Bild (matematik)

Bilden av en funktion är mängden av alla värden som funktionen ger.

Mer generellt ger beräkning av värdet av en given funktion för varje element i en given delmängd av funktionens domän en uppsättning som kallas " bilden för funktionen ". På liknande sätt är den omvända bilden (eller preimage ) av en given delmängd av en funktions koddomän uppsättningen av alla element i domänen som mappar till element i uppsättningen . $f$ $A$ $A$ $f$ $B$ $f$ $B$

Bild och omvänd bild kan också definieras för allmänna binära relationer , inte bara funktioner.

Definition

Ordet "bild" används på tre relaterade sätt. I dessa definitioner finns en set - to-set- funktion . $f\kolon X\till Y$ $X$ $Y$

Elementbild

Om är ett element i mängden , då är bilden av elementet för funktionen , betecknad med [1] , värdet på funktionen för argumentet . $x$ $X$ $x$ $f$ $f(x)$ $f$ $x$

Delmängd bild

Bilden av en delmängd för funktionen , betecknad med , är en delmängd av mängden , som kan definieras med följande notation [2] : $A\subseteq X$ $f$ $fa]$ $Y$

{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\))

Om det inte finns någon risk för förväxling skrivs det enkelt som . Denna konvention är allmänt accepterad. Den avsedda innebörden måste bestämmas utifrån sammanhanget. Detta gör f [.] till en funktion vars domän är graden av X (mängden av alla delmängder av X ), och vars kodomän är graden av Y. Se avsnitt § Notation . $fa]$ $fa)$

Funktionsbild

Bilden av en funktion är bilden av hela definitionsdomänen , även känd som funktionens domän [3] .

Generalisering till binära relationer

Om är en godtycklig binär relation på XY , då kallas mängden bilden av relationen . Mängden kallas relationens domän . $R$ $\ gånger$ $\{y\in Y\|xRy,x\in X\}$ $R$ $\{x\in X|xRy,y\in Y\}$ $R$

Omvänd bild

Låt vara en funktion från till . Förbilden eller den omvända bilden av en uppsättning för en funktion , betecknad med , är en delmängd som definieras som: $f$ $X$ $Y$ $B\subseteq Y$ $f$ $f^{-1}[B]$ $X$

f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.

Andra beteckningar är också möjliga, såsom: [4] och . [5] $f^{-1}(B)$ $f^{-}(B)$

Den reciproka av en singelton , betecknad med eller , kallas också ett lager för eller elementnivåuppsättning . Uppsättningen av alla lager för element är en familj av delmängder indexerade av element . $f^{-1}[\{y\}]$ $f^{-1}[y]$ $y$ $y$ $Y$ $Y$

Till exempel, för en funktion blir motsatsen . Återigen, om det inte finns någon risk för förväxling, kan det betecknas som , och kan betraktas som en funktion från mängden av alla delmängder (booleska) av mängden till booleska mängden . Notationen ska inte förväxlas med inversen av , även om den överensstämmer med den vanliga inversen för bijektioner genom att tillbakadraget för är bilden för . $f(x) = x^2$ ${\displaystyle \{4\))$ ${\displaystyle \{-2,2\))$ $f^{-1}[B]$ $f^{-1}(B)$ $f^{-1}$ $Y$ $X$ $f^{-1}$ $B$ $f$ $B$ $f^{-1}$

Notation för bild och omvänd bild

Den traditionella notationen som används i föregående avsnitt kan vara svår att förstå. Ett alternativ [6] är att ange explicita namn för bilden och förbilden av funktioner mellan booleaner:

Pilnotation

$f^{\to }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ för ${\displaystyle f^{\to }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\))$
$f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ för ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\))$

Asterisknotation

$f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ istället för ${\displaystyle f^{\to ))$
$f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ istället för ${\displaystyle f^{\leftarrow ))$

Annan terminologi

Alternativ notation som används i matematisk logik och mängdlära är [7] [8] . $fa]$ $f^{\prime \prime }A$
Vissa böcker hänvisar till en bild som en värdedomän , men detta bör undvikas eftersom termen "värdedomän" också används ofta för att referera till en funktions koddomän . $f$ $f$ $f$

Exempel

$f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ definierad som $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{ if }}x=1\\a,&{\mbox{ if }}x=2\\c, &{\mbox{ if }}x=3.\end{matrix}}\right.$ Bilden av uppsättningen {2, 3} för funktionen är . Funktionsbilden är . _ Prototypen är . Prototypen av uppsättningen är också . Prototypen för en uppsättning är den tomma uppsättningen . $f$ $f(\{2,3\})=\{a,c\}$ $f$ ${\displaystyle \{a,c\))$ $a$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\))$ $\{a,b\}$ $\{1,2\}$ ${\displaystyle \{b,d\))$ $\{\}$
$f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ definieras som . $f(x) = x^2$ Bilden för funktionen är , och bilden av funktionen är . Prototypen för är . Den omvända bilden av mängden för är den tomma mängden, eftersom negativa tal inte har kvadratrötter i mängden reella tal. ${\displaystyle \{-2,3\))$ $f$ $f(\{-2,3\})=\{4,9\}$ $f$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+))$ $\{4,9\}$ $f$ ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\))$ ${\displaystyle N=\{n\in \mathbf {R} \|n<0\))$ $f$
$f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R}$ definieras som . $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ Lager är koncentriska cirklar runt origo , den enda punkten i origo, eller den tomma uppsättningen , vilket som är,ellerrespektive. $f^{-1}(\{a\})$ $a>0$ $a=0$ $a<0$
Om är ett grenrör och är en kanonisk projektion från tangentknippet till , då är kartans fibrer tangentrymden för . Detta är också ett exempel på ett fiberutrymme . $M$ $\pi :TM\to M$ $TM$ $M$ $\pi$ $T_{x}(M)$ $x \i M$
En faktorgrupp är en homomorf bild.

Egenskaper

Motexempel

Motexempel baserade på att visa att denna jämlikhet vanligtvis misslyckas för vissa lagar: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2))$

Allmänt fall

För alla funktioner och alla delmängder av och gäller följande egenskaper: $f\kolon X\till Y$ $A\subseteq X$ $B\subseteq Y$

Bild	prototyp
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (lika om , dvs surjektiv) [9] [10] $B\subseteq f(X)$ $f$	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (lika om injektiv) [9] [10] $f$
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ [9]
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$ [elva]	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$ [elva]
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$ [elva]	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$ [elva]

Också:

$f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

För flera funktioner

För funktioner och med delmängder och gäller följande egenskaper: $f\kolon X\till Y$ $g\colon Y\to Z$ $A\subseteq X$ $C\subseteq Z$

$(g\circ f)(A)=g(f(A))$
$(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Flera delmängder av en domän eller koddomän

Följande egenskaper gäller för funktionen och delmängder och : $f\kolon X\till Y$ $A_{1},A_{2}\subseteq X$ $B_{1},B_{2}\subseteq Y$

Bild	prototyp
$A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$	$B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$ [11] [12]	$f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ [11] [12] (lika om injektiv [13] ) $f$	$f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ [11] (lika om [13] är injektiv) $f$	$f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$ [elva]
$f(A_{1}\triangel A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangel f(A_{2})$ (lika om injektiv) $f$	$f^{-1}(B_{1}\triangel B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangel f^{-1}(B_{2})$

Resultaten för bilder och förbilder av den ( booleska ) skärningspunkten och unionsalgebra fungerar för alla samlingar av delmängder, inte bara par av delmängder:

$f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})$
$f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$

(Här kan det finnas en oändlig mängd, till och med oräknelig .) $S$

När det gäller delmängden algebra som beskrivs ovan är den inversa mappningsfunktionen en gitterhomomorfism , medan mappningsfunktionen endast är en semigitterhomomorfism (dvs. den bevarar inte alltid skärningspunkter).

Se även

Bijektion, injektion och operation
Bild (kategoriteori)
Kärna (mängdlära)

Anteckningar

↑ Kompendium av matematiska symboler ? . Math Vault (1 mars 2020). Hämtad 28 augusti 2020. Arkiverad från originalet 6 december 2020. (obestämd)
↑ 5.4: Till funktioner och bilder/förbilder av uppsättningar . Matematik LibreTexts (5 november 2019). Hämtad 28 augusti 2020. Arkiverad från originalet 27 oktober 2020.
↑ Weisstein, Eric W. Bild . mathworld.wolfram.com . Hämtad 28 augusti 2020. Arkiverad från originalet 19 mars 2020.
↑ Omfattande lista över algebrasymboler ? . Math Vault (25 mars 2020). Hämtad 28 augusti 2020. Arkiverad från originalet 1 april 2020. (obestämd)
↑ Dolecki, Mynard, 2016 , sid. 4-5.
↑ Blyth, 2005 , sid. 5.
↑ Rubin, 1967 .
↑ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU Arkiverad 7 februari 2018 på Wayback Machine , 29 december 2005, på: Semantic Scholar, sid. 2
↑ 1 2 3 Halmos, 1960 , sid. 39.
↑ 12 Munkres , 2000 , sid. 19.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Lee, 2011 , sid. 388.
↑ 12 Kelley , 1985 , sid. [ [1] i " Google Books " 85]
↑ 12 Munkres , 2000 , sid. 21.

Litteratur

John M. Lee Introduktion till topologiska grenrör. — 2:a. - New York, Dordrecht, Heidelberg, London: Springer, 2011. - V. 202. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-7939-1 .
Jean E. Rubin. Mängdlära för matematikern . - Holden-dagen, 1967. - S. xix.
Michael Artin . Algebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 81-203-0871-9 .
TS Blyth. Gitter och ordnade algebraiska strukturer. - Springer, 2005. - ISBN 1-85233-905-5 .
Szymon Dolecki, Frederic Mynard. Konvergensgrunderna för topologi. - New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2016. - ISBN 978-981-4571-53-4 .
Paul R. Halmos . Naiv mängdteori . - van Nostrand Company, 1960. - (Universitetsserien i matematik på grundnivå).
John L. Kelly. allmän topologi. - 2. - Birkhäuser, 1985. - Vol. 27. - ( Graduate Texts in Mathematics ). - ISBN 978-0-387-90125-1 .
James R. Munkres. topologi. - Andra upplagan - Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., 2000. - ISBN 978-0-13-181629-9 .