Lp (mellanslag)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 18 maj 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

$L^{p}$ (beteckningen finns också ; den läses "el-pe"; även - Lebesgue spaces ) - dessa är utrymmen med mätbara funktioner så att deras th grad är integrerbar , där . $L_{p}$ $sid$ $p\geqslant 1$

$L^{p}$ är den viktigaste klassen av Banach-utrymmen . (uttalas "el-two") är ett klassiskt exempel på ett Hilbert-utrymme . $L^{2}$

Byggnad

Utrymmen används för att konstruera rum . Utrymmet för ett utrymme med mått och är uppsättningen av mätbara funktioner som definieras på detta utrymme, så att: $L^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$ $1\leqslant p<\infty$

\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty

Som följer av de elementära egenskaperna hos Lebesgue-integralen och Minkowskis ojämlikhet är utrymmet linjärt . ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

På ett linjärt utrymme introduceras en seminorm : ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

\|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p }}

Icke-negativiteten och homogeniteten följer direkt av Lebesgue-integralens egenskaper, och Minkowski- ojämlikheten är triangelolikheten för denna seminorm [1]

Därefter introducerar vi ekvivalensrelationen : , om nästan överallt . Denna relation delar upp rummet i icke-korsande ekvivalensklasser, och seminormerna för två valfria representanter för samma klass sammanfaller. På det konstruerade kvotutrymmet (det vill säga familjen av ekvivalensklasser) kan man införa en norm lika med seminormen för vilken som helst representant för denna klass. Per definition bevaras alla axiom för en seminorm, och dessutom, i kraft av ovanstående konstruktion, gäller även positiv definititet. ${\mathcal {L}}^{p}$ $f\sim g$ $f(x)=g(x)$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}/\sim$

Ett kvotutrymme med en norm byggd på det, och kallas ett mellanslag eller helt enkelt . $\left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)$ $L^{p}(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $L^{p}$

Oftast är denna konstruktion menad, men inte uttryckligen nämnt, och elementen är inte ekvivalensklasserna av funktioner, utan funktionerna själva, definierade "upp till mått noll". $L^{p}$

När bildar inte ett normerat utrymme, eftersom triangelolikheten inte håller [2] bildar de dock metriska utrymmen . Det finns inga icke-triviala linjära kontinuerliga operatorer i dessa utrymmen . $0<p<1$ $L^{p}$

Fullständighet

Normen på tillsammans med den linjära strukturen genererar måtten: $L^{p}$

d(f,\;g)=\|fg\|_{p}

och därför är det möjligt att definiera konvergens på utrymmen: en sekvens av funktioner kallas konvergerande till en funktion om: $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $f\in L^{p}$

\|f_{n}-f\|_{p}\till 0

kl .

n\till\infty

Per definition är ett utrymme komplett när någon grundläggande sekvens i konvergerar till ett element i samma utrymme. Således är ett Banach-utrymme . $L^{p}$ $L^{p}$ $L^{p}$

Mellanslag L²_

I fallet genereras normen av den inre produkten . Sålunda, tillsammans med begreppet "längd", är begreppet "vinkel" också meningsfullt här, och därför relaterade begrepp, såsom ortogonalitet , projektion . $p=2$

Den skalära produkten om rymden introduceras enligt följande: $L^{2}$

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mu (dx)

om de övervägda funktionerna är komplext värderade, eller:

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\,\mu (dx)

om de är verkliga. Då uppenbarligen:

\|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle ))

det vill säga normen genereras av den skalära produkten. Med tanke på fullständigheten av någon , följer det att det är Hilbert . $L^{p}$ $L^{2}$

Mellanslag L ∞

Utrymmet är konstruerat från utrymmet av mätbara funktioner, avgränsat nästan överallt, genom att identifiera funktioner som skiljer sig åt endast på en uppsättning av mått noll, och, per definition: $L^{\infty }$ ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$

\|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|

, där är det väsentliga högsta värdet av funktionen.

\mathrm {ess} \sup

$L^{\infty }$ är ett Banach-utrymme .

Det mått som genereras av normen kallas enhetligt . Konvergensen som genereras av ett sådant mått kallas också: $\|\cdot \|_{\infty }$

f_{n}\till f

i , om kl .

L^{\infty }

\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0

n\till\infty

Egenskaper

Konvergensen av funktioner nästan överallt innebär inte konvergens i rymden . Låt för och för , . Sen nästan överallt. Men . Det omvända är inte heller sant. $L^{p}$ $f_{n}(x)=n^{1/p}$ $x\in(0,1/n]$ $f_{n}(x)=0$ $x\in(1/n,1]$ $f_{n}\in L^{p}$ $f_{n}\till 0$ $\|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1$
Om för , så finns det en undersekvens som nästan överallt. $\|f_{n}-f\|_{p}\till 0$ $n\till\infty$ $f_{n_{k}}$ $f_{n_{k}}\till f$
$L^{p}$ funktioner på den verkliga linjen kan approximeras med jämna funktioner. Låt vara en delmängd av oändligt jämna funktioner. Sedan är överallt tätt i . $L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ $L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ $L_{C^{\infty }}^{p}$ $L^{p}$
$L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ är separerbar för . $p<\infty$
Om är ett ändligt mått, till exempel sannolikheten för , och , då . I synnerhet , det vill säga, en slumpvariabel med ett ändligt andra moment har ett ändligt första moment. $\mu$ $1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$ $L^{q}\subset L^{p}$ $L^{2}\subset L^{1}$

Dubbla mellanslag

För utrymmen dubbla till (mellanrum med linjära funktionaler på ) äger följande egenskap plats: if , då är isomorft till ( ), där . Alla linjära funktionella på har formen: $\left(L^{p}\right)^{\star }$ $L^{p}$ $L^{p}$ $1<p<\infty$ $\left(L^{p}\right)^{\star }$ $L^{q}$ $\left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $L^{p}$

g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),

var . ${\tilde {g}}(x)\in L^{q}$

På grund av ekvationens symmetri är själva utrymmet dubbelt (upp till isomorfism) till , och därför: $1/p+1/q=1$ $L^{p}$ $L^{q}$

\left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.

Detta resultat gäller också för fallet , dvs. Men, och i synnerhet, . $p=1$ $\left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }$ $\left(L^{\infty}\right)^{\star }\inte \cong L^{1}$ $\left(L^{1}\right)^{\star \star }\inte \cong L^{1}$

Mellanslag ℓ p

Låt , där vara ett räknat mått på , d.v.s. Sedan om , då är utrymmet en familj av sekvenser av formen , så att: $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$ $m$ $\mathbb {N}$ $m(\{n\})=1,\;\forall n\in \mathbb {N}$ $p<\infty$ $\ell ^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty

Följaktligen ges normen på detta utrymme av

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p }}

Det resulterande normerade utrymmet betecknas med . $\ell ^{p}$

Om , då anses utrymmet för avgränsade sekvenser med normen: $p=\infty$

\|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\i \mathbb {N} }|x_{n}|

Det resulterande utrymmet kallas , det är ett exempel på ett icke- separerbart utrymme. $\ell ^{\infty }$

Som i det allmänna fallet, genom att sätta , får vi ett Hilbert-utrymme vars norm genereras av den skalära produkten: $p=2$ $\ell ^{2}$

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n))}

om sekvenserna är komplext värderade, och:

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n)),

om de är verkliga.

Utrymmet konjugerar till , där är isomorft till , . För . Dock . $\ell ^{p}$ $1<p<\infty$ $\ell ^{q}$ $1/p+1/q=1$ $p=1:\left(\ell ^{1}\right)^{\star }=\ell ^{\infty }$ $\left(\ell ^{\infty }\right)^{\star }\not \cong \ell ^{1}$

Anteckningar

↑ Den seminorm som introduceras på detta sätt är inte en norm , för om nästan överallt , då , vilket motsäger kraven för normen. För att omvandla ett utrymme med en seminorm till ett utrymme med en norm är det nödvändigt att "identifiera" funktioner som skiljer sig från varandra endast på en uppsättning mått noll. $f(x)=0$ $\|f\|_{p}=0$
↑ Mer exakt gäller den omvända triangelolikheten - när : $0<p<1$ $\forall f,g\in L_{p}(\Omega )\colon \,\left(\int \limits _{\Omega }|f(x)+g(x)|^{p}dx\right) ^{\frac {1}{p}}\geqslant \left(\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}} +\left(\int \limits _{\Omega }|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p))$

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. - ed. fjärde, reviderad. — M .: Nauka , 1976 . — 544 sid.
Trenogin V. A. Funktionsanalys. — M .: Nauka , 1980 . — 495 sid.