En funktion som har en antiderivata

En funktion som har en antiderivata är en funktion som kan erhållas som ett resultat av att differentiera någon funktion. Vanligtvis används termen i relation till realvärderade funktioner för en reell variabel, definierad på intervallet . Dessa funktioner kommer att diskuteras senare i artikeln.

Definition

Låt , där är ett icke-trivialt intervall (det vill säga inte en tom uppsättning och inte en punkt). En funktion kallas antiderivata om . Om en sådan funktion finns, så säger vi att den har en antiderivata. $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ $X\in \mathbb {R}$ $F:X\rightarrow \mathbb {R}$ $f$ $F' = f$ $F$ $f$

Exempel

Varje kontinuerlig funktion har en antiderivata. Detta följer av egenskaperna hos Riemann-integralen med en övre variabelgräns . Med hjälp av den kan du enkelt återställa det primitiva. Men inte alla antiderivata funktioner är kontinuerliga. Det är dessa funktioner som är av intresse.

Exempel 1. Begränsad funktion med ett mellanrum

Det mest kända exemplet på en diskontinuerligt differentierbar funktion är följande:

G(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x)),&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases} }

Derivatan av denna funktion vid alla punkter utom noll kan beräknas enligt de vanliga reglerna för differentiering . Derivatan vid noll måste beräknas per definition:

g(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x}}-0}{x}}=\lim _{ x\till 0}x\sin {\dfrac {1}{x}}=0

Dess derivata är:

g(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}),&x\neq 0;\\0 , &x=0.\end{cases}}

[ett]

Man kan enkelt kontrollera att denna funktion inte har någon gräns vid noll. Faktum är att vi komponerar två sekvenser som tenderar mot noll och så att de upphäver sinus, men , och . Sedan: $\{y_{n}\}$ $\{x_n\}$ $\cos y_{n}=1$ $\cos z_{n}=-1$

\lim _{n\to \infty }g(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0-1)=-1

\lim _{n\to \infty }g(z_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2z_{n}\sin {\dfrac {1}{z_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{z_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0+1)=1

Således existerar inte gränsen i och funktionen bryter i den. $0$

Låt oss nu bevisa begränsningen. Låt . Sedan: $x\in (-1;1)$

\left|2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2|x|\left|\sin {\dfrac { 1}{x}}\right|+\left|\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2+1=3

Därför är funktionen begränsad. Låt oss hitta gränsen eftersom argumentet tenderar till oändlighet. $[-1;1]$

\lim _{x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right)=\lim _{ x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}\right)-\lim _{x\to \infty }\cos {\dfrac {1}{x}}=2 -1=1

Gränsen vid oändligheten är ändlig, vilket betyder att funktionen är begränsad i något område av oändligheten ( ta mer ). På segment och funktionen är kontinuerlig, medan en funktion kontinuerlig på ett segment är avgränsad på den. Unionen av alla dessa mängder utgör hela tallinjen, och vi bevisade att funktionen är avgränsad på var och en av dem separat, och eftersom det finns ett ändligt antal av dem kommer den att begränsas på hela tallinjen (maximalt av majoranterna i varje set ger majorant på hela raden ). $(-\infty ;-a)\cup (a;+\infty )$ $a$ $ett$ $[-a;-1]$ $[a;1]$

Exempel 2. Funktion med ett mellanrum, obegränsat i dess grannskap

Låt oss modifiera föregående exempel för att få en obegränsad funktion.

H(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\ slut{cases}}

På samma sätt beaktas dess derivat.

h(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-0}{x}}= \lim _{x\to 0}x\sin {\dfrac {1}{x^{2))}=0

h(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-{\dfrac {2}{x}}\cos {\dfrac {1} {x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases}}

[2]

Vi kommer att bevisa diskontinuiteten vid noll på ett annat sätt. Vi tar en sekvens som tenderar mot noll så att den nollställer sinus, men . Sedan: $\{y_{n}\}$ $\cos y_{n}=1$

\lim _{n\to \infty }h(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n }^{2}}}-{\dfrac {2}{y_{n}}}\cos {\dfrac {1}{y_{n}^{2}}}\right)=\lim _{n\ till \infty }\left(0-{\frac {2}{y_{n))}\right)=\infty

Detta bevisar automatiskt att funktionen är obegränsad i en omgivning av noll.

Det är också intressant att funktionen vid den punkten har en betydande diskontinuitet, och inte en oändlig. För att kontrollera detta räcker det att ta en sekvens så att den nollställer cosinus och gör sinus till ett. Det är lätt att räkna ut att gränsen för funktionen i detta fall är . De två sekvenserna gav en annan gräns, vilket betyder att det inte finns någon gräns. $0$ $0$

Exempel 3. En funktion med en räknebar uppsättning diskontinuitetspunkter

Det är inte svårt att bygga en funktion med två, tre, fyra, fem, vilket ändligt antal brytpunkter som helst: lägg bara till det nödvändiga antalet funktioner med en brytpunkt. Antiderivatet för dem blir då summan av deras antiderivat. Till exempel en funktion med tre brytpunkter:

g(x)+g(x-1)+g(x-2)

, var är funktionen i exempel 1.

g

Det är logiskt att anta att för att erhålla en funktion med en räknebar uppsättning diskontinuitetspunkter är det nödvändigt att lägga till en serie av sådana funktioner. Men här uppstår en svårighet: serien kanske inte konvergerar. För att erhålla den önskade funktionen är det nödvändigt att på något sätt säkerställa konvergensen av denna serie. Dessutom är det inte ett faktum att summan av denna serie efter detta kommer att vara en derivata av summan av en serie antiderivator. Allt detta kräver ytterligare analys.

Låt oss ta en sekvens och några positiva konvergenta talserier . Sedan serien $en$ $b_n$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}g(x-a_{n})

konvergerar enhetligt enligt Weierstrass-testet (funktionen är, som vi minns, begränsad). Ett antal primitiver $g$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}G(x-a_{n})

konvergerar punktvis. Du kan tillämpa satsen om term-för-term differentiering av serien .

Kontinuitet vid alla punkter utom punkterna i sekvensen följer av egenskaperna hos likformigt konvergerande serier. Diskontinuiteten i icke-negativa heltal följer av följande övervägande. För varje sådant nummer kan du kasta ut en term som är diskontinuerlig i den. De återstående termerna är kontinuerliga och deras summa är också kontinuerlig. Summan av en funktion som är diskontinuerlig och kontinuerlig i en punkt är diskontinuerlig. [3] $en$

Grafen visar en sådan funktion för en sekvens av rationella tal och en geometrisk progression som en serie.

Egenskaper

För alla funktioner som har en antiderivata är egenskapen mellanvärde uppfylld: låt definitionsdomänen inkludera punkterna och . Sedan $x_{1}$ $x_{2}$

\forall \eta \in (f(x_{1}),f(x_{2}))\ \exists \xi \in (x_{1},x_{2}):f(\xi ) =\eta

[fyra]

Alla diskontinuitetspunkter (punkter där funktionen är definierad men inte kontinuerlig) är signifikanta. [5]
Den ensidiga gränsen vid en punkt i definitionsdomänen kan inte vara oändlig. Om punkten är en diskontinuitetspunkt, så existerar inte åtminstone en av de ensidiga gränserna.
Bilaterala, vänster, höger osäkerhetsuppsättningar för vilken punkt som helst i definitionsdomänen är ett segment av den förlängda reella linjen. Segment kan vara vilket som helst, förutom enpunkts, som bara innehåller oändlighet. Höger och vänster osäkerhetsuppsättningar kanske inte sammanfaller.
Om domänen för en funktion är ett intervall eller ett halvintervall, har den en gränspunkt som inte ingår i definitionsdomänen. Gränsen vid en sådan punkt kan redan vara oändlig. Osäkerhetsmängden för en sådan punkt är också ett segment av den förlängda reella linjen, men denna gång är enpunktssegment med endast oändlighet tillåtna.
Värdet vid valfri punkt i definitionsdomänen är alltid en partiell gräns på båda sidor (om punkten är en slutpunkt, då på ena sidan). [6]
Funktioner som har ett antiderivat är i den första Baer-klassen . [7]
Uppsättningen av diskontinuitetspunkter för en funktion som har en antiderivata är -uppsättningen av den första Baer-kategorin . Dessutom är varje -uppsättning av den första Baer-kategorin uppsättningen av diskontinuitetspunkter för någon funktion som har en antiderivata. [åtta] $G_\delta$ $G_\delta$

Integration

Obestämd integral

Den obestämda integralen av en funktion är per definition mängden av alla dess antiderivator. Därför har varje funktion som har en antiderivata också en obestämd integral.

Alla antiderivata funktioner skiljer sig med en konstant, och alla funktioner som skiljer sig från något antiderivat med en konstant är också en antiderivata. Därför är den obestämda integralen den mängd som erhålls genom att addera alla möjliga konstanter till någon antiderivata, det vill säga,

\int f(x)\,dx=F(x)+C

För att uppfylla denna egenskap spelar det som definieras på intervallet en stor roll. Om vi i definitionen tillåter att definitionsdomänen inte är ett intervall, utan en förening av icke-korsande icke-triviala intervall, kommer antiderivatorna inte längre att behöva skilja sig med en konstant. På vart och ett av intervallen i definitionsdomänen är skillnaden mellan antiderivaten en konstant, men på olika intervall kan dessa konstanter vara olika. Det vill säga, låt vara definierade på , där är icke-korsande icke-triviala intervall, och inga två av dem kan kombineras till ett intervall. Sedan $f$ $f$ ${\displaystyle X=X_{1}\cup \ldots \cup X_{n))$ ${\displaystyle X=X_{1},\ldots ,X_{n))$

\int f(x)\,dx={\begin{cases}F(x)+C_{1},&x\in X_{1}\\\cdots \\F(x)+C_{n },&x\in X_{n}.\end{cases}}

Konstanterna här går igenom alla möjliga värden. ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n))$

Anteckningar

↑ Bruckner, 1978 , sid. 45.
↑ Bruckner, 1978 , sid. 73.
↑ Bruckner, 1978 , sid. 47.
↑ Bruckner, 1978 , sid. 3.
↑ Bruckner, 1978 , sid. fyra.
↑ Bruckner, 1978 , sid. 9.
↑ Bruckner, 1978 , sid. 12.
↑ Bruckner, 1978 , sid. 46.

Litteratur

Bruckner A.M. Differentiering av verkliga funktioner . - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1978. - 251 s. — (Föreläsningsanteckningar i matematik). - ISBN 978-3-540-35776-6 .