Pseudokonvex funktion

En pseudokonvex funktion är en funktion som beter sig som en konvex funktion när det gäller att hitta sitt lokala minimum , men som inte nödvändigtvis är konvex. Informellt är en differentierbar funktion pseudokonvex om den ökar i någon riktning där den har en positiv riktningsderivata .

Formell definition

En verkligt värderad funktion ƒ definierad på en (icke-tom) konvex öppen mängd X i ett finitdimensionellt euklidiskt rum kallas pseudokonvex om för alla x , y ∈ X så att , vi har [1] . Här är gradienten ƒ definierad av formeln $\mathbb {R} ^{n}$ $\nabla f(x)\cdot (yx)\geqslant 0$ $f(y)\geqslant f(x)$ $\nabla f$

\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1))},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right ).

Egenskaper

Varje konvex funktion är pseudokonvex, men det omvända är inte sant. Till exempel är en funktion pseudokonvex, men inte konvex. Alla pseudokonvexa funktioner är kvasi -konvexa , men det omvända är inte sant eftersom funktionen är kvasi -konvex, men inte pseudokonvex. Pseudokonvexitet är främst av intresse eftersom en punkt x * är ett lokalt minimum av en pseudokonvex funktion ƒ om och endast om det är en stationär punkt för funktionen ƒ , vilket inträffar när gradienten för funktionen ƒ försvinner på x * : ${\displaystyle f(x)=x+x^{3))$ $f(x)=x^{3}$

\nabla f(x^{*})=0.

[1] .

Generaliseringar till icke-differentierbara funktioner

Begreppet pseudokonvexitet kan generaliseras till icke-differentiera funktioner enligt följande [2] . Givet en funktion kan vi definiera dess övre Dini-derivata som $f:X\to \mathbb {R}$

f^{+}(x,u)=\limsup _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}}

där u är vilken enhetsvektor som helst . En funktion sägs vara pseudokonvex om den ökar i någon riktning där den övre Dini-derivatan är positiv. Mer exakt kan det beskrivas i termer av en subdifferential enligt följande: $\partial f$

För alla , om det finns , något sådant för alla z på segmentet som förbinder x och y . $x,y\i X$ $x^{*}\in \partial f(x)$ $\langle x^{*},yx\rangle \geqslant 0\,,$ $f(x)\leqslant f(z)$

Relaterade begrepp

En pseudokonkav funktion är en funktion vars negativa är pseudokonvex. En pseudolineär funktion är en funktion som är både pseudokonvex och pseudokonkav [3] . Till exempel har linjär-fraktionella programmeringsproblem pseudo -linjära objektiva funktioner och linjära ojämlikhetsbegränsningar . Dessa egenskaper gör att problem med fraktionerad programmering kan lösas med en variant av simplexmetoden ( George B. Dantzig ) [4] [5] [6] .

Se även

Pseudokonvexitet

Anteckningar

↑ 12 Mangasarian , 1965 .
↑ Floudas, Pardalos, 2001 .
↑ Rapcsak, 1991 .
↑ Craven, 1988 , sid. 145.
↑ Kruk, Wolkowicz, 1999 , sid. 795–805.
↑ Mathis, Mathis, 1995 , sid. 230–234.

Litteratur

Craven BD Fractional programmering. - Berlin: Heldermann Verlag, 1988. - V. 4. - S. 145. - (Sigma Series in Applied Mathematics). — ISBN 3-88538-404-3 .
Serge Kruk, Henry Wolkowicz. Pseudolinjär programmering // SIAM Review . - 1999. - T. 41 . — S. 795–805 . - doi : 10.1137/S0036144598335259 . — .
Frank H. Mathis, Lenora Jane Mathis. En linjär programmeringsalgoritm för sjukhusledning // SIAM Review . - 1995. - T. 37 , nr 2 . — S. 230–234 . - doi : 10.1137/1037046 . — .
Christodoulos A. Floudas, Panos M. Pardalos. Generaliserade monotona flervärdiga kartor // Encyclopedia of Optimization. - Springer, 2001. - S. 227. - ISBN 978-0-7923-6932-5 .
Rapcsak T. On pseudolinear functions // European Journal of Operational Research. - 1991. - T. 50 , nr. 3 . — S. 353–360 . — ISSN 0377-2217 . - doi : 10.1016/0377-2217(91)90267-Y .
Mangasarian OL Pseudo-Convex Functions // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series A Control. - 1965. - Januari ( vol. 3 , nummer 2 ). — S. 281–290 . — ISSN 0363-0129 . - doi : 10.1137/0303020 .