Kulram

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 september 2020; kontroller kräver 10 redigeringar .

Abacus ( Russian abacus ) - en enkel mekanisk anordning (räknebräda med ben) för att utföra aritmetiska beräkningar , enligt en version kommer de från den kinesiska suanpan-räkneanordningen , enligt en annan är de faktiskt av ryskt ursprung.

Representera en ram som har ett visst antal ekrar; knogar är uppträdda på dem, som vanligtvis är 10 stycken vardera. Konton är en av de tidigaste datorenheterna och användes i stor utsträckning inom handel och redovisning fram till slutet av 1900-talet , tills de ersattes av miniräknare . Mycket sällan används idag, till exempel i by- och landsbygdsbutiker [ 1] .

Historik

Den äldsta kulramen (av tjugo pinnar gjorda av elfenben) upptäcktes under arkeologiska utgrävningar i Mongoliet. Enligt resultaten av analysen fann man att de gjordes för mer än tre tusen år sedan [2] .

Nikolaas Witsen föreslog vid en tidpunkt, på grundval av yttre likhet med Suanpan , att kulramen kom från Kina genom Tatarerna i Gyllene Horden på 1300-talet [3] och namnger till och med den som först introducerade dem i Ryssland - den första av Stroganovs [4] . I. G. Spassky påpekar dock skillnader från i synnerhet suanpan , att decimaltalssystemet användes i räkenskaperna [5] . Han trodde att kulramen härrörde från anordningen " styrelsekonto ", som enligt hans antagande uppstod i den moskovitiska staten på 1500-talet [6] .

Det första kända omnämnandet av konton finns i "Census Book of the House Treasury of Patriarch Nikon", sammanställd 1658 , där de kallas "konton" [7] [8] .

Nummersystem och kodsystem

I ryska konton används ett positionellt decimaltalsystem med icke-positionell unär kodning inom varje siffra.

Varje benrad representerar en numerisk siffra , som ökar uppåt från nålen med fyra ben från ettor till miljoner (med sju rader av heltal), och nedåt minskar från tiondelar till tusendelar. Det maximala värdet för varje rad är tio gånger siffrans vikt (för enhetssiffran är maxvärdet 10 om alla brickor är till vänster, för tiotals är det 100, och så vidare). "Sättningen" av numret utförs genom att förskjuta benen från den högra kanten av staven till vänster.

Staven, på vilken det bara finns 4 ben, användes för beräkningar på hälften . En halv var lika med hälften av en penning , det vill säga en fjärdedel av en krona . Följaktligen uppgick fyra knogar till en kopek [9] . Denna stav användes också för att omvandla pund till pund (1 pund = 40 pund). Denna stav kan också fungera som en separator för heltals- och bråkdelar av numret som skrivits på kontona och används inte i beräkningar.

Således är det maximala antalet som kan poängsättas på kulram med sju rader av heltal 11 111 111 110 .

Efter att ha lagt till en bit av det tionde benet till nio ben, utförs operationen att skriva en överföringsenhet till nästa bit, som består av tre åtgärder:

genom att flytta en knoge åt vänster läggs den tionde knogen till nio knogar;
skift till höger om alla tio knogarna den föregående biten återställs till noll;
skift till vänster om en knog till nästa siffra, en överföringsenhet registreras.

Genom att följa denna regel utesluts all tvetydig representation av siffror. Ur synvinkeln av teorin om talsystem , för handlingar i ett exponentiellt enhetskodat decimalpositionstalsystem räcker det med nio ben, som Ya . I. Perelman också skriver om [10] , medan operationen att skriva en överföring enhet skulle utföras i två åtgärder istället för tre åtgärder:

skift till vänster om en knog till nästa bit, en överföringsenhet registreras;
genom att flytta nio ben åt höger, nollställs föregående siffra;

men för bekvämligheten att räkna (särskilt för att bekvämt få ett tillägg till 10, vilket är nödvändigt för att överföra en urladdning vid subtrahering), valdes antalet knogar lika med tio i ryska konton.

Räkneregler

Allmänna anmärkningar

Med hjälp av konton, inom deras kapacitet, kan du utföra alla grundläggande aritmetiska operationer: addition, subtraktion, multiplikation, division . Men i praktiken är det bekvämt och snabbt att bara addera och subtrahera: operationen att multiplicera med ett godtyckligt tal är ganska komplicerad, och division i allmänhet tar sannolikt mer tid än att utföra samma operation på papper med " kolumndelning " . Det finns dock ett ganska stort antal specialfall när kulramen är ganska användbar för multiplikation och division.

Dessutom måste följande punkter beaktas:

Konton är i princip inte avsedda för manipulationer med negativa siffror. Därför bör alla operationer reduceras till positiva tal, och tecknet, om nödvändigt, bör helt enkelt beaktas separat.
I multiplikations- och divisionsoperationer är det ganska obekvämt att ta hänsyn till positionen för decimalavgränsaren för båda operanderna . Som ett resultat, när du utför multiplikation och division av decimalbråk, reduceras antingen bara den andra eller båda operanderna till ett heltal, det vill säga att decimalseparatorn i dem helt enkelt ignoreras. Efter att operationen är klar återställs positionen för decimalavgränsaren manuellt.

"Ange" nummer

Representationen av nummer på kontona och uppringningsordningen beskrivs ovan. Det bör bara noteras att regeln för placeringen av siffrorna i ett nummer på ledningarna (det vill säga placeringen av en enda siffra utan fel framför en tråd med fyra ben) i praktiska beräkningar är ofta inte nödvändigt att observera . Dessutom, i beräkningsprocessen, är det ibland bekvämt, istället för att skriva om ett nummer, att helt enkelt mentalt flytta separatorn för heltals- och bråkdelar till en annan plats.

Vissa manualer om kulramsberäkningar rekommenderar följande "förbättring": borra en serie små hål i ramen på kulramen till vänster, placerade mittemot mellanrummen mellan ledningarna. Vid beräkning placeras ett föremål - till exempel en spik eller ett uträtat gem - i ett hål mitt emot gapet som för närvarande skiljer enheter och tiondelar åt. Således är positionen för decimalavskiljaren tydligt markerad när som helst och kan enkelt ändras.

Tillägg

Enligt ett av de möjliga sätten utförs tillägget på kontona "nedifrån och upp" (från de lägre siffrorna till de äldre). Den första termen "skrivs" på kontona, varefter, bit för bit, från den minst signifikanta siffran till den högsta, följande åtgärder utförs:

På tråden som motsvarar kategorin kastas lika många ben till vänster som det finns enheter i motsvarande kategori för den andra termen.
Om det inte finns tillräckligt med ben på tråden för att utföra den första åtgärden, så finns lika många ben kvar på tråden till vänster som det inte fanns tillräckligt med, och på nästa (högre) tråd kastas ett ben till vänster.
Om det som ett resultat av åtgärden (både den första och den andra, och den här) finns 10 ben på tråden till vänster, kastas alla ben på denna tråd till höger och på nästa (högre) tråd, ett ben kastas dessutom till vänster.

Efter att åtgärderna har utförts med alla siffror, kommer numret "uppringt" på kontona att vara resultatet av tillägget.

Det finns ett annat sätt: tillägg från högre siffror till lägre siffror [11] - se animering.

Subtraktion

Subtraktion på kontona utförs "från topp till botten", det vill säga från de högsta siffrorna till de lägsta. På grund av kontons olämplighet för att arbeta med negativa tal är det alltid nödvändigt att subtrahera ett mindre positivt tal från ett större positivt tal. Om du vill subtrahera en större från en mindre, ska siffrorna bytas och tecknet "in mind" lämnas.

På kontona "skrivs den reducerade", varefter, bit för bit, från den mest signifikanta siffran till den yngsta, följande åtgärder utförs:

På tråden som motsvarar kategorin kastas lika många ben till höger som det finns enheter i motsvarande kategori av subtrahenden.
Om det inte finns tillräckligt med ben på tråden för att utföra den första åtgärden, överförs flytningen: (10 - n ) ben finns kvar till vänster, där n är det "saknade" antalet ben (för att inte göra det andra subtraktion i ditt sinne, kan du överföra hela tio benen på denna tråd till vänster, sedan slänga det saknade antalet ben), och på tråden ovanför kastas ett ben till höger
Om det under överföringen inte finns tillräckligt med ben på tråden som motsvarar den högsta siffran, så utförs överföringen till nästa (ännu högre) siffra och så vidare tills en av trådarna har tillräckligt med ben. Så, till exempel, när du subtraherar (1001 − 3), kommer de första 8 benen att finnas kvar på tråden med den minst signifikanta siffran och överföring till den andra siffran kommer att krävas, sedan till den tredje, och först efter det kommer det att finnas tillräckligt med gropar på tråden av den fjärde siffran för att slutföra operationen.

Multiplikation

Multiplikation med en enda siffra kan i allmänhet ersättas genom att addera multiplikanden till sig själv ett lämpligt antal gånger. Heltals flersiffriga tal multipliceras bit för bit, liknande "kolumnmultiplikation":

Multiplikatorn är den av de två talen som innehåller fler siffror som inte är noll.
Multiplikatorn läggs till sig själv så många gånger som det finns enheter i den lägsta (första) siffran i multiplikatorn.
För varje nästa siffra i multiplikatorn läggs multiplikanten till numret som redan finns på kontona motsvarande antal gånger, men med en förskjutning av en siffra uppåt. Det vill säga, för tiotalssiffran utförs addition med en förskjutning med en siffra, hundratals - med två, och så vidare.
Om motsvarande siffra i multiplikatorn är noll, utförs naturligtvis ingen addition, utan bara en förskjutning görs en tråd upp och övergången till nästa siffra görs.
När tillägg görs för alla siffror som inte är noll i multiplikatorn, kommer resultatet av multiplikationen att erhållas på kontona. I det här fallet måste positionen för decimalavskiljaren beaktas i den position där den var under de första tilläggen (det vill säga förskjutningar av decimalavgränsaren beaktas endast i mellanliggande operationer).

Om tal som inte är heltal multipliceras, utförs operationen på exakt samma sätt (beräkningar utförs med heltal, decimalavgränsare ignoreras helt enkelt). Decimalavgränsaren sätts i rätt position manuellt när resultatet skrivs.

Trots algoritmens krånglighet, med en utvecklad skicklighet, kan tidsvinsten jämfört med beräkningen på papper vara betydande.

Division

Division i allmänhet ersätts med subtraktion. Den allmänna algoritmen för att dividera heltal är som följer:

Utdelningen skrivs på kontona längst ner på dem.
Från de inledande siffrorna i utdelningen väljs en grupp av sådan storlek att talet som består av den är större än divisorn, men mindre än divisorn multiplicerad med tio. Decimalavgränsaren överförs mentalt till den minst signifikanta siffran i denna grupp.
Divisorn subtraheras från det slagna numret (med hänsyn till den inställda separatorn) tills den reducerade blir mindre än divisorn. Med varje framgångsrik subtraktion på den övre tråden överförs poängen till vänster av ett ben.
Efter avslutad subtraktion flyttas decimalavskiljaren mentalt en tråd nedåt. Vidare upprepas subtraktionen av divisorn för en ny reducerad, och resultatet matas in på nästa (andra, sedan tredje, etc.) tråd.
Föregående stycke upprepas tills det slagna numret på kontona slutar, eller tills det erforderliga antalet siffror i resultatet erhålls.
På de övre ledningarna, efter avslutad alla operationer, kommer resultatet av uppdelningen att skrivas. Placeringen av decimalavskiljaren är densamma som för utdelningen.

Om utdelningen är en multipel av divisorn, kommer operationen att avslutas när den minst signifikanta decimalen för utdelningen uppnås och alla ben, utom de som resultatet ackumuleras på, kommer att vara till höger. Om inte, kommer numret som motsvarar resten av divisionen att finnas kvar på kontona. Om det behövs kan du få decimaler av bråkresultatet så länge det finns tillräckligt med trådar på kontona (när det inte finns någonstans att flytta decimalavgränsaren nedåt kan du på konstgjord väg flytta den ackumulerade resten högre för att fortsätta dividera; på så sätt kan du kan få upp till 7-8 siffror av resultatet).

Till exempel, vi beräknar 715/31:

Vi samlar på kontot 715 i nedre delen (ovanför vajern med fyra knogar).
Från de första siffrorna väljer vi ett tal som är större än 31 och mindre än 310 - det här är två siffror, 71. Vi placerar mentalt decimalavgränsaren efter enheten.
Subtrahera 31 från 71. Detta kan göras två gånger. På den övre tråden kastar vi två ben till vänster. Resten är 9.
Det finns 9 kvar, vilket är mindre än 31. Förskjut decimalavskiljaren mentalt en tråd nedåt. Nästa minskning är 95.
Subtrahera 31 från 95. Detta kan göras tre gånger. På den andra tråden ovanifrån kastar vi tre knogar till vänster. Resten är 2.
2 är mindre än 31. Heltalsdelen av utdelningen används helt. Om det räcker för att få en lösning med en rest, kan du fixa resultatet: 2 och 3 skrivs på de två översta ledningarna, 2 är kvar i utdelningen, det vill säga resultatet är 23 och 2 i resten, eller . ${23}{\tfrac {2}{31}}$
Om följande decimaler behövs, fortsätter vi operationen ytterligare: vi flyttar decimalavgränsaren en siffra ner, men som ett resultat får vi 20, vilket är mindre än 31. Därför lämnar vi noll på den tredje tråden från toppen (alla knogar till höger) och flytta separatorn ner en annan tråd.
Subtrahera 31 från 200 - sex gånger. På den fjärde tråden avsätts 6.
Flytta decimalavgränsaren en siffra till. 140 konton.
Subtrahera 31 från 140. 4 avsätts på den femte tråden.
16 återstår på kontona. Det finns ingenstans att flytta siffrorna - trådarna har tagit slut (vanligtvis finns det bara tre siffror under den 4-beniga tråden på kontona). Eftersom 16 är mer än hälften av 31 blir nästa siffra 5 eller mer, så du kan fixa det avrundade resultatet: 23.065. Om du snabbt behöver få nästa siffror i resultatet måste du överföra resten av 16 upp och fortsätta räkna därifrån.

Precis som vid multiplikation, när decimalbråk divideras, ersätts argumenten med heltal och beräkningarna utförs i exakt samma ordning, och decimalavgränsaren överförs manuellt till rätt plats i resultatet.

Förenklade knep för multiplikation och division

Godtycklig multiplikation och särskilt division på konton är inte särskilt bekvämt. Det finns dock ett antal speciella fall när dessa operationer utförs mycket lättare:

Multiplikation och division med 10 ersätts genom att flytta siffran en siffra uppåt eller nedåt. I det här fallet finns det inget behov av att faktiskt överföra posten - det räcker att mentalt flytta separatorn för heltals- och bråkdelar av numret med en tråd, nedåt eller uppåt. I handböckerna för beräkning på räkenskaperna rekommenderades det att under beräkningarna hålla fingret på vänster hand på ramarna för räkenskaperna mittemot gapet mellan trådarna motsvarande enheter och tiondelar, eller att markera aktuell position av decimalavskiljaren med något improviserat medel (en knapp, en nejlika insatt i speciellt gjorda i ramhålet poäng, etc.).
Multiplikation med 2 ersätts genom att lägga till talet till sig självt: . $39\cdot 2=39+39=78$
Att multiplicera med 3 är att lägga till sig själv två gånger: . $39\cdot 3=39+39+39=117$
Multiplicera med 4 - dubbla två gånger: . $18\cdot 4=(18+18)\cdot 2=36+36=72$
Multiplicera med 5 - multiplicera med 10 och dividera med 2: . $26\cdot 5={\tfrac {26\cdot 10}{2}}=260/2=130$
Multiplicera med 6 - multiplicera med 5 och lägga till det ursprungliga talet :. $26\cdot 6=26\cdot 5+26={\tfrac {26\cdot 10}{2))+26=130+26=156$
Multiplikation med 7 - tre gånger dubbla och subtrahera det ursprungliga talet :. $13\cdot 7=26\cdot 2\cdot 2-13=52\cdot 2-13=104-13=91$
Att multiplicera med 8 är att dubbla tre gånger: . $13\cdot 8=13\cdot 2\cdot 2\cdot 2=26\cdot 2\cdot 2=52\cdot 2=104$
Multiplicera med 9 - multiplicera med 10 och subtrahera det ursprungliga talet: . $23\cdot 9=23\cdot 10-23=230-23=207$
Att dividera med 2 görs från de minst signifikanta bitarna till de mest signifikanta. På varje tråd slängs hälften av de befintliga benen. Om det finns ett udda antal ben på tråden, kasseras också det "extra" benet, och ytterligare fem ben överförs till vänster på tråden nedan (i den minst signifikanta siffran). Till exempel, när man dividerar 57 med 2, finns det ett udda tal i enhetssiffran, så 4 ben kommer att kasseras (3 kommer att finnas kvar), och 5 kommer att läggas till i tiondelssiffran, sedan kommer tre av fem gropar att kasseras i tiotalssiffran - två kommer att finnas kvar, och dessutom i ensiffran läggs 5 till - det blir 8. Det korrekta svaret är alltså: 28,5.
Divisionen med 3 ersätts genom att multiplicera det ursprungliga talet med 3 och sekventiellt addera resultatet till sig självt med en nedåtgående förskjutning så många gånger som behövs i resultatet. Vid förskjutning "utanför kontonas gränser" avrundas det tillagda antalet. Resultatet av tillägget måste delas med 10. (Det faktum som används ). $x/3=0{,}3(3)\cdot x={\tfrac {3{,}3(3)\cdot x}{10}}$
Att dividera med 4 är två gånger att dividera med 2.
Att dividera med 5 är att dividera med 10 och multiplicera med 2.
Division med 6 är successiv division med 2 och 3.
Division med 7 utförs enligt den allmänna algoritmen (bitvis subtraktion av sju).
Att dividera med 8 ersätts med att dividera med 2 tre gånger.
Att dividera med 9 görs genom att lägga till talet till sig självt, bit för bit flyttas ner så många gånger som behövs i resultatet. Resultatet av tillägget divideras med 10. (Förhållandet används ). $x/9=0{,}1(1)\cdot x={\tfrac {1{,}1(1)\cdot x}{10))$
Multiplikation och division med valfri potens av två görs genom att successivt dubbla eller dividera med 2, respektive.
Multiplikation med ett tvåsiffrigt tal med två identiska siffror " NN " (11, 22, 33, 44, etc.) ersätts med multiplikation och addition med en förskjutning:

Först multipliceras det ursprungliga värdet med N på något lämpligt sätt.
Sedan överförs decimalavgränsaren en bit ner och resultatet av multiplikationen läggs till sig själv, men med en förskjutning nedåt med en tråd (att lägga till med en nedväxling är bekvämare, eftersom additionen görs nerifrån och upp, och ökat antal ben är alltid synligt en tråd högre - det finns ingen anledning att komma ihåg det).

Det är ofta möjligt att med hjälp av enkla manipulationer reducera den beräknade operationen till en kombination av specialfall av multiplikation och division. Till exempel kan multiplicera med 25 ersättas med att multiplicera med 100 och dividera med 2 med 2. När en eller båda operanderna är nära "bekväma" tal för beräkningar, kan du kombinera specialfallen multiplikation och division med addition och subtraktion. Men möjligheten till sådana trick beror starkt på utbildningsnivån på räknaren. Egentligen ligger konsten att räkna på kulramen i förmågan att reducera alla nödvändiga beräkningar till en kombination av lätträknade element.

Kontoexempel

Ett välkänt exempel på hur man använder konton för att lösa problem ges i Anton Tjechovs berättelse " Tutor " [12] . Gymnastikläraren Egor Alekseich Ziberov frågade den unga Petya Udodov uppgiften:

Köpmannen köpte 138 arshins av svart och blått tyg för 540 rubel. Frågan är, hur många arshins köpte han båda, om den blå kostade 5 rubel per arshin och den svarta kostade 3 rubel.

Petya kunde inte lösa det. Men handledaren själv kunde inte klara sig, även om han visste att "uppgiften i själva verket är algebraisk " och "den kan lösas med x och y". Faktum är att om vi antar att - det här är mängden blått tyg och - svart, kan vi komponera följande ekvationssystem : $x$ $y$

{\begin{cases}x+y=138,\\5x+3y=540.\end{cases))

Efter att ha löst det får vi svaret: det vill säga 75 arshins av svart tyg och 63 arshins av blått. $y=75,x=63$

En sådan lösning på detta problem leder emellertid till förlust av dess interna logik. Pojkens far, pensionerad provinssekreterare Udodov, visade en annan lösning:

"Du kan lösa det utan algebra", säger Udodov och räcker ut sin hand mot kulramen och suckar. "Här, låt mig se...

Han klickar på kulramen, och han får 75 och 63, vilket är vad han behövde.

– Här, sir ... enligt vår mening, på ett olärt sätt.

Själva "oinlärda" lösningen ges inte av Tjechov i berättelsen, men den kan lätt rekonstrueras, eftersom problemet har en standard aritmetisk lösning baserad på logik och består i att utföra sex aritmetiska operationer. Antag att allt inköpt tyg var blått. Då skulle en sats på 138 arshins kosta 690 rubel ( ). Men detta är 150 rubel ( ) mer än vad som faktiskt betalades. En "överutgift" på 150 rubel indikerar att partiet hade billigare, svart tyg - 3 rubel per arshin. Det finns så mycket av detta tyg att från skillnaden på två rubel ( ) får vi 150 "extra" rubel. Det vill säga 75 arshins ( ) av svart tyg. Nu kan vi hitta mängden blått tyg: 63 arshins ( ). $5\times 138$ $690-540$ $5-3$ $150/2$ $138-75$

"Att klicka på kontona", utfört av Udodov, såg ut så här:

Siffran 138 är "poängsatt" på kontona: ett ben på den första tråden, tre på den andra, åtta på den tredje.
Den multipliceras med 138 med 5. För att förenkla räkningen multiplicerar den istället 138 med 10, utan att göra några manipulationer, helt enkelt mentalt överföra alla ben en rad högre, varefter den delas med 2: på varje tråd, med början från botten viks hälften av benen tillbaka. På den tredje tråden, där åtta ben är avsatta, kastas fyra tillbaka; två av de tre benen viks tillbaka på den mittersta tråden, medan en av dem mentalt ersätts av tio lägre och delas på mitten - det vill säga fem ben läggs till dem på nästa tråd; ett ben tas bort på den översta tråden, vilket lägger till fem till benen på den andra tråden. Som ett resultat finns det inga ben på den översta tråden, sex är kvar på den andra och nio på den tredje. . $138\times 5=690$
540 subtraheras från 690: fem ben tas bort från den andra tråden, fyra från den tredje. . $690-540=150$
150 delas på hälften (metod - se ovan). . $150/2=75$
75 subtraheras från 138. 138 "rekryteras" igen, kasseras på den andra tråden, men det finns bara tre. Fyra räcker inte, så sex ben finns kvar på tråden (om Udodov är för lat för att subtrahera fyra från tio i sitt sinne, kan han kasta hela tio på den andra tråden till vänster och kasta de "undersubtraherade" fyra benen från den ), och ett ben avlägsnas från den första tråden. Nu på den tredje tråden, av åtta ben, kasseras fem. . $138-75=63$

Lärare rekommenderas att använda matematiska problem från konstverk, inklusive från Tjechovs berättelse "Tutor" [13] [14] vid lektioner i grundskolan .

Se även

Anteckningar

↑ Nyheter kl. 20:00 från 2021-01-12 - YouTube
↑ Yu Sitsko. Den äldsta kulramen // "Komsomolskaya Pravda" den 12 september 1986.
↑ Spassky, 1952 , sid. 272.
↑ Spassky, 1952 , sid. 417.
↑ Spassky, 1952 , sid. 270.
↑ Spassky, 1952 , sid. 369-370.
↑ Folkräkningsbok för patriarken Nikons husskattkammare // "Vremennik från Imperial Moscow Society of Russian History and Antiquities", bok 15 . - M. , 1852. - S. 117.
↑ Spassky, 1952 , sid. 320.
↑ Antikens datorer (otillgänglig länk) . Arkiverad från originalet den 27 juli 2009. (obestämd)
↑ Ya. I. Perelman. Underhållande aritmetik. Uppgift nummer 7 . Hämtad 27 augusti 2010. Arkiverad från originalet 17 juli 2011. (obestämd)
↑ Kiryushin, 1925 , sid. 17-23.
↑ Perelman Ya. I. Underhållande aritmetik: Gåtor och kuriosa i siffrornas värld. - M.-L.: Gonti, 1938. - S. 30-33.
↑ Sergeeva L. A. Matematiklektioners estetiska potential i grundskolan // Implementering av de pedagogiska och pedagogiska funktionerna i en modern grundskola: en elektronisk samling artiklar baserade på materialet från X All-Russian vetenskapliga och praktiska konferensen "Pedagogiska läsningar i minnet av professor A. A. Ogorodnikov" (stad 6 februari 2019, Perm, Ryssland) / under summan. ed. L.V. Selkina; Perm State Humanitarian and Pedagogical University. - Perm, 2019. - S. 187-188.
↑ Shvetsova R. F. Litterära verk i matematiklektioner i grundskolan // Implementering av Federal State Educational Standard i grundskolan: innovativa tillvägagångssätt för organisationen av utbildningsprocessen: en samling av handlingar från den republikanska vetenskapliga och metodologiska konferensen (28 mars 2019) , Yakutsk). - Kirov: MCITO, 2019. - S. 109.

Litteratur

Kiryushin E.D. Beräkningar på konton . - 6:e uppl. - M . : Mitten. T-vo "Cooperative Publishing House", 1925.
Spassky I. G. Ryska räkenskapers ursprung och historia // Historisk och matematisk forskning . - M. : GITTL, 1952. - Nr 5 . - S. 269-420 .

Länkar

"Hur man räknar på kontona"

kulram
Kulram Rysk kulram Soroban suanpan Yupana