Cirkelbunt

En cirkelbunt är en bunt där cirklar är fibrer . ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {S} ^{1))$

Orienterade cirkelbuntar är också kända som huvudsakliga U (1)-buntar . Inom fysiken är cirkelbuntar naturliga geometriska inställningar för elektromagnetism . En cirkelbunt är ett specialfall av sfärbuntar .

Som ett 3-grenrör

Den perifera bunten av ytor är ett viktigt exempel på 3-grenrör . En mer allmän klass av 3-grenrör är Seifert-buntarna , som kan ses som en sorts "degenererade" cirkelbuntar, eller som en cirkelbunt av tvådimensionella orbifolder .

Relation till elektrodynamik

Maxwells ekvationer motsvarar det elektromagnetiska fältet som representeras av 2-formen F med homologiskt ekvivalent med noll. I synnerhet existerar det alltid en kovariant vektor A , en elektromagnetisk potential , (motsvarande en affin koppling ), så att $\pi ^{\!*}F$

\pi ^{\!*}F=dA.

Om en bunt på en cirkel P av ett grenrör M ges och dess projektion

\pi :P\to M

vi har en homomorfism

\pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )

var är motsatsen till . Varje homomorfism motsvarar en Dirac-monopol . Hela kohomologigrupper motsvarar kvantiseringen av elektrisk laddning . Aharonov-Bohm-effekten kan förstås som holonomi av begränsningen på det tillhörande linjeknippet, som beskriver elektronens vågfunktion. I huvudsak är Aharonov-Bohm-effekten inte en kvantmekanisk effekt (i motsats till den populära uppfattningen), eftersom ingen kvantisering är inblandad och inte krävs i konstruktionen av bunten. $\pi ^{\!*}$

Exempel

Hopf-bunten är ett exempel på en icke-trivial bunt på cirklar.
Det sfäriska normalknippet av en yta är ett annat exempel på en bunt på en cirkel.
Den sfäriska normala bunten av en icke-orienterbar yta är en bunt på en cirkel som inte är en huvudbunt . Endast orienterbara ytor har huvudsakliga sfäriska tangentknippen. $U(1)$
En annan metod för att konstruera en cirkelbunt är att använda en komplex linjebunt och ta den tillhörande sfärbunten (i detta fall cirkelbunten). Eftersom denna bunt har en inducerad orientering från , ser vi att det är en huvudbunt [1] . Dessutom överensstämmer de karakteristiska klasserna från Chen-Weyls teori om buntar med de karakteristiska klasserna . $L\to X$ $L$ $U(1)$ $U(1)$ $L$
Tänk till exempel på analysen av den komplexa plankurvan $X$

{\text{Proj))\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n))} \höger)

Eftersom de karakteristiska klasserna också mappar tillbaka icke-trivialt, får vi att linjebunten som är associerad med kärven har Chern-klassen . $H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})$ ${\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\ibland {\mathcal {O}}_ {X}$ $c_{1}=a\in H^{2}(X)$

Klassificering

Isomorfismklasserna av huvudsakliga buntar avgrenröret M är i en-till-en-överensstämmelse med homotopiklasserna mappningar, därkallas klassificeringsutrymmet för U(1) . Observera att detär ett oändligt dimensionellt komplext projektivt utrymme , och att det är ett exempel på ett Eilenberg-MacLane-utrymme . Sådana buntar klassificeras efter element i den andra integrerade kohomologigruppen av M , eftersom $U(1)$ $M\to BU(1)$ $BU(1)$ $BU(1)=CP^{\infty }$ $K(\mathbb {Z} ,2)$ $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$

[M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)

Denna isomorfism implementeras av Euler-klassen . På motsvarande sätt är det den första Chern-klassen av en jämn komplex linjebunt (mestadels eftersom en cirkel är homotopi ekvivalent med , ett komplext plan med origo borttaget. Och sedan är en komplex linjebunt med noll sektion borttagen homotopi ekvivalent med en bunt på cirklar) $\mathbb {C} ^{*}$

En cirkelbunt är en huvudbunt om och endast om den associerade kartan är homotopisk till noll, vilket är sant om och endast om bunten är fiberorienterad. För det mer generella fallet, när cirkelbunten av grenröret M inte kan orienteras, är isomorfismklasserna i en-till-en-överensstämmelse med homotopi - mappningsklasserna . Detta följer av utvidgningen av grupper , där . $U(1)$ $M\to B\mathbb {Z} _{2}$ $M\to BO_{2}$ $SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}$ $SO_{2}\equiv U(1)$

Deligne-komplex

Ovanstående klassificering gäller endast cirkelbuntar i det allmänna fallet. Motsvarande klassificering för släta cirkelbuntar, eller, säg, cirkelbuntar med affin koppling , kräver en mer sofistikerad kohomologiteori. Så, släta cirkelbuntar klassificeras av den andra Deligne-kohomologin , cirkelbuntar med affin anslutning klassificeras av , medan klassificerar linjebuntar till skivor . $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )$ $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))$ $H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )$

Se även

Spektral sekvens

Anteckningar

↑ Är varje orienterbar cirkelbunt huvudman? . Hämtad 14 augusti 2018. Arkiverad från originalet 25 augusti 2017. (obestämd)

Litteratur

Shiing-shen Chern. Cirkelbuntar // Föreläsningsanteckningar i matematik. - Springer Berlin / Heidelberg, 1977. - T. 597/1977. — s. 114–131. - ISBN 978-3-540-08345-0 . .