinuumgränsen.

Inspärrning

Fria kvarkar har aldrig observerats i experiment. Fenomenet som gör det omöjligt att observera fria kvarkar under normala förhållanden kallas inneslutning . Man tror att kvarkar existerar permanent inuti hadroner , och QCD kan förklara denna egenskap genom den starka kraften .

Beviset på inneslutning och förklaringen av dess mekanism inom ramen för QCD är en av de största utmaningarna för teoretiker som arbetar inom detta område.

Massgap

Det är känt från experiment att den starka interaktionen är kortdistans. Om denna växelverkan kan förklaras med en gauge-teori betyder det att gauge-bosonerna måste vara massiva. Masstermen kan dock inte inkluderas i den klassiska Lagrangian, eftersom detta skulle förstöra mätinvariansen. Det betyder att massgapet på något sätt måste dyka upp i kvantteorin.

Detta problem har kallats "Problemet med existensen av Yang-Mills Theory and the Mass Gap" och är ett av de sju så kallade " Millenniumproblemen ". Den exakta formuleringen är som följer:

Bevisa att den icke-triviala kvantum Yang-Mills teorin existerar på utrymme för en enkel kompakt gauge-grupp och har ett massgap som inte är noll ( ). $R^4$ $G$ $\Delta >0$

Anteckningar

↑ 12 Gupta . _ Introduktion till Lattice QCD , arXiv:hep-lat/9807028 (11 juli 1998). Arkiverad 28 maj 2020. Hämtad 2 juni 2020.
↑ 12 Wilson . _ Confinement of quarks , Physical Review D (15 oktober 1974), s. 2445–2459. Arkiverad 13 september 2022. Hämtad 2 juni 2020.
↑ Smit, Jan, 1943-. Introduktion till kvantfält på ett gitter: "en robust kompis" . - Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press, 2002. - ISBN 0-511-02078-3 .
↑ KG Wilson, i New Phenomena in Subnuclear Physics, ed. A. Zichichi, Plenum, New York 1977 (Erice 1975).
↑ Seiler . Lattice fermioner och $\ensuremath{\theta}$ vakuum , Physical Review D (15 april 1982), s. 2177–2184. Hämtad 3 juni 2020.
↑ Susskind . Lattice fermions , Physical Review D (15 november 1977), s. 3031–3039. Hämtad 3 juni 2020.
↑ Sharatchandra . Susskind fermions on a euclidean lattice (engelska) , Nuclear Physics B (23 november 1981), s. 205–236. Arkiverad 3 juni 2020. Hämtad 3 juni 2020.
↑ Elitzur . Omöjlighet att spontant bryta lokala symmetrier , Physical Review D (15 december 1975), s. 3978–3982. Hämtad 3 juni 2020. (inte tillgänglig länk)
↑ 12 Capitani . _ Lattice Perturbation Theory , Physics Reports (juli 2003), s. 113–302. Arkiverad 3 juni 2020. Hämtad 3 juni 2020.
↑ Smith, Jan. Introduktion till kvantfält på ett gitter: [] . - Cambridge : CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, 2002. - ISBN 0 521 89051 9 .
↑ 12 Creutz . _ Instängdhet, kiral symmetri och gittret , Acta Physica Slovaca. Recensioner och handledningar (1 februari 2011), s. 1–127. Arkiverad 7 april 2020. Hämtad 3 juni 2020.
↑ Cheng, T.P. Gauge teorier i elementär partikelfysik : [ rus. ] . — Ripol Classic. - ISBN 978-5-458-27042-7 .
↑ Symanzik . Litet avståndsbeteende i fältteori och krafträkning (engelska) , Communications in Mathematical Physics (1970), s. 227–246. Arkiverad 3 juni 2020. Hämtad 3 juni 2020.
↑ Politzer . Pålitliga störande resultat för starka interaktioner? , Physical Review Letters (25 juni 1973), s. 1346–1349. Hämtad 3 juni 2020.
↑ Brutto . Ultraviolett beteende av icke-abeliska mätteorier , fysiska granskningsbrev (25 juni 1973), s. 1343–1346. Hämtad 3 juni 2020.
↑ Brutto . Asymptotiskt fria mätare teorier. I , Physical Review D (15 november 1973), s. 3633–3652. Hämtad 3 juni 2020.
↑ Caswell . Asymptotiskt beteende av icke-abeliska mätteorier till tvåslingor , fysiska granskningsbrev (22 juli 1974), s. 244–246. Hämtad 3 juni 2020.
↑ Jones . Två-loopdiagram i Yang-Mills teori (engelska) , Kärnfysik B (25 juni 1974), s. 531–538. Arkiverad 3 juni 2020. Hämtad 3 juni 2020.