Gram-Schmidt-processen

Gram - Schmidt - processen omvandlar en sekvens av linjärt oberoende vektorer till ett ortonormalt system av vektorer , och på ett sådant sätt att varje vektor är en linjär kombination av . ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{n))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n))$ $\mathbf{e}_j$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{j}$

Den klassiska Gram-Schmidt-processen

Algoritm

Låt det finnas linjärt oberoende vektorer och låt vara projektionsoperatorn för en vektor på en vektor definierad som ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{n))$ $\mathbf {proj} _{\mathbf {b} }\,\mathbf {a}$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$

{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}}}\,{\mathbf {a}}={\langle {\mathbf {a}},{\mathbf {b}}\rangle \ över \langle {\mathbf {b)),{\mathbf {b}}\rangle }{\mathbf {b)),

var är den skalära produkten av vektorer och . $\langle {\mathbf {a}},{\mathbf {b}}\rangle$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$

Den klassiska Gram-Schmidt-processen utförs enligt följande:

{\begin{array}{lclr}\mathbf {b} _{1}&=&\mathbf {a} _{1}&(1)\\\mathbf {b} _{2}&= &\mathbf {a} _{2}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{2}&(2)\\\mathbf {b} _{3}&=&\mathbf {a} _{3}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{3}-\mathbf {proj } _{\mathbf {b} _{2}}\,\mathbf {a} _{3}&(3)\\&\dots &&\\\mathbf {b} _{n}&=&\mathbf {a} _{n}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{n}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _ {2}}\,\mathbf {a} _{n}-\dots -\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{n-1}}\,\mathbf {a} _{n}& (n)\end{array}}

Baserat på varje vektor kan en normaliserad vektor av enhetslängd erhållas , definierad som $\mathbf {b} _{j}\;(j=1\ldots n)$ $\mathbf{e}_j$

{\mathbf {e}}_{j}={{\mathbf {b}}_{j} \over \|{\mathbf {b}}_{j}\|}

Resultat av Gram-Schmidt-processen:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{n))$ är ett system av ortogonala vektorer eller

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n))$ är ett system av ortonormala vektorer.

Beräkningen kallas för Gram-Schmidt-ortogonaliseringen och Gram-Schmidt-ortonormaliseringen. ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{n))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n))$

Geometrisk tolkning

Tänk på formel (2), det andra steget i algoritmen. Dess geometriska representation visas i fig. ett:

få projektionen av vektorn på ; ${\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$
beräkning av , det vill säga vinkelrät som projiceras på . Denna vinkelrät är vektorn beräknad i formel (2) ; ${\mathbf {a}}_{2}-{\mathbf {proj}}_{({\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
flytta vektorn som erhölls i steg 2 till origo. Denna rörelse görs i figuren endast för tydlighetens skull; ${\mathbf {b}}_{2}$

Figuren visar att vektorn är ortogonal mot vektorn , eftersom den är vinkelrät längs vilken den projiceras på . ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$

Tänk på formel (3), det tredje steget i algoritmen, i följande version:

{\begin{array}{lcr}{\mathbf {b}}_{3}={\mathbf {a}}_{3}-({\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b} }_{1))}{\mathbf {a}}_{3}+{\mathbf {proj}}_{({\mathbf {b}}_{2}}}{\mathbf {a}}_ {3})&&(6)\\\end{array}}

Dess geometriska representation visas i fig. 2:

få projektionen av vektorn på ; ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$
få projektionen av vektorn på ; ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
beräkning av summan , det vill säga projektionen av vektorn på planet som bildas av vektorerna och . Detta plan är skuggat i grått i figuren; ${\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{3}+{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b }}_{2}}}{\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
beräkning , det vill säga den vinkelräta, som projiceras på planet som bildas av vektorerna och . Denna vinkelrät är vektorn beräknad i formel (6) ; ${\mathbf {a}}_{3}-({\mathbf {proj}}_{({\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{3}+{\ mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{2}}}{\mathbf {a}}_{3})$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{3}$
flytta emot till ursprunget. Denna rörelse görs i figuren endast för tydlighetens skull. Det är inte en matematisk operation och återspeglas därför inte i formel (6). ${\mathbf {b}}_{3}$

Figuren visar att vektorn är ortogonal mot vektorerna och , eftersom det är en vinkelrät längs vilken den projiceras på det plan som bildas av vektorerna och . ${\mathbf {b}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{3}$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$

Således, i Gram-Schmidt-processen , utförs projektion ortogonalt på hyperplanet som spänns av vektorer . Vektorn beräknas sedan som skillnaden mellan och dess projektion. Det vill säga , det är vinkelrät från till hyperplanet som spänns av vektorerna . Därför är den ortogonal mot vektorerna som bildar detta hyperplan. ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{{j-1}}$ ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{{j-1}}$ ${\mathbf {b}}_{j}$

Särskilda tillfällen

Gram-Schmidt-processen kan också tillämpas på en oändlig sekvens av linjärt oberoende vektorer.

Dessutom kan Gram-Schmidt-processen tillämpas på linjärt beroende vektorer. I det här fallet producerar den en (nollvektor) i steg om det är en linjär kombination av vektorer . För att bevara ortogonaliteten hos utdatavektorerna och för att förhindra division med noll under ortogonalisering, måste algoritmen förkasta nollvektorer. Antalet vektorer som produceras av algoritmen kommer att vara lika med dimensionen av delutrymmet som genereras av vektorerna (det vill säga antalet linjärt oberoende vektorer som kan särskiljas från de ursprungliga vektorerna). $\mathbf {0}$ $j$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{{j-1}}$

Egenskaper

Övergångsmatrisen från till är en övre triangulär matris . ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{j}$

Produkten av längderna är lika med volymen av parallellepipeden byggd på systemets vektorer som på kanterna. ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{j}$

Gram–Schmidt-processen för kolumnvektorerna i matrisen från bestämmer homotopiekvivalensen . $GL(n)$ $GL(n)\to O(n)$

Ytterligare tolkningar

Gram–Schmidt-processen kan tolkas som nedbrytningen av en icke degenererad kvadratisk matris till produkten av en ortogonal (eller enhetlig i fallet med ett hermitiskt utrymme ) och en övre triangulär matris med positiva diagonala element, QR-sönderdelningen , som är en specialfall av Iwasawa-nedbrytningen .

Litteratur

Beklemishev DV Kurs i analytisk geometri och linjär algebra. — M .: Nauka .

Länkar

https://www.youtube.com/watch?v=GhhpG1tCQLU Animation av processen på planet