Schwarzschild-metrisk

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 mars 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Schwarzschild-metriken är den enda sfäriskt symmetriska exakta lösningen av Einsteins ekvationer utan en kosmologisk konstant i det tomma utrymmet på grund av Birkhoff -satsen. I synnerhet beskriver detta mått noggrant gravitationsfältet för ett ensamt icke-roterande och oladdat svart hål och gravitationsfältet utanför en ensam sfäriskt symmetrisk massiv kropp. Uppkallad efter Karl Schwarzschild , som först upptäckte den 1916 .

Denna lösning är statisk, så sfäriska gravitationsvågor är omöjliga.

Typ av mått

Schwarzschild-koordinater

I de så kallade Schwarzschild-koordinaterna , av vilka de sista 3 liknar sfäriska , är den metriska tensorn för den mest fysiskt viktiga delen av Schwarzschilds rum-tid med topologi (produkten av en region av tvådimensionell euklidisk rymd och en tvådimensionell sfär) har formen $(t,\;r,\;\theta ,\;\varphi )$ $R^{2}\ gånger S^{2}$

g={\begin{bmatrix}\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s }}{r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.

Intervallet i detta mått skrivs som

ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2} }{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2} \theta d\varphi ^{2}\right),

var är den så kallade Schwarzschild-radien , eller gravitationsradien , är massan som skapar gravitationsfältet (i synnerhet massan av ett svart hål), är gravitationskonstanten , är ljusets hastighet . I det här fallet, området för förändring av koordinater med identifiering av punkter och , som i vanliga sfäriska koordinater . $r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ $M$ $G$ $c$ $-\infty <t<\infty ,\ r_{s}<r<\infty ,\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi$ $(t,r,\theta ,\varphi =0)$ $(t,r,\theta ,\varphi =2\pi )$

Koordinaten är inte längden på radievektorn, utan skrivs in så att sfärens area i det givna måttet är lika med . I detta fall ges "avståndet" mellan två händelser med olika (men identiska andra koordinater) av integralen $r$ $t=\mathrm {const} ,\;r=r_{0}$ $4\pi r_{0}^{2}$ $r$

\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}}}}>r_ {2}-r_{1},\qquad r_{2},\;r_{1}>r_{s}.

Vid eller , tenderar Schwarzschild-metriken (komponentmässigt) till Minkowski-metriken i sfäriska koordinater, så att långt ifrån en massiv kropp visar sig rum-tiden vara ungefär pseudo-euklidisk av signatur . Eftersom at och monotont ökar med ökande , då "flyter korrekt tid vid punkter nära kroppen långsammare" än långt ifrån den, det vill säga gravitationstidens retardation inträffar av massiva kroppar. $M\till 0$ $r\to\infty$ $M$ $(1.3)$ $g_{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}\leqslant 1$ $r>r_{s}$ $g_{00}$ $r$

Differentiella egenskaper

För ett centralt symmetriskt gravitationsfält i ett vakuum (och detta är fallet med Schwarzschild-metriken), kan vi sätta:

g_{00}=e^{\nu },\quad g_{11}=-e^{\lambda };\quad \lambda +\nu =0,\quad e^{-\lambda }= e^{\nu }=1-{\frac {r_{s}}{r}}.

Då har icke-noll oberoende Christoffel-symboler formen

\Gamma _{11}^{1}={\frac {\lambda _{r}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{10}^{0}={\frac {\ nu _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta ,

\Gamma _{11}^{0}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}}e^{\lambda -\nu },\quad \Gamma _{22}^ {1}=-re^{-\lambda },\quad \Gamma _{00}^{1}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}}e^{\ nu-\lambda },

\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{r)),\quad \Gamma _{23}^{3}=\operatörsnamn {ctg } \,\theta ,\quad \Gamma _{00}^{0}={\frac {\nu _{t}^{\prime }}{2}},

\Gamma _{10}^{1}={\frac {\lambda _{t}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^ {2}\theta \,e^{-\lambda }.

Invarianterna för krökningstensorn är

I_{1}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{2},\quad I_{2}=\left({\frac {r_{s }}{2r^{3}}}\höger)^{3}.

Krökningstensorn är av Petrov -typ . $\mathbf {D}$

Massdefekt

Om det finns en sfäriskt symmetrisk fördelning av "radie"-materia (i termer av koordinater) , så kan kroppens totala massa uttryckas i termer av dess energi-momentum-tensor med formeln $a$

m={\frac {4\pi }{c^{2}}}\int \limits _{0}^{a}T_{0}^{0}r^{2}\,dr.

I synnerhet för en statisk fördelning av materia , var är energitätheten i rymden. Med tanke på att volymen av det sfäriska lagret i de koordinater vi har valt är lika med $T_{0}^{0}=\varepsilon$ $\varepsilon$

dV=4\pi r^{2}{\sqrt {g_{11}}}\,dr>4\pi r^{2}\,dr,

det får vi

m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{ \frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.

Denna skillnad uttrycker gravitationsdefekten hos kroppsmassan . Man kan säga att en del av systemets totala energi finns i gravitationsfältets energi, även om det är omöjligt att lokalisera denna energi i rymden.

Singularitet i metrisk

Vid första anblicken innehåller måttet två funktioner: vid och vid . Faktum är att i Schwarzschild-koordinater kommer en partikel som faller på en kropp att behöva oändligt lång tid för att nå ytan , men övergången, till exempel till Lemaitre-koordinater i den kommande referensramen , visar att ur händelsens synvinkel observatör, det finns inget rum-tidsdrag på denna yta, och både själva ytan och regionen kommer att nås inom en ändlig riktig tid . $r=0$ $r=r_{s}$ $t$ $r=r_{s}$ $r\ungefär 0$

Den verkliga singulariteten hos Schwarzschild-metriken observeras endast vid , där de skalära invarianterna av krökningstensorn tenderar till oändligheten . Denna funktion ( singularitet ) kan inte elimineras genom att ändra koordinatsystemet. $r\till 0$

Händelsehorisont

Ytan kallas för händelsehorisonten . Med ett bättre val av koordinater, till exempel i Lemaitre eller Kruskal-koordinater, kan det visas att inga signaler kan lämna det svarta hålet genom händelsehorisonten. I denna mening är det inte förvånande att fältet utanför Schwarzschilds svarta hål bara beror på en parameter - kroppens totala massa. $r=r_{s}$

Kruskals koordinater

Man kan försöka införa koordinater som inte ger en singularitet vid . Det finns många sådana koordinatsystem kända, och det vanligaste av dem är Kruskal-koordinatsystemet, som med en karta täcker hela det maximalt utsträckta grenröret som uppfyller Einsteins vakuumekvationer (utan den kosmologiska konstanten). Denna större rymdtid brukar kallas det (maximalt utsträckta) Schwarzschild-utrymmet eller (mer sällan) Kruskal-rummet ( Kruskal–Szekeres diagram ). Metriken i Kruskal-koordinater har formen $r=r_{s}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$

ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\ theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)

där , och funktionen definieras (implicit) av ekvationen . $F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}$ $r(u,v)$ $(1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv$

Utrymmet är maximalt , det vill säga det kan inte längre vara isometriskt inbäddat i en större rum-tid, och området i Schwarzschild-koordinater ( ) är bara en del (detta är arean - area I i figuren). En kropp som rör sig långsammare än ljus - världslinjen för en sådan kropp kommer att vara en kurva med en lutningsvinkel mot vertikalen mindre än , se kurvan i figuren - kan lämna . I det här fallet faller det i region II, där . Som framgår av figuren kommer den inte längre att kunna lämna detta område och återvända till det (för detta måste man avvika mer än en från vertikalen, det vill säga överskrida ljusets hastighet). Region II är alltså ett svart hål. Dess gräns (polyline, ) är följaktligen händelsehorisonten. ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $r>r_{s}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $v>0,\ r>r_{s}$ $45^{\cirkel }$ $\gamma$ ${\mathcal {M}}$ ${\displaystyle r<r_{s))$ $r>r_{s}$ $45^{\cirkel }$ $v\geqslant 0,\ r=r_{s}$

Det finns ytterligare en asymptotiskt platt domän III där man också kan introducera Schwarzschild-koordinater. Denna region är dock inte kausalt relaterad till region I, vilket gör det omöjligt att erhålla någon information om det, förblir utanför händelsehorisonten. I fallet med en verklig kollaps av ett astronomiskt objekt uppstår helt enkelt inte regionerna IV och III, eftersom den vänstra sidan av det presenterade diagrammet måste ersättas av en icke-tom rymdtid fylld med kollapsande materia. ${\tilde {\mathcal {M}}}$

Vi noterar flera anmärkningsvärda egenskaper hos det maximalt utökade Schwarzschild-utrymmet : ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

Det är singular: koordinaten för en observatör som faller under horisonten minskar och tenderar till noll när hans rätta tid tenderar till något ändligt värde . Dess världslinje kan dock inte utsträckas till området , eftersom det inte finns några punkter med i detta utrymme. Sålunda är betraktarens öde känt för oss endast fram till en viss tidpunkt i hans (egen) tid. $r$ $\tau$ $\tau_{0}$ $\tau \geqslant \tau_{0}$ $r=0$
Även om rymden är statisk (det är tydligt att måttet (1) inte är beroende av tid), är det inte rymden. Detta formuleras mer strikt enligt följande: Killing-vektorn , som är tidslik i , blir rymdlik i regionerna II och IV i det utökade utrymmet. ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$
Region III är också isometrisk . Således innehåller det maximalt utvidgade Schwarzschild-utrymmet två "universum" - "vårt" (detta ) och ytterligare ett av detsamma. Region II inuti det svarta hålet som förbinder dem kallas Einstein-Rosen-bron . En observatör som börjar från I och rör sig långsammare än ljuset kommer inte att kunna ta sig in i det andra universum (se fig. 1), men i tidsintervallet mellan att korsa horisonten och träffa singulariteten kommer han att kunna se den. Denna struktur av rum-tid, som består och till och med blir mer komplex när man betraktar mer komplexa svarta hål, har gett upphov till många spekulationer om möjliga "andra" universum och färdas genom svarta hål i dem i både vetenskaplig litteratur och science fiction (se Molecules hålor ). ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Orbital rörelse

Historik om förvärv och tolkning

Schwarzschild-metriken, som fungerar som ett objekt av betydande teoretiskt intresse, är också ett slags verktyg för teoretiker, till synes enkelt, men leder ändå omedelbart till svåra frågor.

I mitten av 1915 publicerade Einstein de preliminära ekvationerna för gravitationsteorin . Dessa var ännu inte Einsteins ekvationer, men de sammanföll redan med de sista i vakuumfallet . Schwarzschild integrerade de sfäriskt symmetriska ekvationerna för vakuum under perioden från 18 november 1915 till slutet av året. Den 9 januari 1916 skrev Einstein, som Schwarzschild kontaktade angående publiceringen av hans artikel i Berliner Berichte, till honom att han "läste sitt arbete med stor passion" och "förvånades över att den verkliga lösningen på detta problem kan uttryckas så lätt" - Einstein tvivlade initialt på om det ens var möjligt att få en lösning på sådana komplexa ekvationer. $R_{{ij}}=T_{{ij}}$ $T_{{ij}}=0$

Schwarzschild avslutade sitt arbete i mars och fick också en sfäriskt symmetrisk statisk intern lösning för en vätska med konstant densitet. Vid denna tidpunkt föll en sjukdom ( pemphigus ) över honom, som förde honom till graven i maj. Sedan maj 1916 har I. Droste, en student till G. A. Lorentz, som bedriver forskning inom ramen för de slutliga Einsteins fältekvationer, fått en lösning på samma problem med en enklare metod än Schwarzschild. Han äger också det första försöket att analysera skillnaden i lösningen eftersom den tenderar mot Schwarzschild-sfären.

Efter Droste började de flesta forskare vara nöjda med olika överväganden som syftade till att bevisa Schwarzschild-sfärens ogenomtränglighet. Samtidigt stöddes överväganden av teoretisk natur av ett fysiskt argument, enligt vilket "detta existerar inte i naturen", eftersom det inte finns några kroppar, atomer, stjärnor vars radie skulle vara mindre än Schwarzschild-radien .

För K. Lanczos, liksom för D. Gilbert, blev Schwarzschild-sfären ett tillfälle att fundera över begreppet ”singularitet”, för P. Painlevé och den franska skolan var det föremål för kontroverser, där Einstein anslöt sig.

Under pariskollokviet 1922, organiserat i samband med Einsteins besök, var inte bara tanken att Schwarzschild-radien inte skulle vara singular, utan också en hypotes som förutsåg vad som nu kallas gravitationskollaps .

Den skickliga utvecklingen av Schwarzschild var bara en relativ framgång. Varken hans metod eller hans tolkning antogs. Från hans arbete har nästan ingenting bevarats, förutom det "blotta" resultatet av metriken, som namnet på dess skapare var förknippat med. Men tolkningsfrågorna och framför allt frågan om "Schwarzschilds singularitet" var ännu inte lösta. Synpunkten började utkristallisera sig att denna singularitet inte spelar någon roll. Två vägar ledde till denna synpunkt: å ena sidan den teoretiska, enligt vilken "Schwarzschild singulariteten" är ogenomtränglig, och å andra sidan den empiriska, som består i det faktum att "detta inte existerar i natur." Denna synvinkel spreds och blev dominerande i all dåtidens specialiserade litteratur.

Nästa steg är kopplat till det intensiva studiet av gravitationen i början av relativitetsteorins "guldålder".

Litteratur

K. Schwarzschild Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
Rus. övers.: Schwarzschild K. Om gravitationsfältet för en punktmassa i Einsteins teori // Albert Einstein och gravitationsteorin. M.: Mir, 1979. S. 199-207.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Droste J. Het van een enkel centrum i Einsteins teori der zwaartekracht och de rörelser av en stofflig punkt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amsterdam. - 1916. - D.25. - Biz.163-180.
Einstein A. Till minne av Karl Schwarzschild // Einstein A. Samling av vetenskapliga artiklar. M.: Nauka, 1967. T. 4. S. 33-34.
SM Blinder . Hundraårsjubileet för allmän relativitet (1915-2015); Schwarzschild -lösningen och svarta hål . - 2015. - arXiv : 1512.02061 .

Se även

Länkar

De viktigaste slutsatserna av relativitetsteorin

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines

Svarta hål

Typer

Mått

Utbildning

Egenskaper

händelsehorisont
Termodynamik för svarta hål
Gravitationsradie
fotonsfär
Ergosfär
Penrose process
Blanfordprocessen - Znaeka
Bondi-tillväxt
spaghettifiering
Gravity lins
M-sigma-förhållande
Kvasiperiodiska svängningar
Hawking-strålning
Försvinnande av information i ett svart hål

Modeller

teorier

Exakta lösningar i allmän relativitetsteori

Schwarzschild
Kerra
Reisner-Nordström
Kerr-Newman
Exakt svart hål lösning

Relaterade ämnen

Lista över svarta hål
- Lista över kvasarer
Krönika av svarta håls fysik
RXTE
Hyperkompakt stjärnsystem
singularitetsreaktor
Numerisk relativitet
Gravitationsvågor

Kategori:Svarta hål