Bildmetod

Bildmetoden (spegelbildsmetoden) är en av metoderna inom matematisk fysik , som används för att lösa gränsvärdesproblem för Helmholtz- ekvationen , Poisson-ekvationen , vågekvationen och några andra.

Kärnan i bildmetoden är att det ursprungliga problemet med att hitta fältet för givna (utanför) källor i närvaro av gränsytor reduceras till att beräkna fältet för samma och några ytterligare (fiktiva) källor i en oändlig miljö, som är ligger utanför fältet för att hitta fältet för det ursprungliga problemet. Dessa ytterligare källor kallas bildkällor . Reglerna för deras konstruktion är helt lika de som används för att konstruera bilder av punktkällor i optik i ett system av speglar (här upprepar speglarna formen på gränsytorna). Storleken på bildkällor bestäms av gränsförhållandena på ytorna, samt av kraven på fältets enhetlighet som skapas av ett verkligt system av källor och ytor, och ett system sammansatt av verkliga källor och fiktiva bildkällor i rymden nära de verkliga källorna.

Med hjälp av bildmetoden brukar man lösa problem där varje given punktkälla kan associeras med ett ändligt system (ibland en oändlig diskret serie) av samma typ av punktkällor-bilder. Därför används bildmetoden mest inom elektrostatik. Bildmetoden kan också utvidgas till en bredare klass av gränser och randvillkor inom ramen för metoden för geometrisk optik vid en tillräckligt liten våglängd och några kortvågsapproximationer som förfinar den. I detta fall reduceras det till att konstruera ett mönster av strålar och geometrisk-optiska bilder.

Exempel 1: Punktladdning och ledande plan

Låt punktladdningen placeras på avstånd från det ledande planet. Det krävs för att bestämma kraften med vilken planet verkar på laddningen. $q$ $a$

Låt oss introducera en lika och motsatt laddningsbild på andra sidan planet på samma avstånd. Attraktionskraften mellan en verklig laddning och en bildladdning bestäms av Coulombs lag :

F=k{\frac {q^{2}}{4a^{2}}}

Exempel 2: Punktladdning nära ett gränssnitt mellan två dielektrika

Låt en punktladdning vara belägen på avstånd från ett plant gränssnitt mellan två dielektrika med permeabiliteter och . Det krävs för att bestämma kraften som verkar på laddningen. $q$ $a$ $\varepsilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$

Låt oss introducera en laddningsbild från andra sidan av planet på samma avstånd. Från brytningslagen bestämmer vi storleken på denna laddning: ${\displaystyle q^{\prime ))$

{\frac {q-|q^{\prime }|}{q+|q^{\prime }|}}={\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}} }

Attraktionskraften mellan en verklig laddning och en bildladdning bestäms av Coulombs lag :

F=k{\frac {q\cdot |q^{\prime }|}{(2a)^{2}}}=k{\frac {q^{2}}{4a^{2} }}{\frac {\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}

Giltigheten av spegelbildsmetoden bevisas med hjälp av unikhetssatsen för lösningen av motsvarande differentialekvation ( Poissons ekvation i fallet med elektrostatik) under vissa randvillkor .

Inom elektrostatik gör metoden det enkelt att beräkna fördelningen av ett elektriskt fält i en volym mellan en uppsättning elektriska laddningar och ledande ytor av en viss form, samt mellan elektriska laddningar och dielektriska ytor. I det enklaste fallet, när en elektrisk laddning är placerad ovanför ett ledande plan (fig. 1), är det elektriska fältet mellan laddningen och ytan identiskt med fältet mellan denna laddning och dess motsatt laddade spegelbild. Giltigheten av en sådan ersättning följer av villkoret av frånvaron av tangentiell komponent av den elektriska fältstyrkevektorn på ledarens yta, eller, med andra ord, följer av det faktum att fältpotentialen är densamma vid vilken punkt som helst. av den ledande ytan [1] . Härifrån är det också uppenbart att växelverkanskraften mellan laddningen och planet är lika med växelverkanskraften mellan den faktiska laddningen och dess spegelbild, och även att denna växelverkanskraft är attraktionskraften.

På liknande sätt gör spegelbildsmetoden det möjligt att beräkna magnetfältet för likströmmar som ligger ovanför ett ledande eller dielektriskt plan.

Dessutom, inom magnetostatik , låter metoden dig beräkna magnetfältet i volymen mellan en uppsättning magnetiska dipoler (eller någon källa till ett externt magnetfält) och ytan på en ideal supraledare (se Meissner-effekten ). Här, i det enklaste fallet med en magnetisk dipol över ett supraledande plan (fig. 2), är fältet från skärmade supraledande strömmar utanför supraledaren ekvivalent med fältet för den reflekterade dipolen. Giltigheten följer av tillståndet av frånvaron av den normala komponenten av magnetfältet på ytan av supraledaren. Samverkanskraften mellan en magnet och en ideal supraledare är frånstötande. Det finns också en generalisering av metoden - metoden för frusna spegelbilder , som även är tillämplig på supraledare med stark pinning .

Metoden används ofta för att beräkna andra fält, såsom vätske- eller värmeflöden. [2]

Anteckningar

↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman föreläsningar om fysik. Volym 5: Elektricitet och magnetism. Översättning från engelska (Vol. 3). — Redaktionell URSS. — ISBN 5-354-00703-8
↑ Elektrostatiska analogier (otillgänglig länk)

Litteratur

Kupalyan SD Teoretiska grunder för elektroteknik. Del 3, Elektromagnetiskt fält. - M., 1970.
Bessonov L. A. Teoretiska grunder för elektroteknik. - M .: "Högstadiet", 1967.

Länkar

Avbildningsmetod - artikel från Encyclopedia of Physics
(nedlänk sedan 2017-02-10 [2072 dagar ) Bildmetod i elektrostatik]
http://iatephysics.narod.ru/lecture4/lecture4.htm
Handledningsvideo "Mirror Image Method"