Manly-Row relationer

Manley-Row- relationerna är energirelationer som kännetecknar interaktionen av svängningar eller vågor i olinjära system med klumpar eller distribuerade parametrar. De erhölls först 1956 av J. Manley och G. E. Rowe för oscillationer i ett icke-linjärt reaktivt system med klumpade parametrar, och generaliserades därefter till vågor i icke-linjära medier.

Manley-Row-relationerna är giltiga för ett system med en godtycklig reaktiv icke-linjär anslutning. Tillsammans med lagarna för bevarande av energi och momentum bestämmer Manley-Row-relationerna arten av den olinjära interaktionen av vågor (oscillationer) och låter dig beräkna den maximala effektiviteten för frekvensomformaren på den reaktiva olinjäriteten.

Allmän vy

I allmänna termer kan Manley-Row-relationerna skrivas på följande sätt:

\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {m\cdot P_{mn)){m\cdot \omega _ {1}+n\cdot \omega _{2}}}=0,\ \ \ m\in \mathbb {Z}

\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cdot P_{mn)){m\cdot \omega _ {1}+n\cdot \omega _{2}}}=0,\ \ \ n\i \mathbb {Z}

var

$P_{mn}$ är förändringen i effekt vid kombinationsfrekvensen , $m\cdot \omega _{\text{H}}+n\cdot \omega _{\text{C}}$
${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2))$ är frekvenserna för initiala svängningar (vågor). Dessutom måste förhållandet vara irrationellt, eftersom det annars är möjligt att uttrycka alla frekvenser som övertoner av en grundfrekvens. ${\displaystyle {\frac {\omega _{2)){\omega _{1))))$

Bevis [1]

Låt kvantum av kombinationsfrekvensen dyka upp eller försvinna per tidsenhet. Då uttrycks effekten vid kombinationsfrekvensen som: $A_{mn}$

P_{mn}=A_{mn}\cdot \hbar \cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}),

(*)

Eftersom energi inte visas eller försvinner i systemet är den totala effekten noll:

\sum _{m,n}P_{mn}=\sum _{m,n}\hbar A_{mn}\cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{ 2})=0

Eftersom irrationella och är heltal, gäller denna likhet endast om båda termerna är lika med noll: ${\displaystyle {\frac {\omega _{2)){\omega _{1))))$ ${\displaystyle m,n,A_{mn))$

\sum _{m,n}m\cdot A_{mn}=\sum _{m,n}n\cdot A_{mn}=0

Genom att uttrycka från (*) och ersätta det sista uttrycket får vi följande relationer: $A_{mn}$

{\displaystyle \sum _{m,n}{\frac {m\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}}}=\summa _{ m,n}{\frac {n\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2))))

Den första av Manley-Row-relationerna är lagen om bevarande av antalet kvanta, som, beroende på naturen av de interagerande vågorna, är fotoner , fononer , plasmoner , magnoner eller andra interagerande kvasipartiklar .

Följande kvantiteter kan beräknas:

$A_{mn}={\frac {|P_{mn}|}{\hbar \cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2})))$ är antalet kombinationsfrekvenskvanta;
${\displaystyle m\cdot A_{m,n))$ är antalet frekvenskvanta förbrukade ( ) eller bildade ( ) vid excitering av kombinationsfrekvensen; $\omega_{1}$ $P_{mn}>0$ $P_{mn}<0$
${\displaystyle n\cdot A_{m,n))$ är antalet frekvenskvanta förbrukade ( ) eller bildade ( ) vid excitering av kombinationsfrekvensen. $\omega _{2}$ $P_{mn}>0$ $P_{mn}<0$

Relationer för interaktion med tre frekvenser

Låt oss betrakta Manley-Row-relationerna i det speciella fallet med trefrekvensinteraktion. Låt till exempel skillnadsfrekvensen vara kombinationsfrekvensen . Då har systemet tre frekvenser: ${\displaystyle \omega _{0}=\omega _{1}-\omega _{2))$