Newton-Leibniz teorem

Newton-Leibniz formel , eller den grundläggande analyssatsen , ger sambandet mellan två operationer: att ta Riemann-integralen och beräkna antiderivatan .

Formulering

Den klassiska formuleringen av Newton-Leibniz-formeln är som följer.

Om en funktion är kontinuerlig på ett segment och är någon av dess antiderivator på detta segment, då är likheten $\textstil f(x)$ $\vänster[a,b\höger]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

Bevis

Låt en integrerbar funktion ges på segmentet . $\vänster[a,b\höger]$ $\textstil f$

Låt oss ställa in ett godtyckligt värde och definiera en ny funktion . Det definieras för alla värden av , eftersom vi vet att om det finns en integral av on , så finns det också en integral av on , där . Kom ihåg att vi anser per definition $\textstil x\in \left[a,b\right]$ $\textstil F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $\textstil x\in \left[a,b\right]$ $\textstil f$ $\vänster[a,b\höger]$ $\textstil f$ $\vänster[a,x\höger]$ $a\leqslant x\leqslant b$

$F(a)=\int \limits _{a}^{a}f(t)\,dt=0$ (ett)

Lägg märke till att

$F(b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$

Låt oss visa att det är kontinuerligt på segmentet . Sannerligen, låt ; sedan $\textstil F$ $\vänster[a,b\höger]$ $x,x+h\in\vänster[a,b\höger]$

$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{{(x+h)}}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x} f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{{(x+h)}}f(t)\,dt$

och om , då $K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b$

$|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{{(x+h)))f(t)\,dt{\bigg |} \leqslant K|h|\till 0,h\till 0$

Således är kontinuerlig på oavsett om den har diskontinuiteter eller inte; det är viktigt att det är integrerbart på . $\textstil F$ $\vänster[a,b\höger]$ $\textstil f$ $\textstil f$ $\vänster[a,b\höger]$

Figuren visar en graf . Arean av den variabla siffran är . Dess ökning är lika med arean av figuren , som, på grund av begränsningen av , uppenbarligen tenderar till noll oavsett om det är en punkt med kontinuitet eller diskontinuitet , till exempel en punkt .

\textstil f

\textstil aABx

\textstil F(x)

\textstil F(x+h)-F(x)

\textstil xBC(x+h)

\textstil f

h\till 0

\textstil x

\textstil f

\textstil xd

Låt nu funktionen inte bara vara integrerad på , utan vara kontinuerlig vid punkten . Låt oss bevisa att då har en derivata vid denna punkt lika med $\textstil f$ $\vänster[a,x\höger]$ $x\in\vänster[a,x\höger]$ $\textstil F$

$\textstil F'(x)=f(x)$ (2)

Ja, för den givna punkten $\textstil x$

${\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(t )\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}(f(x)+\eta (t))\,dt$ $={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{ x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt=f(x)+o$ (1) , (3) $h\till 0$

Vi sätter , och eftersom konstanten är relativ till , då . Vidare, på grund av kontinuiteten vid punkten , för vem som helst kan specificera så att för . $\textstil f(t)=f(x)+\eta (t)$ $\textstil f(x)$ $\textstil t$ $\textstil \int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt=f(x)h$ $\textstil f$ $\textstil x$ $\textstil \varepsilon >0$ $\textstil \delta$ $\textstil |\eta (t)|<\varepsilon$ $\textstil |xt|<\delta$

Det är därför

$\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{| h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon ,|h|<\delta$

vilket bevisar att den vänstra sidan av denna ojämlikhet är o(1) för . $\textstil h\till 0$

Att passera till gränsen i (3) vid visar förekomsten av derivatan av vid punkten och giltigheten av likhet (2). Här pratar vi om höger- respektive vänsterderivatan. $\textstil h\till 0$ $\textstil F$ $\textstil x$ $\textstil x=a,b$

Om en funktion är kontinuerlig på , då, baserat på vad som bevisats ovan, motsvarande funktion $\textstil f$ $\vänster[a,b\höger]$

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ (fyra)

har en derivata lika med . Därför är funktionen antiderivativ för på . $\textstil f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b$ $\textstil F(x)$ $\textstil f$ $\vänster[a,b\höger]$

Denna slutsats kallas ibland den variabla övre gränsintegralsatsen, eller Barrows sats .

Vi har bevisat att en godtycklig kontinuerlig funktion på ett intervall har en antiderivata på detta intervall, definierad av likhet (4). Detta bevisar att det finns ett antiderivat för vilken funktion som helst som är kontinuerlig på ett intervall. $\vänster[a,b\höger]$ $\textstil f$

Låt nu vara en godtycklig antiderivata av en funktion på . Det vet vi , där är någon konstant. Förutsatt att i denna jämlikhet och med hänsyn till det får vi . $\textstil \Phi$ $\textstil f(x)$ $\vänster[a,b\höger]$ $\textstil \Phi (x)=F(x)+C$ $\textstil C$ $\textstil x=a$ $\textstil F(a)=0$ $\textstil \Phi (a)=C$

Alltså ,. Men $\textstil F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)$

Det är därför

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matris }x=b\\\\x=a\end{matris}}$

Men i själva verket är kravet på integrandens kontinuitet överflödigt. För att uppfylla denna formel räcker det med att endast de vänstra och högra delarna finns.

Om en funktion är integrerbar och har en antiderivata på segmentet , — någon av dess antiderivator på detta segment, då är likheten $\textstil f(x)$ $\vänster[a,b\höger]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

Kontinuitet är ett praktiskt villkor i praktiken, eftersom det omedelbart garanterar både integrerbarhet och existensen av ett antiderivat. I avsaknad av det, för korrekt tillämpning, är det nödvändigt att kontrollera båda dessa egenskaper, vilket ibland är svårt. Det finns integrerbara funktioner som inte har en antiderivata (vilken funktion som helst med ett ändligt antal diskontinuitetspunkter eller en Riemann-funktion ), och icke-integrerbara som har en antiderivata (derivata kompletterad med noll vid noll, på alla segment som innehåller 0, eller Volterra-funktionen ). ${\displaystyle x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2))))$

Formeln kan generaliseras till fallet med funktioner med ett ändligt antal diskontinuiteter. För att göra detta måste vi generalisera begreppet antiderivat. Låt funktionen definieras på ett segment utom kanske för ett ändligt antal punkter. En funktion kallas generaliserad antiderivata om den: $f$ $[a;b]$ $F$ $f$

Kontinuerlig på ett segment $[a;b]$
På alla punkter , med eventuellt undantag för ett ändligt antal av dem, är differentierbar $[a;b]$
På alla punkter där det är differentierbart, utom kanske för ett ändligt antal av dem, är dess derivata . $f$

Denna definition kräver inte att derivatan är lika på alla punkter där den är differentierbar. Med detta koncept kan man generalisera Newton-Leibniz formel ännu starkare. $F$ $f$ $F$

Låt det definieras överallt förutom kanske för ett ändligt antal punkter. Om en funktion är integrerbar och har en generaliserad antiderivata på segmentet , — någon av dess generaliserade antiderivata på detta segment, då är likheten $f$ $[a;b]$ $\textstil f(x)$ $\vänster[a,b\höger]$ $F(x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)={\Bigg .}F(x){\Bigg |}_{a }^{b}

Bevis

Eftersom funktionen är integrerbar kan man överväga vilken sekvens av partitioner som helst med markerade punkter vars diameter tenderar till noll. Gränsen för integralsummor över dem kommer att vara lika med integralen. $f$

Betrakta en sekvens av partitioner av ett segment så att diametern på partitionen tenderar till noll som . Låt oss också inkludera i var och en av dessa partitioner punkterna i segmentet där det inte är differentierbart eller dess derivata inte är lika med . Med dessa ytterligare delningspunkter, beteckna . $[a;b]$ $\{T_{n}\}$ $n\to +\infty$ $[a;b]$ $F$ $f$ $T_{n}'$

Låt oss nu sätta markerade punkter på dem. Vi fixar en specifik partition . Sedan, genom antagande, är funktionen kontinuerlig på vart och ett av segmenten och differentierbar på intervallen . Villkoren för Lagranges teorem är uppfyllda och därför finns det en sådan punkt att . Vi tar dessa punkter som markerade delade punkter . Då blir integralsumman över en sådan partition lika med . $T_{n}=\{a=x_{0},\ldots ,x_{n}=b\}$ $F$ $[x_{i-1};x_{i}]$ $(x_{i-1};x_{i})$ $\xi _{i}\in (x_{i-1};x_{i})$ $f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{i-1})$ $\Xi _{n}=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ $T_{n}'$ $:\sigma (f,T_{n}',\Xi _{n})=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{ 2})(x_{2}-x_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=-F(x_{0})+ F(x_{1})-F(x_{1})+F(x_{2})-\ldots -F(x_{n-1})+F(x_{n})=F(x_{n) })-F(x_{0})=F(b)-F(a)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dt=\lim _{n\to +\infty }\sigma (f,T_{n}',Xi_{n}) =F(b)-F(a)

Ovanstående bevis är intressant eftersom det inte använde någon av integralens egenskaper, förutom dess direkta definition. Det ger dock inget bevis på Newton-Leibniz-formeln i den klassiska formuleringen: för detta är det nödvändigt att ytterligare bevisa att varje kontinuerlig funktion är integrerbar och har ett antiderivat.

Anmärkning . Att tanklöst tillämpa en formel på funktioner som inte är kontinuerliga kan leda till ett fel. Ett exempel på en felaktig beräkning:

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2,

även om integralen av en positiv funktion inte kan vara negativ.

Orsak till felet: funktionen är inte antiderivativ (även generaliserad) för en funktion på ett segment , helt enkelt för att den inte är definierad till noll. Funktionen har inget antiderivat alls på detta segment. Dessutom är denna funktion inte heller begränsad i närheten av noll, och är därför inte Riemann-integrerbar. $-{\frac {1}{x}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2))))$ $[-1;1]$

Historik

Redan före tillkomsten av matematisk analys var denna teorem (i en geometrisk eller mekanisk formulering) känd för Gregory och Barrow . Till exempel beskrev Barrow detta faktum 1670 som ett förhållande mellan kvadrera och tangentuppgifter .

Newton formulerade satsen verbalt enligt följande: "För att erhålla det korrekta värdet av området som gränsar till någon del av abskissan , bör detta område alltid tas lika med skillnaden i värdena för z [antiderivata] som motsvarar delarna av abskissan avgränsad av början och slutet av området."

Leibniz har inte heller ett register över denna formel i dess moderna form, eftersom notationen av en bestämd integral dök upp mycket senare, i Fourier i början av 1800-talet.

Den moderna formuleringen gavs av Lacroix i början av 1800-talet.

Betydelse

Analysens fundamentala teorem etablerar ett samband mellan differential- och integralkalkyl . Begreppet en antiderivata (och därmed begreppet en obestämd integral) definieras genom begreppet en derivata och tillhör alltså differentialkalkylen. Å andra sidan formaliseras begreppet en bestämd Riemann-integral som en gräns till vilken den så kallade integralsumman konvergerar. Den är oberoende av begreppet derivata och tillhör en annan gren av analysen - integralkalkyl. Newton-Leibniz formel tillåter oss att uttrycka en bestämd integral i termer av antiderivatan.

Lebesgue integral

Funktionen är en obestämd integral av den summerbara funktionen . Funktionen är absolut kontinuerlig . $F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ $f(x)$ $F(x)$

Sats ( Lebesgue ): är absolut kontinuerlig på ett intervall om och endast om det finns en integrerbar på en funktion så att för något värde av x från a till b . $f(x)$ $[a,b]$ $[a,b]$ $g$ $f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt$

Det följer av detta teorem att om en funktion är absolut kontinuerlig på , så finns dess derivata nästan överallt , är integrerbar och uppfyller likheten [1] : $f$ $[a,b]$

f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt

, var .

x\i[a,b]

Vissa konsekvenser

Som en följd av denna sats kan man namnge formeln för förändringen av variabler, liksom Lebesgues expansionssats för monotona funktioner [1] .

Integrering efter delar

Låt och vara absolut kontinuerliga funktioner på segmentet . Sedan: $f$ $g$ $[a,b]$

\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{ a}^{b}f(x)g'(x)dx

Formeln följer omedelbart av analysens huvudsats och Leibnizregeln [1] .

Variationer och generaliseringar

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Verklig och funktionell analys: universitetskurs. - M.-Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", Institutet för datorforskning, 2009. - P. 188-197. — 724 sid. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Litteratur

Demidovich B. P. Avdelning 3. Newton-Leibniz formel // Samling av problem och övningar i matematisk analys. - 1990. - (Kurs i högre matematik och matematisk fysik).
Kamynin L. I. Matematisk analys. T. 1, 2. - 2001.
Nikiforovsky V. A. Vägen till integralen. — M .: Nauka, 1985.