Heine-Borel Lemma

Heine-Borel- lemmat [1] (och även Borel-Lebesgue-lemmat [2] eller det finita täcklemmat ) är följande faktum, som spelar en grundläggande roll i analysen :

Från vilket oändligt system av intervall som helst som täcker ett segment av den reella linjen kan man välja ett ändligt delsystem som också täcker detta segment.

Generaliseringen av denna proposition till det flerdimensionella fallet kallas också Heine-Borel-lemmat (eller Borel-Lebesgue-lemmat) [3] .

Formulering

Ställ in system

{\mathfrak {S}}=\lbrace S_{{\alpha }}\rbrace

där indexet löper genom någon uppsättning kallas ett omslag av uppsättningen if $\alfa$ ${\mathfrak {A}}$ $X$

X \ Delmängd \ Bigcup _ {{\ Alpha \ i {\ Mathfrak {a}}} S _ {{\ alpha}}}}}}}}}}

Om någon del av omslaget , säg , där är en delmängd av , själv bildar ett omslag av uppsättningen , så kallas det ett underomslag av omslaget till uppsättningen . ${\mathfrak {S}}$ ${\ mathfrak {s}} '= \ lbrace s _ {{\ alpha}} \ mid \ alpha \ i {\ mathfrak {a'} \ rbrace$ ${\mathfrak {A'}}$ ${\mathfrak {A}}$ $X$ ${\mathfrak {S}}'$ ${\mathfrak {S}}$ $X$

Låt oss nu formulera Heine-Borel-lemmat i en allmän form.

Låt vara en sluten avgränsad uppsättning i utrymmet . $X$ $\mathbb{R}^n$ $X$ $X$

Kortfattat säger de detta: varje öppet hölje av en sluten avgränsad uppsättning i rymden innehåller ett ändligt underhölje. $\mathbb{R}^n$ Ett lock kallas öppet om det består av öppna set.

Имеет место и обратное предложение: для того чтобы всякое открытое покрытие множества содержало конечное подпокрытие необходимо, чтобы множество было замкнутым и ограниченным. $X\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $X$ Однако леммой Гейне — Бореля называют лишь прямое утверждение, то есть достаточные условия существикон.

Bevis

Beviset för Heine-Borel-lemmat kan utföras på olika sätt. Nedan är konturerna av två bevis.

Första beviset

Это доказательство проводится методом Больцано (деления пополам) och опирается на лемму Коши — Канлцано охн . Во многом оно аналогично доказательству леммы Больцано — Вейерштрасса о предельной точке .

Låt segmentet täckas av ett oändligt system av intervall. Antag att inget slutligt antal intervall från detta segment täcker. Dela segmentet på mitten i två lika stora segment: och . Åtminstone en av dem kan inte täckas med det slutliga delsystemet med intervall från . Vi betecknar det och upprepar proceduren för att dela den i hälften. $[a,b]$ $\Sigma$ $\Sigma$ $[a,b]$ $\left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]$ $\left[{\frac {a+b}{2}},b\right]$ $\Sigma$ $[a_{1},b_{1}]$

Om vi fortsätter att dela segmenten på mitten i varje steg får vi en sekvens av kapslade segment som tenderar till noll i längd, så att varje segment i denna sekvens inte kan täckas av ett ändligt antal intervall från . Men om det är en punkt till vilken segmenten drar ihop sig, då, eftersom den ligger på segmentet , måste den inkluderas i något intervall av systemet . Då kommer alla segment i sekvensen , med början från något nummer, att omfattas av intervallet , vilket motsäger själva valet av dessa segment. Den resulterande motsägelsen bevisar giltigheten av Heine-Borel-lemmat. $\Sigma$ $\xi$ $\xi$ $[a,b]$ $\sigma$ $\Sigma$ $[a_{k},b_{k}]$ $\sigma$

Это доказательство, с очевидными изменениями, проводится och för пространства произвольной размерности. Указанное доказательство можно найти в [3] och в [2] (в последней книге сразу для случая произвольного метрича метрича ). $\mathbb{R}^n$

Andra beviset

Ett annat bevis på Heine-Borel-lemmat beror på Lebesgue [2] .

Låt intervallsystemet täcka segmentet . Ясно, что если всякий отрезок вида (где x - sup M) может быть покрыт конечным числом интервалов из , то же верно и для отрезка : для этого возьмем интервал , покрывающий точку , и добавив его к конечному покрытию какого-нибудь отрезка , где , vi får en ändlig täckning av segmentet . $\Sigma$ $[a,b]$ $M$ $x\i[a,b]$ $[yxa]$ $\Sigma$ $[a,x'],\;x'<x$ $\Sigma$ $[yxa]$ $\sigma \in \Sigma$ $x$ $[yxa']$ $x'<x,x'\in \sigma$ $[yxa]$ $[yxa]$ $[yxa'']$ $x''>x$

Av den första följer att den minsta övre gränsen av mängden tillhör mängden . Från den andra, att det ska vara lika med . Alltså , det vill säga segmentet kan täckas av ett ändligt antal intervall från . $M$ $M$ $b$ $b\in M$ $[a,b]$ $\Sigma$

Applikation i analys

Tillsammans med Cauchy-Cantors kapslade intervalllemmat och Bolzano-Weierstrass gränspunktslemma är Heine-Borels ändliga täcklemma ett av analysens grundläggande uttalanden. Det kan användas för att bevisa ett antal viktiga resultat.

Låt oss illustrera vad som har sagts om exemplet med beviset för den enhetliga kontinuitetsteoremet .

Непрерывность функции на интервале означает, что для всякой точки интервала и произвольного найдется такая окрестность точки , в которой любые два значения функции отличаются не более чем на : $f$ $(a,b)$ $x$ $(a,b)$ $\varepsilon > 0$ $U_{{\delta }}(x)$ $x$ $\varepsilon$

x ', x' '\ in u _ {\ delta}} (x) \ högerpil | f (x')-f (x '') | \ leqslant \ varpsilon

Vi fixar och för varje punkt i segmentet väljer vi det angivna området (var och en kommer att ha sin egen ). Det är lätt att se att det är möjligt att välja så att varje längdsegment helt finns i ett av täckningsintervallen . Det följer att om de inte skiljer sig mer än , så finns de i samma täckningsintervall, vilket innebär att funktionens värden vid dessa punkter inte skiljer sig med mer än . $\varepsilon > 0$ $x$ $[a,b]$ $U_{{\delta }}(x)$ $x$ $\ delta = \ delta (x)$ $\Sigma$ $\delta>0$ $\delta$ $\Sigma$ $x',x''$ $\delta$ $\varepsilon$

Sålunda, för godtyckligt tagna det finns , sådan att $\varepsilon > 0$ $\delta>0$

x ', x' '' \ i [a, b] \ quad | x'-x '' | \ leqslant \ delta \ högerpil | f (x ')-f (x' ') | \ leqslant \ varpsilon

Detta innebär att funktionen är jämnt kontinuerlig på segmentet . $f$ $[a,b]$

Generaliseringar

Лемма Гейне — Бореля обобщается на произвольное метрическое пространство следующим образом:

För att ett öppet lock till ett metriskt utrymme ska innehålla ett ändligt undertäcke är det nödvändigt och tillräckligt att utrymmet är komplett och helt avgränsat . ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Precis som i fallet med rymden kallas endast den andra delen av detta förslag, om tillräckligheten av villkor för existensen av ett ändligt undertäcke, Heine-Borel-lemmat. $\mathbb{R}^n$

Det visar sig att ett metriskt utrymme har egenskapen Heine-Borel om och endast om det är ett kompakt utrymme , det vill säga varje oändlig delmängd av det har en gränspunkt som tillhör . Således skulle ett kompakt metriskt utrymme kunna definieras som ett utrymme vars varje öppet lock innehåller ett ändligt underlock. ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

När man övergick från metriska utrymmen till ett mer allmänt begrepp av topologiska utrymmen visade det sig att dessa två villkor inte är likvärdiga: om ett topologiskt utrymme har Heine-Borel-egenskapen, så har varje oändlig delmängd av det en gränspunkt, men tvärtom är inte alltid sant. Den starkare Heine-Borel-egenskapen har tagits som definitionen av ett kompakt topologiskt utrymme . Dessutom visade sig det gamla kompakthetsvillkoret, nämligen förekomsten av en gränspunkt för vilken oändlig delmängd som helst, vara ekvivalent med följande villkor: varje räknebart öppet lock innehåller ett ändligt delskydd. Sådana utrymmen kom att kallas countably kompakta .

Historisk bakgrund

Historien om den matematiska propositionen, idag känd som Heine-Borel-lemmat, började under andra hälften av 1800-talet, när matematiker var upptagna med att leta efter pålitliga grunder för en rigorös konstruktion av kalkyl . Bland annat var ett av de grundläggande analysresultaten som krävde rigorösa bevis satsen som säger att varje funktion som är kontinuerlig på ett segment är enhetligt kontinuerlig på det. Dirichlet var den förste att bevisa detta teorem i sina föreläsningar 1862, som publicerades först 1904. Samtidigt använde han implicit det faktum att om ett segment täcks av ett oändligt antal intervall, så kan man bland dem välja ett ändligt tal som också täcker det givna segmentet. Senare liknande resonemang användes av E. Heine , K. Weierstrass , S. Pinkerle . Den första som formulerade och bevisade Heine-Borel-lemmat i en form som liknar den moderna var E. Borel 1895. Men hans formulering var begränsad till beläggningar bestående av ett räknebart antal intervall. Den generaliserades till godtyckliga oändliga beläggningar av E. Borels elev A. Lebesgue 1898.

I den matematiska litteraturen finns detta förslag under olika namn. Det vanligaste namnet är Heine-Borel-lemmat [1] [3] [4] , som placerades i rubriken på denna artikel. Följande används dock ofta: Borel-Lebesgue lemma [5] , Borel lemma [6] . I vissa böcker kallas denna proposition inte ett lemma, utan ett teorem: Heine-Borel-satsen [7] , Borel-Lebesgue-satsen [2] . Namnet på det finita täcklemmat [5] förekommer också .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Element i funktionsteorin och funktionsanalys. - S. 107.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrov PS Introduktion till mängdteori och allmän topologi. — S. 183-184, 193-195.
↑ 1 2 3 4 Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. - T. 2. - S. 195-196.
↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of matematisk analys: Om 2 timmar, del I.
↑ 1 2 Zorich V. A. Matematisk analys. Del I
↑ Fikhtengolts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl i 3 volymer. - T. 1.
↑ Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis.

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion till mängdlära och allmän topologi. - M . : "Nauka", 1977. - 368 sid.

Zorich V. A. Matematisk analys. Del I. - 4:e upplagan, Rev. - M . : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 sid. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis: In 2 hours. Del I. - 7:e upplagan - M . : FIZMATLIT, 2005. - 648 sid. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Kolmogorov AN, Fomin SV Element i funktionsteorin och funktionsanalys. - 7:e uppl. - M . : "Fizmatlit", 2004. - 572 sid. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 sid. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis = Principles of Mathematical Analysis / per. från engelska. Havin. — 2:a uppl., stereotypt. - M . : "Mir", 1976.

Fikhtengol'ts G.M. Kurs för differential- och integralkalkyl i 3 volymer. - T. 1.