Kvanttillstånd

Ett kvanttillstånd är vilket som helst möjligt tillstånd som ett kvantsystem kan vara i . Ett rent kvanttillstånd kan beskrivas:

Inom vågmekanik är vågfunktionen ,
I matrismekanik är det en tillståndsvektor , eller en komplett uppsättning kvanttal för ett visst system.

Dessa beskrivningar är matematiskt likvärdiga. I det allmänna fallet kan ett kvanttillstånd ( blandat ) i princip inte beskrivas av en vågfunktion och måste beskrivas med en densitetsmatris , som är en icke-negativ självadjoint operator med ett enhetsspår . Kvanttillstånd kan tolkas som statistiska ensembler med några fasta kvanttal.

Tillståndsvektorer

För att beskriva de möjliga tillstånden i ett givet kvantsystem används Hilbert-rummets matematiska apparat , vilket gör det möjligt att nästan fullständigt beskriva allt som kan hända med systemet. ${\mathcal {H}}$

För att beskriva kvanttillståndet i detta fall introduceras den så kallade tillståndsvektorn ( tillståndsamplitud ), som är en uppsättning matematiska storheter som fullständigt beskriver kvantsystemet. Till exempel, en uppsättning av 4 tal { , , , } bestämmer tillståndet för en elektron i en väteatom, och kallas kvanttal för en elektron. $n\$ $\aln\$ $m_{\ell }\$ $Fröken}$

En sådan konstruktion är möjlig på grund av superpositionsprincipen för kvantsystem. Det visar sig i det faktum att om det finns två möjliga tillstånd i ett kvantsystem, och i det första tillståndet, kan något observerbart värde ta värdena p 1 , p 2 , ..., och i det andra - q 1 , q 2 , …, så finns det också ett tillstånd som kallas deras superposition , där detta värde kan anta vilket som helst av värdena p 1 , p 2 , …, q 1 , q 2 ,…. En kvantitativ beskrivning av detta fenomen ges nedan .

Bra-ket beteckningar

Vi kommer att beteckna tillståndsvektorn som motsvarar tillståndet som . Den konjugerade vektorn som motsvarar tillståndet kommer att betecknas som . Den skalära produkten av vektorer och kommer att betecknas som , och bilden av vektorn under inverkan av operatören kommer att betecknas med . Symbolen kallas bra (eng. bra ), och symbolen , like - ket (eng. ket ). Sådan notation överensstämmer i allmänhet med notationen för vanlig linjär algebra , men är bekvämare inom kvantmekaniken, eftersom den tillåter oss att tydligare och kortare namnge de vektorer som används. Sådan notation introducerades först av Dirac . Vektorernas namn bildas genom att dela upp ordet parentes (parentes) i två klangfulla delar - bra och ket. $\psi$ $\left|\psi \right\rangle$ $\psi$ $\left\langle \psi \right|$ $\left|\psi \right\rangle$ $\left|\phi \right\rangle$ $\left\langle \phi |\psi \right\rangle$ $\left|\psi \right\rangle$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}\left|\psi \right\rangle$ $\left\langle \psi \right|$ $\psi$ $\left|\psi \right\rangle$

Matematisk formalism

Varje vektor som inte är noll från rymden motsvarar något rent tillstånd. Vektorer som skiljer sig endast genom multiplikation med ett komplext tal som inte är noll motsvarar dock samma fysiska tillstånd. Man tror ibland att tillståndsvektorn måste "normaliseras till ett": - vilken vektor som helst som inte är noll förvärvar denna egenskap om den delas med sin norm . ${\mathcal {H}}$ $|\psi\rangle$ $\langle \psi |\psi \rangle =1$ ${\sqrt {\langle \psi |\psi \rangle ))$

Om vi betraktar två olika tillstånd, kommer superpositioner (alla möjliga linjära kombinationer ) av ett par vektorer som motsvarar dem att ge ett tvådimensionellt linjärt komplext utrymme. Motsvarande uppsättning fysiska tillstånd kommer att representera en tvådimensionell yta - Riemann-sfären .

När man betraktar ett kvantsystem som består av två delsystem, är tillståndsrummet konstruerat som en tensorprodukt . Sådana system har, förutom kombinationer av tillstånd i deras delsystem, även länkade (trasslade) tillstånd.

"Antal stater"

Om systemet har minst två fysiskt olika tillstånd, så är styrkan för mängden möjliga tillståndsvektorer (även upp till multiplikation med ett komplext tal) naturligtvis oändlig. Men antalet tillstånd i ett kvantsystem betyder antalet linjärt oberoende tillstånd, det vill säga rummets dimension . Detta är ganska intuitivt, eftersom det beskriver antalet möjliga utfall av mätningen ; Dessutom, i fallet med en tensorprodukt (det vill säga konstruktionen av ett sammansatt system), multipliceras dimensionerna av utrymmena. ${\mathcal {H}}$

I samband med att betrakta ett slutet kvantsystem (det vill säga att lösa Schrödinger-ekvationen ), kan tillstånd endast förstås som stationära tillstånd - Hamiltonianens egenvektorer som motsvarar olika energinivåer . I fallet med ett ändligt dimensionellt utrymme och i frånvaro av degeneration kommer antalet energinivåer (och deras motsvarande tillstånd) att vara lika med utrymmets dimension. ${\mathcal {H}}$

Rent tillstånd

Ett rent tillstånd är ett fullt specificerat kvanttillstånd. Om ett givet kvantobjekt (till exempel någon elementarpartikel) är i ett rent tillstånd betyder det att vi har all information om det. Endast rena tillstånd kan fullständigt beskrivas av vågfunktioner .

Se även

Litteratur

Berezin F. A. , Shubin M. A. Schrödinger-ekvation. M.: Moscow State Universitys förlag, 1983. 392 sid.
Boum A. Kvantmekanik: grunder och tillämpningar. M.: Mir, 1990. - 720 sid. Kapitel IV.
Dirac P. Kvantmekanikens principer. 2:a uppl. M.: Nauka, 1979. - 480 sid. Arkiverad 11 november 2007 på Wayback Machine
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). — Upplaga 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym III). - ISBN 5-02-014421-5 .
Isham, Chris J. Föreläsningar om kvantteori: matematiska och strukturella grunder . — Imperial College Press , 1995.
Bratteli, Ola. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1 / Ola Bratteli, Robinson, Derek W. - Springer, 1987. - ISBN 2:a upplagan.
Bengtsson I. Geometry of Quantum States / Bengtsson I, Życzkowski K. - Cambridge : Cambridge University Press, 2006.

I bibliografiska kataloger	GND : 4176600-3