Hertzisk princip

Hertz- principen , även känd som principen om minsta krökning eller principen om den mest direkta vägen - en av mekanikens variationsprinciper, som säger att i frånvaro av några aktiva krafter ( potentiell energi ), av alla kinematiskt möjliga (dvs. tillåtna av obligationer) banor, bara den kommer att vara giltig , som har minst krökning [1] . Det användes av Hertz för att bygga mekanik, där verkan av aktiva krafter ersattes av införandet av lämpliga begränsningar. Föreslog först 1894.

Hertz princip ses ofta som ett specialfall av den Gaussiska principen om minsta tvång , ett specialfall av Maupertuis princip som Jacobi behandlar den och en generalisering av tröghetslagen. Sambandet med den Gaussiska principen beror på kraftens proportionalitet mot krökningens kvadrat. Med idealiska samband har den hertziska principen och den gaussiska principen samma matematiska uttryck.

Gauss-Hertz-kurvan på banan x (t) = x α (t) i det Riemannska rymden R n × l 2 , δ ij + δ αβ är minimala lagrangekvadrater (summan av serier av funktioner, enhetlig konvergens) [2] .

Matematiskt uttryck

I Hertz princip uttrycks Z-funktionen matematiskt enligt följande:

Z=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}

Kinetisk energi bevaras under dessa förhållanden: $T$

T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\summa _{j=1}^{n}\left|{\dot {\ mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}

Eftersom linjeelementet i -dimensionellt koordinatsystem definieras av formeln $ds^{2}$ $3N$

ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\ höger|^{2}

då kan lagen om energins bevarande också ha formen

\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T

När du dividerar med visas ett annat minimum: $Z$ $2T$

K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _ {j}}{ds^{2}}}\right|^{2}

Eftersom den lokala krökningen av banan är i det dimensionella koordinatsystemet, är minimering ekvivalent med att hitta en bana med minimal krökning ( geodetisk ). ${\sqrt {K}}$ $3n$ $K$

Litteratur

Principen om minsta krökning // Morshin - Nikish. - M . : Soviet Encyclopedia, 1974. - ( Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / chefredaktör A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 17).
Hertzisk princip // Stora ryska encyklopedin : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
Hertz, H. (1896). mekanikens principer. Diverse papper. III. Macmillan.
Georgi Georgiev, Iskren Georgiev. Den minsta åtgärden och måtten för ett organiserat system // Öppna system och informationsdynamik. - 2002. - Nej . 9(4) . - s. 371-380 .
Constantin Udriste, Massimiliano Ferrara, Ionel Tevy, Oltin Dogaru, Armando Ciancio. Den minsta krökningsprincipen för Gauss och Hertz och geometrisk dynamik // 9:e WSEAS Int. Konf. om MATEMATIK OCH DATOR I AFFÄRS- OCH EKONOMI (MCBE '08). - Bukarest, Rumänien, 2008. - 25 juni. - S. 34-38 .