Pythagoras trippel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 april 2022; kontroller kräver 10 redigeringar .

En pythagoras trippel är en ordnad uppsättning av tre naturliga tal som uppfyller en homogen andragradsekvation som beskriver Pythagoras sats . De kallas pytagoreiska tal . $x,\;y,\;z$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

En triangel med sidolängder som bildar en pytagoreisk trippel är en rätvinklig triangel och kallas även en pytagoreisk .

Primitiva trippel

Eftersom ovanstående ekvation är homogen , när den multipliceras med , och med samma naturliga tal, kommer en annan Pythagoras trippel att erhållas. En pythagoras trippel kallas primitiv om den inte kan erhållas på detta sätt från någon annan pythagoras trippel, det vill säga om de är relativt primtal . Med andra ord, den största gemensamma delaren för en primitiv pythagoras trippel är 1. $x$ $y$ $z$ $(x,y,z)$ $x,\;y,\;z$ $(x,y,z)$

I en primitiv trippel , siffrorna och har olika pariteter , och jämnt är delbart med 4, och är alltid udda. $(x,y,z)$ $x$ $y$ $z$

Varje primitiv pytagoreisk trippel , där är udda och är jämn, representeras unikt i formen för vissa naturliga coprimtal med olika paritet. $(x,y,z)$ $x$ $y$ $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$ $m>n$

Dessa siffror kan beräknas med hjälp av formlerna

{\begin{cases}m={\sqrt {\dfrac {z+x}{2))}={\dfrac ({\sqrt {z+y))+{\sqrt {zy))} {2)),\\n={\sqrt {\dfrac {zx}{2}}}={\dfrac {{\sqrt {z+y}}-{\sqrt {zy}}}{2}} .\end{cases}}

Tvärtom, alla sådana talpar definierar en primitiv pytagoreisk trippel [1] . $(m,\;n)$ $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$

Exempel

Det finns 16 primitiva Pythagoras trippel med : $z\leqslant 100$

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Alla trippel med är inte primitiva, till exempel erhålls (6, 8, 10) genom att multiplicera trippel (3, 4, 5) med två. Var och en av trippelna med en liten hypotenusa bildar en väldefinierad radiell rät linje från flera trippel i spridningsdiagrammet. $z\leqslant 100$

Primitiva trippel med : $100<z\leqslant 300$

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

De möjliga värdena i Pythagoras trippel bildar en sekvens (sekvens A009003 i OEIS ) $z$

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Baserat på egenskaperna hos Fibonacci-tal är det möjligt att bilda från dessa siffror, till exempel sådana pytagoreiska trippel:

x=F_{n}F_{n+3};\quad y=2F_{n+1}F_{n+2};\quad z=F_{n+1}^{2}+F_{ n+2}^{2}.

Historik

Den mest kända i utvecklade antika kulturer var de tre (3, 4, 5), som gjorde det möjligt för de gamla att bygga räta vinklar. Vitruvius ansåg att denna trippel var matematikens högsta prestation, och Platon - en symbol för äktenskap, vilket indikerar den stora vikt som de gamla fäste vid trippeln (3, 4, 5).

I arkitekturen av antika mesopotamiska gravstenar finns en likbent triangel, uppbyggd av två rektangulära med sidor på 9, 12 och 15 alnar. Faraos Snefrus pyramid (XXVII-talet f.Kr.) byggdes med hjälp av trianglar med sidorna 20, 21 och 29, samt 18, 24 och 30 tiotals egyptiska alnar.

Babyloniska matematiker visste hur man beräknade Pythagoras trippel. Den babyloniska lertavlan , kallad Plimpton 322 , innehåller femton pytagoreiska trillingar (närmare bestämt femton par siffror som t.ex. ). Man tror att denna tablett skapades runt 1800 f.Kr. e. [2] $a,c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Trippelgeneration

Euklids formel [3] är det huvudsakliga verktyget för att konstruera Pythagoras trippel. Enligt den, för alla par naturliga tal och ( ) heltal $m$ $n$ $m>n$

a=m^{2}-n^{2},\ b=2mn,\ c=m^{2}+n^{2}

bildar en pytagoreisk trippel. Trippel som bildas av Euklids formel är primitiva om och endast om båda är coprime och udda. Om och , och är udda, då , och kommer att vara jämna och trippeln är inte primitiv. Men att dividera och med 2 ger en primitiv trippel om och är coprime [4] . $m$ $n$ $mn$ $m$ $n$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$ $m$ $n$

Varje primitiv trippel erhålls från ett enda par av coprime tal och , varav en är jämn. Det följer att det finns oändligt många primitiva pythagoras trippel. $m$ $n$

Även om Euklids formel genererar alla primitiva trippel, genererar den inte alla trippel. När du lägger till en ytterligare parameter erhålls en formel som genererar alla Pythagoras trianglar på ett unikt sätt: $k$

a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ b=k\cdot (2mn),\ c=k\cdot (m^{2}+n^{2} ),

där , och är naturliga tal, , udda och coprime. $m$ $n$ $k$ $m>n$ $mn$ $m$ $n$

Att dessa formler bildar Pythagoras trippel kan verifieras genom att ersätta i och kontrollera att resultatet är detsamma som . Eftersom vilken pythagoreisk trippel som helst kan delas med några för att få en primitiv trippel, kan vilken trippel som helst skapas unikt med och för att skapa en primitiv trippel, och sedan multipliceras den med . $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ $k$ $m$ $n$ $k$

Sedan Euklids tid har många formler hittats för att generera tripletter.

Bevis på Euklids formler

Det faktum att talen , , , som uppfyller Euklids formel, alltid bildar en pytagoreisk triangel är uppenbart för positiva heltal och , , eftersom efter substitution i formlerna , och kommer att vara positiva tal, och även från det faktum att $a$ $b$ $c$ $m$ $n$ $m>n$ $a$ $b$ $c$

a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^ {2})^{2}=c^{2}.

Det omvända påståendet att , , uttrycks av Euklids formel för varje pytagoreisk trippel följer av följande [5] . Alla sådana trippel kan skrivas som ( , , ), där , och , , är coprime och och har motsatt paritet (en av dem är jämn, den andra är udda). (Om det har samma paritet med båda benen, då om de är jämna, kommer de inte att vara coprime, och om de är udda kommer det att ge ett jämnt tal, och det kan inte vara lika med udda .) Från vi får , och därför, . Sedan . Eftersom det är rationellt representerar vi det som en irreducerbar bråkdel . Härifrån får vi att bråkdelen är lika med . Lösa ekvationer $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a$ $b$ $c$ $b$ $c$ $c$ $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $c^{2}-a^{2}=b^{2}$ $(ca)(c+a)=b^{2}$ $(c+a)/b=b/(ca)$ $(c+a)/b$ $m/n$ $(ca)/b$ $n/m$

{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\ {\frac {c}{b}}-{\ frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}

i förhållande till och , vi får $c/b$ $a/b$

{\frac {c}{b}}={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn)),\ {\frac {a}{b}}={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.

Eftersom och är irreducerbara genom antagande, kommer täljare och nämnare att vara lika om och endast om högersidan av varje likhet är irreducerbara. Som vi kom överens om är fraktionen också irreducerbar, vilket betyder att och är coprime. De högra sidorna kommer att vara irreducerbara om och bara om och har motsatt paritet, så att täljaren inte är delbar med 2. (A och måste ha motsatt paritet - båda kan inte vara jämna på grund av irreducerbarhet, och om båda talen är udda, att dividera med 2 kommer att ge ett bråk , i täljaren och nämnaren av vilka det kommer att finnas udda tal, men detta bråktal är lika , där täljaren och nämnaren kommer att ha olika paritet, vilket motsäger antagandet.) Nu, likställa täljarna och nämnare får vi Euklidformeln , , med och coprime och har olika paritet . $c/b$ $a/b$ $m/n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $(m^{2}+n^{2})/(2mn)$ $c/b$ ${\displaystyle a=m^{2}-n^{2))$ $b=2mn$ ${\displaystyle c=m^{2}+n^{2))$ $m$ $n$

Ett längre men mer allmänt accepterat bevis ges i böckerna av Maor (Maor, 2007) [6] och Sierpinski [7] .

Tolkning av parametrar i Euklids formel

Låt sidorna av Pythagoras triangel vara , och . Låt oss beteckna vinkeln mellan benet och hypotenusan som . Sedan [8] $m^{2}-n^{2}$ $2 min$ $m^{2}+n^{2}$ $m^{2}-n^{2}$ $m^{2}+n^{2}$ $\theta$

\operatorname {tg} \theta ={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}},

\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {mn}{m+n}}.

Elementära egenskaper hos primitiva Pythagoras trippel

Egenskaper för en primitiv pytagoreisk trippel ( a , b , c ) , där a < b < c (utan att ange om a eller b är jämnt ):

$(ca)(cb)/2$ är alltid en perfekt kvadrat [9] . Detta är särskilt användbart för att kontrollera om en given trippel av tal är Pythagoras, även om detta inte är ett tillräckligt villkor. Trippeln (6, 12, 18) klarar detta test eftersom ( c − a )( c − b )/2 är en perfekt kvadrat, men denna trippel är inte pytagoreisk. Om en trippel av siffror a , b och c bildar en pytagoreisk trippel, så är talet ( c minus det jämna benet) och hälften av talet ( c minus det udda benet) perfekta kvadrater, men detta är inte ett tillräckligt villkor, och trippeln (1, 8, 9) är motexempel, eftersom 1 2 + 8 2 ≠ 9 2 .
Som mest är ett av talen a , b och c en kvadrat [10] .
Arean av en Pythagoras triangel kan inte vara en kvadrat [11] eller två gånger kvadraten [12] av ett naturligt tal.
Exakt ett av talen a och b är udda , c är alltid udda [13] .
Exakt ett av talen a och b är delbart med 3. [14]
Exakt ett av talen a och b är delbart med 4. [7]
Exakt ett av talen a , b och c är delbart med 5. [7]
Det maximala antalet som alltid delar produkten abc är 60. [15]
Alla primtalsfaktorer c är primtal av formen 4 n + 1 [16] . Så c har formen 4 n + 1 .
Talet ( b − a ) är en produkt av primtal av formen 8 n ± 1 , det vill säga det har inga faktorer som 2, 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53 , 59, 61, 67, 83, 101, ...
Arean ( K = ab /2 ) är ett jämnt kongruent tal [17] .
I vilken pytagoreisk trippel som helst är radien för den inskrivna cirkeln och radierna för de tre excirklarna naturliga tal. I synnerhet för en primitiv trippel är radien för den inskrivna cirkeln r = n ( m − n ) , och radierna för excirklarna som tangerar benen m 2 − n 2 , 2 mn , och hypotenusan m 2 + n 2 är m ( m − n ) , n ( m + n ) respektive m ( m + n ) [18] .
Som med vilken rätvinklig triangel som helst, säger inversen av Thales sats att diametern på den omskrivna cirkeln är lika med hypotenusan. Eftersom för primitiva trippel är diametern √ m 2 + n 2 , är radien för den omskrivna cirkeln hälften av detta tal, och detta tal är rationellt, men inte ett heltal (eftersom m och n har olika paritet).
Om arean av Pythagoras triangel multipliceras med krökningarna av den inskrivna cirkeln och de tre excirklarna, blir resultatet fyra positiva heltal w > x > y > z , respektive. Dessa tal w , x , y , z uppfyller ekvationen för kartesiska cirklar [19] . På motsvarande sätt är radien för den yttre Soddy-cirkeln varje rätvinklig triangel lika med dess semiperimeter. Soddys yttre centrum ligger vid punkt D , där ACBD är en rektangel, ACB är en rätvinklig triangel och AB är dess hypotenusa. [tjugo]
Det finns inga pytagoreiska trippel där hypotenusan och ett av benen är ben av en annan pythagoras trippel. Detta är en av formuleringarna av Fermats rättriangelsats [21] .
Varje primitiv pythagoras triangel har ett unikt förhållande mellan area och kvadrat halvperimeter (det vill säga förhållandena för olika primitiva trianglar är olika), och detta förhållande är [22] ${\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(mn)}{m(m+n)))=1-{\frac {c}{s}}.$
I ingen primitiv pytagoreisk triangel uttrycks höjden baserad på hypotenusan som ett heltal, och den kan därför inte delas upp i två pythagoras trianglar. [23]

Dessutom kan det finnas speciella Pythagoras trippel med några ytterligare egenskaper:

Varje heltal större än 2 som inte är kongruent med 2 modulo 4 (med andra ord, om det är större än 2 och inte har formen 4 n + 2) är en del av en primitiv pythagoras trippel.
Vilket heltal som helst som är större än 2 finns i en primitiv eller icke-primitiv Pythagoras trippel. Till exempel ingår inte talen 6, 10, 14 och 18 i någon primitiv trippel, utan ingår i trippeln 6, 8, 10; 14, 48, 50 och 18, 80, 82.
Det finns oändligt många pythagoras trippel där hypotenusan och den största av benen skiljer sig åt med exakt en (sådana trippel är uppenbarligen primitiva). Ett av sätten att erhålla sådana trippel är likheten (2 n + 1) 2 + [2 n ( n + 1)] 2 = [2 n ( n + 1) + 1] 2 , vilket resulterar i trippel (3, 4 ) , 5) , (5, 12, 13) , (7, 24, 25) , etc. Ett mer allmänt uttalande: för alla udda heltal j , finns det oändligt många primitiva pytagoreiska trippel där hypotenusan och det jämna benet skiljer sig med j 2 .
Det finns oändligt många primitiva pytagoreiska trippel där hypotenusan och det längre benet skiljer sig med exakt två. Generalisering: För vilket heltal som helst k > 0 finns det oändligt många primitiva pythagoras trippel där hypotenusan och det udda benet skiljer sig med 2 k 2 .
Det finns oändligt många Pythagoras trippel där två ben skiljer sig med exakt ett. Till exempel, 20 2 + 21 2 = 29 2 .
För varje naturligt tal n finns det n pytagoreiska trippel med olika hypotenusor och samma area.
För varje naturligt tal n finns det minst n olika pytagoreiska trippel med samma ben a , där a är ett naturligt tal
För varje naturligt tal n finns det minst n distinkta pythagoras trippel med samma hypotenusa. [24]
Det finns oändligt många pytagoreiska trippel vars kvadrater är hypotenusan c och summan av benen a + b . I den minsta sådan trippel [25] a = 4 565 486 027 761 ; b = 1061652293520 ; c = 4687298610289 . Här är a + b = 2 372 159 2 och c = 2 165 017 2 . I Euklids formel motsvarar dessa värden m = 2 150 905 och n = 246 792 .
Det finns Pythagoras trianglar med en heltalshöjd baserad på hypotenusan . Sådana trianglar är kända som nedbrytbara eftersom de kan sönderdelas av denna höjd till två mindre Pythagoras trianglar. Ingen av de brutna trianglarna bildas av en primitiv trippel [26] .
Uppsättningen av alla primitiva pythagoras trianglar bildar ett rotat ternärt träd på ett naturligt sätt, se Träd av primitiva pythagoras trianglar .

Det är inte känt om det finns två olika Pythagoras trippel med samma produkt av deras antal [27] .

Geometri av Euklids formel

Euklids formel för en pythagoras trippel

a=m^{2}-n^{2},\ b=2mn,\ c=m^{2}+n^{2}

kan förstås i termer av geometrin för rationella punkter på enhetscirkeln [28] . Låt det finnas en triangel med benen a och b och hypotenusan c , där a , b och c är positiva heltal. Enligt Pythagoras sats, a 2 + b 2 = c 2 , och efter att ha dividerat båda sidor med c 2

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1.

Geometriskt en punkt på ett kartesiskt plan med koordinater

x={\frac {a}{c)],\ y={\frac {b}{c))

ligger på enhetscirkeln x 2 + y 2 = 1 . I denna ekvation ges x- och y -koordinaterna av rationella tal. Omvänt ger vilken punkt som helst på cirkeln med rationella koordinater x och y en primitiv pytagoreisk trippel. Låt oss faktiskt skriva x och y som irreducerbara bråk :

x={\frac {a}{c)),\ y={\frac {b}{c)),

där den största gemensamma delaren för talen a , b och c är 1. Eftersom punkten med koordinaterna x och y ligger på enhetscirkeln, så

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1\implicerar a^ {2}+b^{2}=c^{2},

Q.E.D.

Det finns alltså en överensstämmelse mellan punkter med rationella koordinater på enhetscirkeln och primitiva pytagoreiska trianglar. Från detta kan Euclids formler erhållas med trigonometriska metoder eller genom att använda stereografisk projektion .

För att tillämpa den stereografiska metoden, antag att P′ är en punkt på x -axeln med rationella koordinater

P'=\left({\frac {m}{n)),0\right).

Sedan kan man med hjälp av algebraiska beräkningar visa att punkten P har koordinater

P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2 }+1)),{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right) ^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2 }}{m^{2}+n^{2}}}\höger).

Således får vi att varje rationell punkt x -axeln motsvarar en rationell punkt i enhetscirkeln. Omvänt, låt P ( x , y ) vara en punkt på enhetscirkeln med rationella koordinater x och y . Då har den stereografiska projektionen P′ på x -axeln rationella koordinater

\left({\frac {x}{1-y)),0\right).

När det gäller algebraisk geometri är den algebraiska variationen av rationella punkter på enhetscirkeln birational till den affina linjen över de rationella talen. Enhetscirkeln kallas då en rationell kurva . Överensstämmelsen mellan rationella punkter på en linje och en cirkel gör det möjligt att ge en explicit parametrisering av (rationella) punkter på en cirkel med hjälp av rationella funktioner.

Gruppen av Pythagoras trippel

Vilken rationell punkt som helst på enhetscirkeln motsvarar en pytagoreisk trippel ( a , b , c ) , närmare bestämt en generaliserad pythagoras trippel, eftersom a och b kan vara noll och negativa.

Låt två pytagoreiska trianglar ( a 1 , b 1 , c 1 ) och ( a 2 , b 2 , c 2 ) med vinklarna α och β ges . Du kan konstruera trianglar med vinklarna α ± β med hjälp av vinkeladditionsformlerna:

{\frac {a}{c}}=\sin(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha )\cdot \cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\cdot \ sin(\beta )={\frac {a_{1}b_{2}\pm b_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}},

{\frac {b}{c}}=\cos(\alpha \pm \beta )=\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\mp \sin(\alpha )\cdot \ sin(\beta )={\frac {b_{1}b_{2}\mp a_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}}.

Dessa rätvinkliga trianglar kommer också att vara heltal, det vill säga Pythagoras. Du kan ange en operation på trippel med formlerna ovan. Denna operation kommer att vara kommutativ och associativ, det vill säga generaliserade Pythagoras trippel bildar en Abelisk grupp [29] .

Pythagoras tredubblar på ett tvådimensionellt gitter

Ett tvådimensionellt gitter är en uppsättning isolerade punkter där, om en punkt väljs som origo (0, 0), alla andra punkter har koordinater ( x , y ) , där x och y går genom alla positiva och negativa heltal . Vilken pytagoreisk trippel ( a , b , c ) som helst kan ritas på ett tvådimensionellt gitter som punkter med koordinater ( a , 0 ) och (0, b ) . Enligt Picks teorem ges antalet gitterpunkter som ligger strikt innanför triangeln av formeln [30] . För primitiva Pythagoras trippel är antalet gitterpunkter , och detta är jämförbart med arean av en triangel $[(a-1)(b-1)-\gcd(a,b)+1]/2$ $(a-1)(b-1)/2$ $ab/2.$

Det är intressant att det första fallet av sammanträffande av områdena för primitiva Pythagoras trippel uppträder på trippel (20, 21, 29), (12, 35, 37) med en yta på 210 [31] . Det första uppträdandet av primitiva pytagoreiska trippel med samma antal gitterpunkter visas endast på ( 18 108 , 252 685 , 253 333 ), ( 28 077 , 162 964 , 165 365 ) med antalet punkter 2 328 7 [6428] . Tre primitiva pytagoreiska trippel med samma områden (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19 019 , 19 069 ) och område 13 123 110 finns . Ändå har inte en enda trippel av primitiva Pythagoras trippel med samma antal gitterpunkter ännu hittats.

Spinors och den modulära gruppen

Pythagoras trippel kan representeras som matriser av formen

X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.

Denna typ av matris är symmetrisk . Dessutom dess avgörande

{\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2))

är noll exakt när ( a , b , c ) är en pytagoreisk trippel. Om X motsvarar en pytagoreisk trippel, måste den ha rang 1.

Eftersom X är symmetrisk är det känt från linjär algebra att det finns en vektor ξ = [ m n ] T så att den yttre produkten uppfyller

X=2{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}=2\xi \xi ^{T},

(ett)

där T står för transponera . Vektorn ξ kallas en spinor (för Lorentz-gruppen SO(1, 2). I abstrakta termer betyder Euklids formel att varje primitiv pytagoreisk trippel kan skrivas som den yttre produkten av en spinor med heltalselement, som i formel (1) ).

Den modulära gruppen Γ är uppsättningen av 2 × 2 matriser med heltalsposter

A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

och determinant lika med ett: αδ − βγ = 1 . Denna mängd bildar en grupp eftersom inversen av en matris från Γ återigen är en matris från Γ , liksom produkten av två matriser från Γ . Den modulära gruppen verkar på uppsättningen av alla heltalsspinorer. Dessutom är gruppen transitiv på uppsättningen av heltalsspinorer med coprime-element. Om [ m n ] T innehåller coprime-element, då

{\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end {bmatrix}},

där u och v är valda (med Euklids algoritm ) så att mu + nv = 1 .

Verkar på spinorn ξ i (1), åtgärden i Γ går över till verkan på Pythagoras trippel, samtidigt som trippel med negativa värden tillåts. Om A är en matris i Γ , då

{\displaystyle 2(A\xi )(A\xi )^{T}=AXA^{T))

(2)

ger upphov till operationer på matrisen X i (1). Detta ger inte en väldefinierad handling på primitiva trippel, eftersom det kan ta en primitiv trippel till en icke-primitiv. Vid denna tidpunkt är det vanligt (efter Trautman [28] ) att kalla en trippel ( a , b , c ) standard om c > 0 och antingen ( a , b , c ) är coprime eller ( a /2, b /2, c / 2) är coprime och a /2 är udda. Om spinorn [ m n ] T har coprime-element, så är den associerade trippeln ( a , b , c ) som ges av formel (1) en standardtrippel. Detta innebär att funktionen hos den modulära gruppen är transitiv på uppsättningen av standardtrippel.

Alternativt begränsar vi oss till de värden för m och n där m är udda och n är jämnt. Låt undergruppen Γ (2) i gruppen Γ vara kärnan i homomorfismen

\Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2}),

där SL(2, Z 2 ) är en speciell linjär grupp över ett ändligt fält Z 2 av heltal modulo 2 . Då är Γ (2) en grupp av unimodulära transformationer som bevarar pariteten för varje element. Således, om elementet i vektorn ξ är udda och det andra elementet är jämnt, så gäller detsamma för Aξ för alla A ∈ Γ(2) . I själva verket, under verkan av (2), verkar gruppen Γ (2) transitivt på uppsättningen av primitiva Pythagoras trippel [33] .

Gruppen Γ (2) är en fri grupp vars generatorer är matriserna

U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix)),\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix)).

Därför kan vilken primitiv pythagoras trippel som helst erhållas unikt som en produkt av kopior av matriserna U och L .

Förälder-barn relationer

Som Berggren [34] visade kan alla primitiva Pythagoras trippel erhållas från triangeln (3, 4, 5) med hjälp av tre linjära transformationer T1, T2, T3, där a , b , c är sidorna av trippeln:

	ny sida a	ny sida b	ny sida c
T1:	a − 2 b + 2 c	2a − b + 2 c	2a − 2b + 3c _
T2:	a + 2 b + 2 c	2a + b + 2 c	2a + 2b + 3c _
T3:	− a + 2 b + 2 c	−2 a + b + 2 c	−2 a + 2 b + 3 c

Om du börjar med 3, 4, 5 kommer alla andra primitiva trippel så småningom att erhållas. Med andra ord kommer varje primitiv trippel vara "föräldern" till ytterligare 3 primitiva trippel. Om vi börjar med a = 3, b = 4 och c = 5, så kommer nästa generation av tripletter att vara

ny sida a	ny sida b	ny sida c
3 − (2×4) + (2×5) = 5	(2×3) − 4 + (2×5) = 12	(2×3) − (2×4) + (3×5) = 13
3 + (2x4) + (2x5) = 21	(2x3) + 4 + (2x5) = 20	(2x3) + (2x4) + (3x5) = 29
−3 + (2×4) + (2×5) = 15	−(2×3) + 4 + (2×5) = 8	−(2×3) + (2×4) + (3×5) = 17

De linjära transformationerna T1, T2 och T3 har en geometrisk tolkning på kvadratiska former. De är nära besläktade (men inte ekvivalenta) med reflektioner som genereras av den ortogonala gruppen x 2 + y 2 − z 2 över heltal. En annan uppsättning av tre linjära transformationer diskuteras i artikeln Generating Pythagorean triples using matrices and linear transformations [35] .

Förhållande med Gaussiska heltal

Euklids formler kan analyseras och bevisas med Gaussiska heltal [36] . Gaussiska heltal är komplexa tal av formen α = u + vi , där u och v är vanliga heltal och i är roten till minus ett . Enheterna för Gaussiska heltal är ±1 och ±i. Vanliga heltal kallas heltal och betecknas med Z . Gaussiska heltal betecknas med Z [ i ]. Den högra sidan av Pythagoras sats kan delas upp i Gaussiska heltal:

c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\överlinje {(a+bi)}=(a+bi)(a-bi).

En primitiv pythagoras trippel är en trippel där a och b är coprime , det vill säga de har inga gemensamma primtalsdelare. För sådana trillingar är antingen a eller b jämnt och det andra är udda. Därav följer att c också är udda.

Var och en av de två faktorerna z = a + bi och z* = a - bi för en primitiv pytagoreisk trippel är lika med kvadraten på ett Gaussiskt heltal. Detta kan bevisas med hjälp av egenskapen att alla Gaussiska heltal kan sönderdelas unikt i Gaussiska primtal upp till ett [37] . (Det unika med expansionen, grovt sett, följer av det faktum att en version av Euklids algoritm kan definieras för dem .) Beviset har tre steg. För det första är det bevisat att om a och b inte har några primtal i heltal, så har de inga primtal gemensamma faktorer i Gaussiska heltal. Detta innebär att z och z* inte har gemensamma primtalsfaktorer i Gaussiska heltal. Slutligen, eftersom c 2 är en kvadrat, upprepas alla Gaussiska primtal i expansionen två gånger. Eftersom z och z* inte har gemensamma primfaktorer gäller denna fördubbling även för dem. Därför är z och z* kvadrater.

Den första faktorn kan alltså skrivas som

a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.

De verkliga och imaginära delarna av denna ekvation ger två formler:

{\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1 ,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2} -n^{2}\right).\end{case}}

För varje primitiv pythagoras trippel måste det finnas heltal m och n så att dessa två likheter håller. Därför kan vilken pythagorisk trippel som helst erhållas genom att välja dessa heltal.

Som hela kvadraten av Gaussiska heltal

Om vi tar kvadraten av ett Gaussiskt heltal får vi följande tolkning av Euklids formler som en representation av hela kvadraten av Gaussiska heltal.

(m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.

Med hjälp av det faktum att Gaussiska heltal är en euklidisk domän, och att för Gaussiska heltal p, kvadraten på modulen alltid är en perfekt kvadrat, kan det visas att Pythagoras trippel motsvarar kvadraterna av primtal Gaussiska heltal om hypotenusan är ett primtal siffra. $|p|^{2}$

Fördelning av tripletter

Det finns många resultat på fördelningen av Pythagoras trippel. Det finns några uppenbara mönster i scatterplotten. Om benen ( a , b ) av en primitiv trippel förekommer i diagrammet, måste alla produkter med ett heltal av dessa ben också finnas i diagrammet, och denna egenskap förklarar utseendet på radiella linjer från ursprunget i diagrammet.

Diagrammet visar många paraboler med hög täthet av punkter som har foci i origo. Paraboler reflekteras från axlarna med en vinkel på 45 grader, och vid samma punkt närmar sig den tredje parabeln axeln vinkelrätt.

Dessa mönster kan förklaras enligt följande. Om ett naturligt tal är ( a , , ) en pytagoreisk trippel. (I själva verket kan vilken pytagoreisk trippel ( a , b , c ) som helst skrivas på detta sätt med ett heltal n , kanske efter att ha bytt a och b , eftersom både a och b inte kan vara udda samtidigt.) Pythagoras trippel ligger då på de kurvor som ges av ekvationerna . Således reflekteras parabolerna från a -axeln och motsvarande kurvor med a och b byts ut. Om a varierar för ett givet n (det vill säga på en vald parabel) visas heltalsvärden av b relativt ofta om n är en kvadrat eller produkten av en kvadrat och ett litet tal. Om några sådana värden ligger nära varandra, sammanfaller motsvarande paraboler nästan och trippeln bildar ett smalt paraboliskt band. Till exempel, 38 2 = 1444, 2 × 27 2 = 1458, 3 × 22 2 = 1452, 5 × 17 2 = 1445 och 10 × 12 2 = 1440. Motsvarande paraboliska band runt n ≈ 145 är tydligt synligt i scatterplot. $a^{2}/4n$ $|na^{2}/4n|$ $n+a^{2}/4n$ $n=(b+c)/2$ $b=|na^{2}/4n|$

De ovan beskrivna vinkelegenskaperna följer omedelbart av den funktionella formen av paraboler. Parabolerna reflekteras från a -axeln i punkten a = 2 n och derivatan av b med avseende på a vid denna punkt är lika med −1. Således är lutningsvinkeln 45°. Eftersom kluster, som trianglar, upprepas när de multipliceras med en heltalskonstant, tillhör även värdet 2 n klustret. Motsvarande parabel skär b -axeln i rät vinkel i punkten b = 2 n , och är därför en symmetrisk reflektion av parabeln som erhålls genom att byta ut variablerna a och b och som skär a-axeln i rät vinkel vid punkten a = 2 n .

Albert Fässler et al har visat betydelsen av dessa paraboler i samband med konforma kartläggningar [38] [39] .

Särskilda tillfällen

Platons sekvens

Fallet n = 1 av den allmänna konstruktionen av Pythagoras trippel har länge varit känt. Proclus beskriver i sin kommentar till det 47:e uttalandet i den första boken av Euclids Principia det på följande sätt:

Vissa metoder för att erhålla sådana trianglar av detta slag är lätta att få, en av dem tillhör Platon , den andra till Pythagoras . (Sista) började med udda nummer. För att göra detta valde han ett udda nummer som det minsta av benen. Sedan kvadrerade han det, subtraherade ett och använde hälften av denna skillnad som det andra benet. Till slut lade han en till detta ben och fick hypotenusan.

…Platons metod fungerar med jämna tal. Den använder det givna jämna numret som ett av benen. Hälften av detta tal är kvadratiskt och ett adderas för att ge hypotenusan, och subtrahera en ger det andra benet. ... Och detta ger samma triangel som den andra metoden.

I form av ekvationer:

a är udda (Pythagoras, 540 f.Kr.): $a:b={\frac {a^{2}-1}{2}}:c={\frac {a^{2}+1}{2}}.$
a är jämnt (Platon, 380 f.Kr.): $a:b=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-1:c=\left({\frac {a}{2}}\right)^{ 2}+1.$

Det kan visas att alla pytagoreiska trippel erhålls från den platonska sekvensen ( x , y , z ) = p , ( p 2 − 1)/2 och ( p 2 + 1)/2 om p tillåts ta icke-heltal (rationella) värden. Om p i denna sekvens ersätts med en rationell bråkdel m / n , får vi "standard" generatorn av trippel 2 mn , m 2 − n 2 och m 2 + n 2 . Det följer att varje trippel motsvarar ett rationellt värde p , som kan användas för att erhålla en liknande triangel med rationella sidor proportionella mot sidorna av den ursprungliga triangeln. Till exempel skulle den platonska motsvarigheten till trippeln (6, 8, 10) vara (3/2; 2, 5/2).

Jacobi-Madden ekvation

Ekvationen

{\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4))

motsvarar den speciella diofantiska trippeln

(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^ {2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}.

Det finns ett oändligt antal lösningar till denna ekvation som kan erhållas med hjälp av en elliptisk kurva . Två av dessa lösningar:

a,b,c,d=-2634,955,1770,5400,

a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150.

Lika summor av två kvadrater

Ett sätt att generera lösningar för är att parametrisera a , b , c , d i termer av naturliga tal m , n , p , q enligt följande: [40] $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$

(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}= (mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.

Lika summor av två fjärde potenser

Givet två uppsättningar av Pythagoras trippel:

(a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2},

(c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2},

sedan problemet med att hitta lika produkter av benet och hypotenusan

(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+ d^{2}),

som det är lätt att se, motsvarar ekvationen

a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4},

som Euler fick lösningen för . Eftersom han visade att denna punkt är en rationell punkt på en elliptisk kurva , finns det ett oändligt antal lösningar. Faktum är att han också hittade en polynomparametrisering av 7:e graden. $a,b,c,d=133,59,158,134$

Descartes cirkelsats

När det gäller Descartes sats , när alla variabler är kvadrater,

2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d ^{2})^{2}.

Euler visade att detta motsvarar tre Pythagoras trippel:

(2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},

(2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2},

(2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}.

Även här finns det ett oändligt antal lösningar, och för ett specialfall förenklar ekvationen till $a+b=c$

4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2},

som har en lösning med små tal och kan lösas som en binär kvadratisk form . $a,b,c,d=3,5,8,14$

Nästan likbenta Pythagoras trippel

Det finns rätvinkliga trianglar med heltalssidor, där benens längder skiljer sig åt med en, till exempel:

3^{2}+4^{2}=5^{2},

20^{2}+21^{2}=29^{2}

och ett oändligt antal andra. För dem kan vi härleda en allmän formel

\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{2}=y ^{2},

där ( x , y ) är lösningar till Pells ekvation . $x^{2}-2y^{2}=-1$

I fallet när benet och hypotenusan skiljer sig med en, som i fallen

5^{2}+12^{2}=13^{2},

7^{2}+24^{2}=25^{2},

den allmänna lösningen skulle vara

(2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2},

varifrån det kan ses att alla udda tal (större än 1) förekommer i primitiva pytagoreiska trippel.

Generaliseringar

Det finns flera alternativ för att generalisera begreppet Pythagoras trippel.

Pythagoras fyrdubblar

En uppsättning av fyra naturliga tal a , b , c och d så att a 2 + b 2 + c 2 = d 2 kallas Pythagoras fyrdubbla . Det enklaste exemplet är (1, 2, 2, 3) eftersom 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3 2 . Nästa (primitiva) enklaste exempel är (2, 3, 6, 7) eftersom 2 2 + 3 2 + 6 2 = 7 2 .

Alla fyra ges av formeln

(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}+(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}= (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}.

Pythagoras n -uppsättningar

Använder en enkel algebraisk identitet

(x_{1}^{2}-x_{0})^{2}+(2x_{1})^{2}x_{0}=(x_{1}^{2}+x_{ 0})^{2}

för godtycklig x 0 , x 1 är det lätt att bevisa att kvadraten på summan av n kvadrater i sig är summan av n kvadrater, för vilka vi sätter x 0 = x 2 2 + x 3 2 + … + x n 2 och expandera fästena [41] . Det kan lätt ses att pythagoras trippel och fyrlingar bara är specialfall av x 0 = x 2 2 respektive x 0 = x 2 2 + x 3 2 , som kan fortsättas för andra n med femkvadratformeln

(a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}+(2ab)^{2}+(2ac)^{2}+( 2ad)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}.

Eftersom summan F ( k , m ) av k på varandra följande kvadrater, med start från m 2 , ges av formeln [42]

F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6)),

man kan hitta värden ( k , m ) så att F ( k , m ) är en kvadrat. Således hittade Hirshhorn en formel för sekvenser där antalet termer i sig är en kvadrat [43] ,

m={\frac {v^{4}-24v^{2}-25}{48)),k=v^{2},\ F(m,k)={\frac {v^ {5}+47v}{48}}

och v ⩾ 5 är vilket naturligt tal som helst som inte är delbart med 2 eller 3. Det minsta värdet är v = 5, varav k = 25, vilket ger det välkända värdet från Lucas kanonkulalagringsproblem:

0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2},

ett faktum som är relaterat till Leach-gittret .

Dessutom, om i en pytagoreisk n - tupel ( n ⩾ 4) alla termer är på varandra följande naturliga tal, förutom det sista, kan man använda likheten [44]

F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}.

Eftersom andra potensen av p upphävs kvarstår en linjär ekvation som lätt kan lösas , även om k och m måste väljas så att p är ett heltal, och exemplet erhålls med k = 5 och m = 1: $p=(F(k,m)-1)/2$

1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}.

Således får vi en metod för att generera Pythagoras n -tupler genom att välja x [45] :

x^{2}+(x+1)^{2}+\dots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},

där q = n − 2 och

p={\frac {1}{2}}\left((q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1) )}{6}}-1\höger).

Fermats sista sats

En generalisering av begreppet Pythagoras trippel är sökandet efter trippel av naturliga tal a , b och c så att a n + b n = c n för något n större än 2. Pierre de Fermat 1637 uppgav att det inte finns några sådana trippel , och detta påstående blev känt som Fermats sista teorem eftersom det tog mycket längre tid att bevisa eller motbevisa än någon av Fermats andra hypoteser. Det första beviset gavs av Wiles 1994.

n - 1 eller n n :te potens som n :te potens

En annan generalisering är att hitta sekvenser av n + 1 naturliga tal för vilka den n :te potensen av den sista termen i sekvensen är lika med summan av de n :te potenserna av de föregående termerna. De minsta sekvenserna för kända värden på n är:

n = 3: {3, 4, 5; 6}.
n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

I en något annorlunda generalisering är summan av ( k + 1) n:te potenser lika med summan av ( n − k ) n:te potenser. Till exempel:

( n = 3): 13 + 123 = 93 + 103 . Ett exempel blev känt efter Hardys minne av ett samtal med Ramanujan om talet 1729, vilket är det minsta tal som kan representeras som summan av två kuber på två olika sätt.

Det kan också finnas n − 1 n:te potenser av naturliga tal som summerar till n :te potensen av ett naturligt tal (även om, enligt Fermats sista sats , inte för n = 3). Dessa sekvenser är motexempel till Eulers gissning . Minst kända motexempel [46] [47]

n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Trippel av Herons triangel

Herons triangel definieras vanligtvis som en triangel med heltalssidor vars area också är ett heltal, och vi kommer att anta att triangelns sidor är distinkta . Längden på sidorna i en sådan triangel bildar en heronisk trippel ( a, b, c ), där a < b < c . Det är tydligt att pythagoras trippel är heronisk trippel, eftersom i en pythagoras trippel är minst ett av benen a och b ett jämnt tal, så arean av triangeln ab /2 kommer att vara ett heltal. Inte varje trippel av Heron är pytagoreisk, eftersom till exempel trippeln (4, 13, 15) med area 24 inte är pytagoreisk.

Om ( a , b , c ) är en Heron-trippel, så kommer ( ma , mb , mc ) så att göra för alla naturliga m större än en. En heronisk trippel ( a , b , c ) är primitiv om a , b och c är parvis coprime (som är fallet för Pythagoras trippel). Nedan finns flera heroniska trippel som inte är Pythagoras:

(4, 13, 15) med en yta på 24, (3, 25, 26) med område 36, (7, 15, 20) med område 42, (6, 25, 29) med område 60, (11, 13, 20) med område 66, (13, 14, 15) med område 84, (13, 20, 21) med en yta på 126.

Enligt Herons formel , för att en trippel av naturliga tal ( a , b , c ) med en < b < c ska vara en Heron-trippel, är det nödvändigt att

( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 )

eller, vilket är detsamma,

2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 )

var en perfekt kvadrat som inte är noll delbar med 16.

Användning

Primitiva Pythagoras trippel används i kryptografi som slumpmässiga sekvenser och för nyckelgenerering [48] .

Se även

Anteckningar

↑ V. Serpinsky . Pythagoras trianglar. - M . : Uchpedgiz, 1959. - 111 sid.
↑ Robson, Eleanor (februari 2002), Ord och bilder: nytt ljus på Plimpton 322 , American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). — V. 109(2): 105–120, doi : 10.2307/2695324 , < http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf > Arkiverad kopia daterad 10 augusti 2017 på Wayback Machine
↑ D.E. Joyce. Euklids element. - Clark University, juni 1997. - C. Bok X, Proposition XXIX .
↑ Douglas W. Mitchell. En alternativ karaktärisering av alla primitiva Pythagoras trippel // The Mathematical Gazette. - Juli 2001. - T. 85 , nr. 503 . — S. 273–5 . — .
↑ Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Bevis utan ord: Fler övningar i visuellt tänkande / Roger B. Nelsen. - Mathematical Association of America , 2000. - Vol. II . - S. 120 . - ISBN 978-0-88385-721-2 .
↑ Eli Major. Pythagoras sats . - Princeton University Press, 2007. - C. Appendix B.
↑ 1 2 3 Sierpinski, 2003 .
↑ Houston, 1993 , sid. 141.
↑ Posamentier, 2010 , sid. 156.
↑ Icke-existens av en lösning där både a och b är kvadrater, ursprungligen bevisat av Pierre de Fermat . För andra fall där c är en av kvadraterna, se Stillwells bok.
↑ Carmichael, 1959 , sid. 17.
↑ Carmichael, 1959 , sid. 21.
↑ Sierpinski, 2003 , sid. 4-6.
↑ Sierpinski, 2003 , sid. 23-25.
↑ MacHale, Bosch, 2012 , sid. 91-96.
↑ Sally, 2007 , sid. 74-75.
↑ Detta följer av det faktum att ett av talen a eller b är delbart med fyra, och av definitionen av kongruenta tal som arean av rätvinkliga trianglar med rationella sidor
↑ Baragar, 2001 , sid. 301, övning 15.3.
↑ Bernhart, Price, 2005 .
↑ Bernhart, Price, 2005 , sid. 6.
↑ Carmichael, 1959 , sid. fjorton.
↑ Rosenberg, Spillane, Wulf, maj 2008 , sid. 656-663.
↑ Paul Yiu, 2008 .
↑ Sierpinski, 2003 , sid. 31.
↑ Pickover, 2009 , sid. 40.
↑ Paul Yiu, 2008 , sid. 17.
↑ Weisstein, Eric W. Pythagoras trippel på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ 12 Trautman , 1998 .
↑ Eckert, 1984 .
↑ Paul Yiu, 2003 .
↑ Sekvens A093536 i OEIS .
↑ Sekvens A225760 i OEIS .
↑ Alperin, 2005 .
↑ Berggren, 1934 .
↑ Ytterligare diskussion om förälder-barn-relationen - Pythagoras trippel (Wolfram) Arkiverad 17 mars 2015 på Wayback Machine , Alperin, 2005 .
↑ Stillwell, 2002 , sid. 110–2 Kapitel 6.6 Pythagoras trippel.
↑ Gauss, 1832 Se även Werke , 2 :67-148.
↑ 1988 Preprint Arkiverad 9 augusti 2011 på Wayback Machine Se figur 2 på sid. 3. Detta publicerades senare i ( Fässler 1991 )
↑ Benito, Varona, 2002 , sid. 117–126.
↑ Nahin, Paul. An Imaginary Tale: The Story of sid. 25-26. ${\sqrt {-1}),$
↑ En samling algebraiska identiteter: Summor av n kvadrater . Hämtad 15 mars 2015. Arkiverad från originalet 6 mars 2012. (obestämd)
↑ Summan av på varandra följande kuber är lika med en kub (nedlänk) . Arkiverad från originalet den 15 maj 2008. (obestämd)
↑ Michael Hirschhorn. När är summan av på varandra följande kvadrater en kvadrat? // Matematisk tidning. - November 2011. - T. 95 . — S. 511–2 . — ISSN 0025-5572 .
↑ John F. Jr. Goehl. Läsarreflektioner // Matematiklärare. - Maj 2005. - T. 98 , nr. 9 . - S. 580 .
↑ John F. Goehl, Jr. Trippel, kvartetter, pentads // Matematiklärare. - Maj 2005. - T. 98 . - S. 580 .
↑ Scott Kim. Bogglers // Upptäck . - Maj 2002. - S. 82 .
Ekvationen är mer komplicerad, först 1988, efter 200 år av misslyckade försök av matematiker att bevisa omöjligheten att lösa ekvationen, hittade Noam Elkis från Harvard ett motexempel - 2.682.440 4 + 15.365.639.76.639 4 + 20.615.673 4 : ${\displaystyle w^{4}+x^{4}+y^{4}=z^{4))$
Noam Elkies. På A 4 + B 4 + C 4 = D 4 // Mathematics of Computing. - 1988. - T. 51 . — S. 825–835 .
↑ MacHale, Bosch, 2012 , sid. 91-96.
↑ S. Kak, M. Prabhu. Kryptografiska tillämpningar av primitiva Pythagoras trippel // Cryptologia. - 2014. - T. 38 , nr. 3 . - S. 215-222 .

Litteratur

RD Carmichael. Talteorin och diofantanalys . - Dover Publ, 1959. - C. Diophantine analysis.
Waclaw Sierpinski. Pythagoras trianglar. - Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .
John Stillwell. siffror och geometri. - Springer, 1998. - S. 133. - (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 9780387982892 .
Thomas Koshy. Elementär talteori med tillämpningar. - Academic Press, 2002. - S. 545. - ISBN 9780124211711 .
David Houston. Bevis utan ord: övningar i visuellt tänkande / Roger B. Nelsen. - Mathematical Association of America, 1993. - S. 141. - ISBN 978-0-88385-700-7 .
Alfred S. Posamentier. Pythagoras sats: Berättelsen om dess kraft och skönhet . - Prometheus Books, 2010. - ISBN 9781616141813 .
Des MacHale, Christian van den Bosch. Generalisera ett resultat om Pythagoras trippel // Mathematical Gazette . - 2012. - T. 96 .
Judith D. Sally. Rötter till forskning: En vertikal utveckling av matematiska problem. - American Mathematical Society, 2007. - ISBN 9780821872673 . .
Neal Koblitz. Introduktion till elliptiska kurvor och modulära former. - Springer, 1993. - V. 97. - (Examinerade texter i matematik). — ISBN 9780387979663 .
Arthur Baragar. En undersökning av klassiska och moderna geometrier: med datoraktiviteter . - Prentice Hall, 2001. - ISBN 9780130143181 .
Paul Yiu. Hägertrianglar som inte kan dekomponeras i två rätvinkliga heltalstrianglar. - 41:a mötet i Floridas sektion av Mathematical Association of America, 2008.
Clifford A. Pickover. Matematikboken. - Sterling, 2009. - P. Kapitel "Pythagoreans sats och trianglar". — ISBN 1402757964 .
John Stillwell. Element i talteorin. - Springer, 2002. - ISBN 978-0-387-95587-2 .
Pythagorean Triples and the Unit Circle Arkiverad 15 december 2011 på Wayback Machine , kap. 2-3, i " A Friendly Introduction to Number Theory Archived March 6, 2015 at the Wayback Machine " av Joseph H. Silverman, 3:e upplagan, 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137 -9
Dmitry Viktorovich Anosov . En titt på matematik och något därifrån . - 2:a uppl. - M .: MTSNMO , 2003. - T. 3. - 32 sid. - (Biblioteket "Matematisk utbildning"). — 3000+1500 exemplar. — ISBN 5-94057-111-5 . Arkiverad12 januari 2014 påWayback Machine

Länkar

Paul Yiu. Fritidsmatematik // Kursanteckningar, Avd. of Mathematical Sciences, Florida Atlantic University. – 2003.
Frank R. Bernhart, H. Lee Price. Herons formel, Descartes-cirklar och Pythagoras trianglar. — 2005. arXiv
Steven Rosenberg, Michael Spillane, Daniel B. Wulf. Hägertrianglar och modulrum // Matematiklärare. - Maj 2008. - T. 101 .
Gauss C. F. Theoria residuorum biquadraticorum // Comm. soc. Reg. sci. Gott. Rec .. - 1832. - T. 4 .
Albert Fassler. Flera Pythagoras antal tredubblas // American Mathematical Monthly. - 1991. - T. 98 , nr. 6 . — .
Manuel Benito, Juan L. Varona. Pythagoras trianglar med ben mindre än n . - 2002. - T. 143 . - doi : 10.1016/S0377-0427(01)00496-4 .
Roger C Alperin. Pythagoras modulträd // American Mathematical Monthly. - Mathematical Association of America, 2005. - V. 112 , nr. 9 . — S. 807–816 . — .
B. Berggren. Pytagoreiska trianglar (Swedish) // Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. - 1934. - T. 17 . — S. 129–139 .
Ernest Eckert. Primitiva Pythagoras trippel // The College Mathematics Journal. - Mathematical Association of America, 1992. - V. 23 , nr. 5 . — S. 413–417 . — .
Ernest J. Eckert, Preben Dahl Vesrergaard. Grupper av integrala trianglar // The Fibonacci Quarterly. - 1989. - T. 27 , nr. 5 . - S. 458-464 .
Ernest J. Eckert. The Group of Primitive Pythagorean Triangles // Mathematics Magazine. - 1984. - T. 57 .
Noam Elkies. Pythagoras trippel och Hilberts sats 90.
Artema Martin. Rationella rätvinkliga trianglar nästan likbenta // The Analyst . - Annals of Mathematics, 1875. - Vol. 3 , nr. 2 . — S. 47–50 . - doi : 10.2307/2635906 . — .
Andrzej Trautman. Geometriskt universum / S. A. Hugget, L. J. Mason, K. P. Tod, S. T. Tsou, N. M. J. Woodhouse. — 1998.
Weisstein, Eric W. Pythagorean Triple (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Ett exempel på ett Python-program för att konstruera Pythagoras trippel