Musselmans teorem

I euklidisk geometri är Musselmans sats en egenskap hos vissa cirklar definierade för en godtycklig triangel .

Uttalande av satsen

Låt det finnas en triangel med hörn , och . Låt , och vara hörn av triangeln av reflektioner som erhålls genom spegelreflektion av varje vertex med avseende på den motsatta sidan [1] . Låt vara mitten av den omskrivna cirkeln . Betrakta 3 cirklar , och , passerar genom punkterna , och , respektive. Satsen säger att dessa tre Musselman-cirklar skär i punkten , som är inversionen av Kosnita-punkten omskriven runt cirkeln , som är den isogonala konjugationen av mitten av triangelns nio punkter [2] . $T$ $A$ $B$ $C$ $A^{*}$ $B^{*}$ $C^{*}$ $T^{*}$ $T$ $O$ $T$ $S_{A}$ $S_{B}$ $S_{C}$ $A\,O\,A^{*}$ $B\,O\,B^{*}$ $C\,O\,C^{*}$ $M$ $T$ $T$

Den gemensamma punkten är Gilbert-punkten i triangeln , som är listad som i Encyclopedia of Triangle Centers [2] [3] . $M$ $T$ $X_{1157}$

Historik

Teoremet föreslogs som ett problem av JR Musselman och René Goormaghtigh 1939 [4] , och beviset presenterades av dem 1941 [5] . En generalisering av detta resultat formulerades och bevisades av Gormatig [6] .

Generalisering av Gormatig

Gormatigs generalisering av Musselmans teorem nämner inte uttryckligen cirklar.

Som tidigare, låt , och vara hörn i triangeln , och vara mitten av den omskrivna cirkeln. Låta vara ortocentrum av triangeln , det vill säga skärningspunkten mellan tre höjder . Låt , och vara tre punkter på segmenten , och , sådan att . Överväg 3 linjer , och , vinkelrätt mot , och genom punkterna , och , respektive. Låta , Och vara skärningspunkterna för perpendicularerna med linjerna , och , respektive. $A$ $B$ $C$ $T$ $O$ $H$ $T$ $A'$ $B'$ $C'$ $OA$ $OB$ $OC$ $OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC=t$ $L_{A}$ $L_{B}$ $L_{C}$ $OA$ $OB$ $OC$ $A'$ $B'$ $C'$ $P_{A}$ $P_{B}$ $P_{C}$ $före Kristus$ $CA$ $AB$

Neuberg (J. Neuberg) märkte 1884 att tre punkter , och ligger på en rak linje [7] . Låta vara projektionen av mitten av den omskrivna cirkeln på linjen , och vara en punkt på sådan att . Hormatig bevisade att är inversionen med avseende på den isogonala konjugationen av en punkt på Euler-linjen så att [8] [9] . $P_{A}$ $P_{B}$ $P_{C}$ $R$ $N$ $O$ $R$ $N'$ $PÅ$ $ON'/ON=t$ $N'$ $T$ $F$ $OH$ $QH/QO=2t$

Anteckningar

↑ D. Grinberg (2003) On the Kosnita Point and the Reflection Triangle Arkiverad 3 maj 2015 på Wayback Machine . Forum Geometricorum, volym 3, sid 105—111
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Musselmans sats på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers Arkiverad 19 april 2012 på Wayback Machine , avsnitt X(1154) = Gilbert Point . Åtkom 2014-10-08
↑ JR Musselman och R. Goormaghtigh (1939), Advanced Problem 3928 . American Mathematics Monthly, volym 46, sid 601
↑ JR Musselman och R. Goormaghtigh (1941), Lösning på avancerat problem 3928 . American Mathematics Monthly, volym 48, sidorna 281-283
↑ Jean-Louis Ayme, le point de Kosnitza Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine , sida 10. Onlinedokument, tillgängligt 2014-10-05.
↑ J. Neuberg (1884), Mémoir sur le Tetraèdre . Enligt Nguyen anger Neuberg även Goormaghtighs sats, men felaktigt.
↑ Khoa Lu Nguyen (2005), Ett syntetiskt bevis på Goormaghtighs generalisering av Musselmans teorem Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine . Forum Geometricorum, volym 5, sid 17-20
↑ Ion Patrascu och Catalin Barbu (2012), Två nya bevis på Goormaghtigh-satsen Arkiverade 4 mars 2016 på Wayback Machine . International Journal of Geometry, volym 1, sid=10-19, issn=2247-9880