Kolmogorov-Arnolds sats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 september 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

Kolmogorov -Arnolds sats, en sats från real variabelanalys och approximationsteori , säger att varje multidimensionell kontinuerlig funktion kan representeras som en superposition av kontinuerliga funktioner av en variabel. Det löser Hilberts trettonde problem på ett mer allmänt sätt . [1] [2]

Verken av Andrei Kolmogorov och Vladimir Arnold fastställde att om f är en flerdimensionell kontinuerlig funktion, så kan f skrivas som en finit sammansättning av kontinuerliga funktioner av en variabel och en binär additionsoperation . [3] Nämligen,

f(\mathbf {x} )=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\summa _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\ summa _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right).

Konstruktionen av beviset, och ännu fler konkreta konstruktioner, finns i Brown och Griebel [4] .

På sätt och vis visade Kolmogorov och Arnold att den enda sanna funktionen för många variabler är addition, eftersom alla andra funktioner kan skrivas med funktioner av en variabel och addition. [5]

Historik

Kolmogorov-Arnolds sats är nära relaterad till Hilberts 13:e problem . I sin föreläsning i Paris vid International Congress of Mathematicians 1900 formulerade David Hilbert 23 problem som han ansåg var viktiga för matematikens fortsatta utveckling. [6] I det 13:e av dessa problem var problemet att lösa allmänna ekvationer av högre grader. Det är känt att för algebraiska ekvationer av grad 4 kan rötterna beräknas med formler som bara innehåller radikaler och aritmetiska operationer (det vill säga sådana ekvationer är lösbara i radikaler ). För högre ordningar visar Galois teori att lösningar på algebraiska ekvationer inte kan uttryckas i termer av grundläggande algebraiska operationer. Det följer av Tschirnhaus-transformationerna att den allmänna algebraiska ekvationen

x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{0}=0

kan konverteras till formuläret Tschirnhaus-transformationen definieras av en formel som endast innehåller radikaler och aritmetiska operationer och transformationer. Således kan lösningen av en algebraisk gradekvation representeras som en överlagring av funktioner av två variabler, om , och som en överlagring av funktioner av variabler, om . För lösningen är en överlagring av aritmetiska operationer, radikaler och lösningar till ekvationen . $y^{n}+b_{n-4}y^{n-4}+\dots +b_{1}y+1=0$ $n$ $n<7$ $n-4$ $n\geqslant 7$ $n=7$ $y^{7}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+1=0$

Ytterligare förenkling av algebraiska transformationer verkar omöjlig, vilket leder till Hilberts gissning att "lösningen av en allmän ekvation av grad 7 inte kan representeras som en överlagring av kontinuerliga funktioner av två variabler". Detta förklarar förhållandet mellan Hilberts trettonde problem och representationen av flerdimensionella funktioner som en överlagring av lågdimensionella funktioner. I detta sammanhang har den stimulerat åtskilliga studier i funktionsteori och andra relaterade problem av olika författare. [7]

Varianter av Kolmogorov-Arnolds sats

En variant av Kolmogorovs teorem som minskar antalet yttre funktioner beror på George Lorentz. [8] Han visade 1962 att externa funktioner kan ersättas med en enda funktion . Mer exakt, Lorentz bevisade förekomsten av funktioner , , sådan att ${\displaystyle \Phi _{q))$ ${\displaystyle \Phi _{q))$ $\Phi$ ${\displaystyle \phi _{q,p))$ $q=0,1,\ldots ,2n$ $p=1,\ldots ,n,$

f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}( x_{p})\höger).

Sprecher [9] ersatte de inre funktionerna med en inre funktion med en motsvarande förskjutning i deras argument. Han bevisade att det finns verkliga värden , en kontinuerlig funktion och en verklig ökande kontinuerlig funktion c för sådant ${\displaystyle \phi _{q,p))$ ${\displaystyle \eta ,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n))$ $\Phi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\phi \colon [0,2]\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle \phi \in \operatörsnamn {Läpp} {\big (}\ln 2/\ln(2N+2){\big )))$ $N\geqslant n\geqslant 2$

f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\lambda _{p}\phi ( x_{p}+\eta q)+q\höger).

Phillip A. Ostrand [10] generaliserade Kolmogorovs sats till kompaktering av metriska utrymmen. För låt vara kompakta metriska utrymmen av ändlig dimension , och låt . Sedan finns det en kontinuerlig funktion och kontinuerliga funktioner så att vilken kontinuerlig funktion som helst kan representeras som $p=1,\ldots ,m$ $X_{p}$ $n_{p}$ ${\displaystyle n=\sum _{p=1}^{m}n_{p))$ $\phi _{q,p}\colon X_{p}\to [0,1],\ q=0,\ldots ,2n,\ p=1,\ldots ,m$ $G_{q}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,\ q=0,\ldots ,2n$ $f\colon X_{1}\times \dots \times X_{m}\to \mathbb {R}$

f(x_{1},\ldots ,x_{m})=\sum _{q=0}^{2n}G_{q}\left(\sum _{p=1}^{m} \phi _{q,p}(x_{p})\right).

Ursprungliga länkar

Andrei Kolmogorov , "Om representationen av kontinuerliga funktioner för flera variabler genom superpositioner av kontinuerliga funktioner av ett mindre antal variabler", Izvestiya AN SSSR , 108 (1956), sid. 179-182; Engelsk översättning: Amer. Matematik. soc. Transl. 17 (1961), sid. 369-373.
Vladimir Arnold , "Om en funktion av tre variabler", Izvestiya AN SSSR , 114 (1957), sid. 679-681; Engelsk översättning: Amer. Matematik. soc. Transl. 28 (1963), sid. 51-54.

Ytterligare läsning

S. Ja. Khavinson, Best Approximation by Linear Superpositions (Approximate Nomography) , AMS Translations of Mathematical Monographs (1997)

Länkar

↑ Arnold: Simma mot tidvattnet . - American Mathematical Society , 2014. - P. 165. - ISBN 978-1-4704-1699-7 . Arkiverad 17 mars 2022 på Wayback Machine
↑ Shigeo Akashi. Tillämpning av ϵ-entropi teori på Kolmogorov—Arnold representation theorem // Reports on Mathematical Physics : journal. - 2001. - Vol. 48 . - S. 19-26 . - doi : 10.1016/S0034-4877(01)80060-4 .
↑ Bar-Natan. Efterrätt: Hilberts 13:e problem, i fyrfärg . Hämtad 19 maj 2019. Arkiverad från originalet 8 augusti 2020.
↑ Jürgen Braun, Michael Griebel. På ett konstruktivt bevis för Kolmogorovs superpositionssats // Constructive Approximation : journal. - 2009. - Vol. 30 . — S. 653 . - doi : 10.1007/s00365-009-9054-2 . Arkiverad från originalet den 24 november 2018.
↑ Persi Diaconis, Mehrdad Shahshahani. Om linjära funktioner hos linjära kombinationer // SIAM J. Sci. statistik. Comput. : journal. - 1984. - Vol. 5 . — S. 180 . - doi : 10.1137/0905013 . Arkiverad från originalet den 13 maj 2012.
↑ David . Matematiska problem (engelska) // Bulletin of the American Mathematical Society : tidskrift. - 1902. - Vol. 8 . - s. 461-462 .
↑ Jürgen Braun. Om Kolmogorovs Superposition Theorem och dess tillämpningar. - SVH Verlag, 2010. - 192 sid.
↑ George; Lorentz. Metrisk entropi, bredder och överlagringar av funktioner (engelska) // American Mathematical Monthly : journal. - 1962. - Vol. 69 . - s. 469-485 .
↑ David A. Sprecher. Om strukturen för kontinuerliga funktioner för flera variabler (engelska) // Transactions of the American Mathematical Society : journal. - 1965. - Vol. 115 . - S. 340-355 .
↑ Philip A. Ostrand. Dimension av metriska utrymmen och Hilberts problem 13 (engelska) // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. - 1965. - Vol. 71 . - s. 619-622 .