Konformt platt grenrör

Ett konformt platt grenrör är ett riemannskt grenrör där varje punkt har en stadsdel som kan kartläggas konformt till en region i det euklidiska rymden.

Mer formellt, låt M vara ett pseudo-riemannskt grenrör med metriskt g . Då är M konformt platt om det för varje punkt finns ett område och en jämn funktion definierad på U så att måtten på är platt (det vill säga krökningarna försvinner på ). $x\in M$ $U\ni x$ $\phi$ $e^{2\phi }\cdot g$ $U$ $e^{2\phi }\cdot g$ $U$

Funktionen kallas den konforma faktorn, den behöver inte definieras på hela M. Vissa författare använder termen lokalt konformt platt för att beskriva konceptet som introducerats ovan, och behåller termen konformt platt för det fall där funktionen definieras på hela M. $\phi$ $\phi$

Exempel

Varje grenrör med konstant tvärsnittskurvatur är konformt platt.
Varje 2-dimensionell pseudo-Riemann-grenrör är konformt platt.
Ett 3-dimensionellt pseudo-Riemann-grenrör är konformt platt om och bara om bomullstensorn försvinner.
Ett n -dimensionellt pseudo-Riemann-grenrör för n ≥ 4 är konformt platt om och endast om Weil-tensorn försvinner.

Egenskaper

Varje kompakt , enkelt ansluten , konformt platt Riemann-grenrör är konformt likvärdigt med en sfär .

Variationer och generaliseringar

En pseudo-Riemann-manifold sägs vara konformt platt om var och en av dess punkter har en grannskap som konformt kan mappas till en domän av pseudo-euklidiskt utrymme .