Diofantisk ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 februari 2022; kontroller kräver 3 redigeringar .

En diofantisk ekvation (även en ekvation i heltal ) är en ekvation av formen

P(x_{1},\dots ,x_{m})=0,

där är en heltalsfunktion , till exempel ett polynom med heltalskoefficienter, och variablerna tar heltalsvärden. Den "Diophantine" ekvationen är uppkallad efter den antika grekiske matematikern Diophantus . $P$ $x_{i}$

Dessutom, när man överväger frågan om lösbarhet, delas variabler ofta in i parametrar (vars värden antas vara fasta) och okända. Ekvationen alltså

P(a_{1},\dots,a_{n},x_{1},\dots,x_{m})=0,

med parametrar och okända anses lösbart för de givna värdena för uppsättningen av parametrar om det finns en uppsättning siffror för vilka denna likhet blir sann. $a_{1},\dots ,a_{n}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m))$ $(a_{1},\dots,a_{n})$ $(x_{1},\dots,x_{m})$

Således kallas diofantiska ekvationer ekvationer med heltalskoefficienter som det krävs för att hitta heltalslösningar (eller naturliga). I det här fallet måste antalet okända i ekvationen vara minst två [1] . Ekvationerna fick sitt namn för att hedra den framstående forntida matematikern Diophantus av Alexandria , som tros vara den förste som systematiskt studerade obestämda ekvationer och beskriver metoder för att lösa dem [2] . Alla bevarade uppteckningar är samlade i boken "Aritmetik" [3] . Efter Diophantus utfördes en liknande studie av obestämda ekvationer av hinduiska matematiker, med början runt det femte århundradet [4] . I Europa var praktiskt taget alla större algebraister på sin tid engagerade i att lösa obestämda ekvationer: Leonardo Fibonacci (ca 1170-1250), Francois Viet (1540-1603), Simon Stevin (ca 1549-1620) [5] .

Problemet med att lösa ekvationer i heltal anses till slutet för ekvationer med en okänd, såväl som för ekvationer av första och andra graden med två okända.

Exempel

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$ :
- Lösningarna till denna ekvation är Pythagoras trippel . $n=2$
- Enligt Fermats sista teorem har denna ekvation inga heltalslösningar som inte är noll för . $n>2$
$\sum \limits _{{k=1}}^{{n-1}}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}$ - Eulers hypotes säger att för alla naturliga tal n > 2 är denna ekvation olöslig i naturliga tal , det vill säga ingen n:te potens av ett naturligt tal kan representeras som summan av n -1 n:te potenser av andra naturliga tal. Hypotesen är en generalisering av Fermats sista sats, men tillbakavisades för n = 4 och n = 5, varefter Lander-Parkin-Selfridge-förmodan lades fram . $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$
$x^{2}-ny^{2}=1$ , där parametern n inte är en exakt kvadrat - Pells ekvation .
$x^{z}-y^{t}=1$ , där , är den katalanska ekvationen , som har en unik lösning . $z,t>1$ $3^{2}-2^{3}=1$
$\summa _{{i=0}}^{n}a_{i}x^{i}y^{{ni}}=c$ för och är Thue-ekvationen . $n\geq 3$ $c\neq 0$

Linjära diofantiska ekvationer

Allmän bild av den linjära diofantiska ekvationen :

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}=d.

Speciellt en linjär diofantisk ekvation med två okända har formen:

axe+by=c.\qquad (1)

Om (det vill säga den största gemensamma divisorn inte delar sig ) är ekvation (1) inte lösbar i heltal. Faktum är att om , då är talet till vänster i (1) delbart med , men talet till höger är det inte. Det omvända är också sant: om ekvationen håller är den lösbar i heltal. $(a,b)\nmid c$ $(a,\;b)$ $c$ $(a,\;b)\nev 1$ $(a,\;b)$ $axe+by=c$ $(a,b)\mitt c$

Låta vara en speciell lösning av ekvationen . Sedan hittas alla dess lösningar av formlerna: $(x_{0},\;y_{0})$ $axe+by=c$

{\begin{cases}x=x_{0}-n{\frac {b}{(a,\;b)}}\\y=y_{0}+n{\frac {a}{ (a,\;b)}}\end{fall}}\quad n\in \mathbb {Z} .

En speciell lösning kan konstrueras enligt följande. Om och är delbart med , sedan efter att ha dividerat alla koefficienter med ekvationen tar formen , där . För den sista ekvationen erhålls en speciell lösning från Bezout-relationen för : $(x_{0},\;y_{0})$ $(a,b)\neq 1$ $c$ $(a,b)$ $(a,b)$ $a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$ $(a_{1},b_{1})=1$ $a_{1},b_{1}$

ua_{1}+vb_{1}=1,

från vilken man kan sätta $(x_{0},\;y_{0})=(c_{1}\cdot u,\;c_{1}\cdot v).$

Det finns en explicit formel för en serie lösningar av en linjär ekvation [6] :

{\begin{cases}x_{t}=ca^{\varphi (b)-1}+bt,\\y_{t}=c{\frac {1-a^{\varphi (b) }}{b}}-at,\end{cases}}

där är Euler-funktionen och t är en godtycklig heltalsparameter. $\varphi (\cdot )$

Algebraiska diofantiska ekvationer

När man överväger frågan om lösbarheten av algebraiska diofantiska ekvationer, kan man använda det faktum att vilket system av sådana ekvationer som helst kan omvandlas till en diofantisk ekvation av högst 4 i icke-negativa heltal, lösbar om och endast om det ursprungliga systemet är lösbar (i det här fallet kan mängden variabler och mängdlösningarna i denna nya ekvation visa sig vara helt olika).

Diophantine set

En diofantmängd är en mängd som består av ordnade uppsättningar av n heltal, för vilka det finns en algebraisk diofantisk ekvation:

P(a_{1},\dots,a_{n},x_{1},\dots,x_{m})=0,

som är lösbar om och endast om mängden tal hör till denna mängd. Den diofantiska ekvationen som diskuteras kallas den diofantiska representationen av denna uppsättning. Ett viktigt resultat som erhållits av Yu. V. Matiyasevich är att varje numerabel uppsättning har en diofantisk representation [7] . $(a_{1},\dots,a_{n})$

Allmän obestämbarhet

Hilberts tionde problem , formulerat 1900 , är att hitta en algoritm för att lösa godtyckliga algebraiska diofantiska ekvationer. År 1970 bevisade Yu. V. Matiyasevich den algoritmiska olösligheten av detta problem. [åtta]

Exponentiella diofantiska ekvationer

Om en eller flera variabler i en diofantisk ekvation ingår i uttrycket för exponenten för att höja till en potens , kallas en sådan diofantisk ekvation exponentiell .

Exempel:

Det finns ingen allmän teori för att lösa sådana ekvationer; speciella fall, såsom den katalanska hypotesen , har undersökts. Men de flesta av dessa ekvationer lyckas fortfarande lösas med speciella metoder, såsom Sturmer-satsen eller till och med trial and error .

Se även

Anteckningar

↑ . Abakumova SI, Guseva AN Diofantiska ekvationer Grundläggande och tillämpad forskning i den moderna världen. - 2014. - V. 1, nr 6. - S. 133-137.
↑ Bashmakova I. G. Diophantine and Diophantine equations - Moskva: Nauka, 1972. - 68 sid.
↑ Zhmurova, I. Yu. Diofantiska ekvationer: från antiken till nutid. Ung vetenskapsman. - 2014. - Nr 9. -S. 1-5
↑ Kozhaev, Yu. P. Grekisk matematiker Diophantus och Diophantine ekvationer. Material från den IV allryska vetenskapliga och praktiska konferensen "Kultur och samhälle: historia och modernitet" - Stavropol: AGRUS. - 2015. - S. 150-154.
↑ Melnikov R. A. Kort genomgång av utvecklingsstadierna för diofantiska ekvationer. Proceedings från den internationella vetenskaplig-praktiska konferensen "Matematik: grundläggande och tillämpad forskning och utbildning" - Ryazan: förlag av det ryska statsuniversitetet. S. A. Yesenina, 2016. - S. 429-435.
↑ Vorobyov N. N. Tecken på delbarhet . - M. : Nauka, 1988. - S. 60. - 96 sid. - ( Populära föreläsningar om matematik ).
↑ Diophantine set - artikel från Encyclopedia of Mathematics . Yu. V. Matiyasevich
↑ Matiyasevich Yu. V. Hilberts tionde problem . — M .: Nauka, 1993.

Länkar

Bashmakova, Isabella G. Diofantiska och diofantiska ekvationer. M.: Nauka, 1972. Tysk översättning: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basel/Stuttgart, 1974. Engelsk översättning: Diophantus and Diophantine Equations . Översatt av Abe Shenitzer med redaktionell hjälp av Hardy Grant och uppdaterad av Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
Bashmakova, Isabella G., Slavutin E.I. En historia av Diophantine Analys från Diophantus till Fermat . Moskva: Nauka, 1984.
Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat," Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), s. 289-306
Bashmakova, Izabella G. "Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré," Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
Gelfond AO Lösning av ekvationer i heltal . - M . : Nauka, 1978. - ( Populära föreläsningar om matematik ).
Mikhailov, I. On Diophantine Analysis , Kvant . - 1980. - Nr 6 . - S. 16-17.35 .
Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante: Lecture historique et mathématique , Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2013.
Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique: D'Abū Kāmil à Fermat , Berlin, New York: Walter de Gruyter.
Serpinsky VN Om lösningen av ekvationer i heltal . - M. : Fizmatlit, 1961. - 88 sid.
Stepanov S. A. Diofantiska ekvationer // Tr. MIAN USSR. - 1984. - T. 168 . — s. 31–45 .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .