Peanos axiom

Peano-axiomen är ett av axiomsystemen för naturliga tal , som introducerades 1889 av den italienske matematikern Giuseppe Peano .

Peanos axiom gjorde det möjligt att formalisera aritmetik , att bevisa många egenskaper hos naturliga tal och heltal , och även att använda heltal för att konstruera formella teorier om rationella och reella tal . I en förkortad form har Peanos axiom använts i ett antal metamatematiska utvecklingar, inklusive lösningen av grundläggande frågor om talteorins konsekvens och fullständighet .

Peano postulerade ursprungligen nio axiom. Den första hävdar förekomsten av minst ett element i uppsättningen siffror. De nästa fyra är allmänna uttalanden om jämlikhet , som återspeglar den interna logiken i axiomatiken och utesluts från den moderna sammansättningen av axiom som uppenbara. De följande tre är axiom i första ordningens logiks språk om att uttrycka naturliga tal i termer av konsekvensfunktionens fundamentala egenskap . Det nionde och sista axiomet i andra ordningens logiks språk handlar om principen om matematisk induktion över en serie naturliga tal. Peano-aritmetik är ett system som erhålls genom att ersätta induktionens axiom med ett system av axiom på språket av första ordningens logik och lägga till symboler för operationerna addition och multiplikation.

Formuleringar

Verbal

1 är ett naturligt tal;
Siffran efter det naturliga är också ett naturligt;
1 följer inte något naturligt tal;
Om ett naturligt tal direkt följer både talet och talet , då är och identiska; $a$ $b$ $c$ $b$ $c$
(Axiom för induktion .) Om något antagande bevisas för 1 (induktionsbas) och om antagandet att det är sant för ett naturligt tal följer att det är sant för nästa naturliga tal (induktivt antagande), så är detta antagande sant för alla naturliga tal. $n$ $n$

Matematisk

Den matematiska formuleringen använder följfunktionen , som matchar ett tal med talet som följer efter det. $S(x)$ $x$

$1\in\mathbb{N}$ ;
$x\in {\mathbb {N}}\Rightarrow S(x)\in {\mathbb {N}}$ ;
${\displaystyle \nexists x\i \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big )))$ ;
${\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Rightarrow b=c$ ;
${\displaystyle P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\big )))$ .

En annan form av skrivande är också möjlig:

$1\in\mathbb{N}$ ;
$S\colon {\mathbb {N}}\to {\mathbb {N}}\setminus \{1\}$ ;
$\exists S^{{-1}}$ ;
$1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \ delmängd M$ .

Det sista påståendet kan formuleras på följande sätt: om ett visst påstående är sant för (induktionsbas) och för någon av giltigheten följer giltigheten av och (induktivt antagande), så är det sant för alla naturliga . $P$ $n=1$ $n$ $P(n)$ $P(S(n))$ $P(n)$ $n$

Formalisering av aritmetik

Formaliseringen av aritmetik inkluderar Peanos axiom och introducerar även operationerna för addition och multiplikation med hjälp av följande axiom:

$x+1=S(x)$ ;
$x_{1}+S(x_{2})=S(x_{1}+x_{2})$ ;
$x\cdot 1=x$ ;
${\displaystyle x_{1}\cdot S(x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1))$ .

Om ofullständighet

Som antyds av Gödels ofullständighetsteorem finns det påståenden om de naturliga talen som varken kan bevisas eller motbevisas från Peanos axiom. Vissa av dessa påståenden har en ganska enkel formulering, som Goodstein -satsen eller Paris-Harrington-satsen .

Kategorisk

Det grundläggande faktumet är att dessa axiom i huvudsak unikt bestämmer de naturliga talen (den kategoriska karaktären hos systemet av Peanos axiom). Man kan nämligen bevisa (se [1] , samt ett kort bevis [2] ) att om och är två modeller för systemet av Peanos axiom, så är de nödvändigtvis isomorfa , det vill säga det finns en inverterbar mappning ( bijektion ) sådant och för alla . $(\mathbb N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilde {1}}$ $f(S(x))={\tilde {S))(f(x))$ $x\in\mathbb N$

Därför räcker det att fixa som en specifik modell av uppsättningen naturliga tal. $\mathbb {N}$

Till exempel följer det av induktionens axiom att det är möjligt att gå över till vilket naturligt tal som helst från i ett ändligt antal steg (med funktionen ). Som bevis kommer vi att välja som ett predikat själva påståendet "man kan gå till ett tal från i ett ändligt antal steg med funktionen ". Rätt . Detta är också sant , eftersom det kan erhållas från en enda tillämpning av operationen till ett nummer, som, genom antagande , kan erhållas från efter ett ändligt antal ansökningar . Enligt induktionens axiom . $ett$ $S$ $P(n)$ $n$ $ett$ $S$ $P(1)$ ${\displaystyle {\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )))$ $S(n)$ $n$ $S$ $P(n)$ $ett$ $S$ $\forall n(P(n))$

Historik

Behovet av att formalisera aritmetiken togs inte på allvar förrän Hermann Grassmanns verk , som visade på 1860-talet att många fakta inom aritmetiken kunde fastställas från mer elementära fakta om implikationsfunktionen och matematisk induktion. 1881 publicerade Charles Sanders Peirce sin axiomatisering av naturlig talaritmetik. Den formella definitionen av naturliga tal formulerades 1889 av den italienske matematikern Peano , baserad på Grassmanns tidigare konstruktioner, i hans bok The Foundations of Arithmetic, Stated in a New Way ( lat. Arithmetices principia, nova methodo exposita ). År 1888 (ett år före Peano) publicerade Dedekind [3] ett nästan exakt liknande axiomatiskt system . Konsistensen av Peano-arithmetik bevisades 1936 Gentzen transfinit till ordinalen. Som följer av Gödels andra ofullständighetsteorem , kan detta bevis inte utföras med hjälp av Peano-arithmetiken själv. $\epsilon_{0}.$

Anteckningar

↑ Feferman S. Numeriska system. Grunderna för algebra och analys. - 1971. - 445 sid.
↑ Bevis på det unika med naturliga tal . Datum för åtkomst: 4 februari 2011. Arkiverad från originalet den 22 augusti 2011. (obestämd)
↑ N. Bourbaki . Grunderna för matematik. Logik. Mängdlära // Uppsatser om matematikens historia / I. G. Bashmakova (översatt från franska). - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1963. - S. 37. - 292 sid. — (Matematikens element).

Litteratur

Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita . Bocca, Torino, 1889.
Peano, G. Formulaire de mathematiques. Tome II - nr 2. Bocca, Torino, 1897.
Arnold IV Teoretisk aritmetik . M.: Uchpedgiz, 1938.