Verkligt värderad funktion

En funktion med reellt värde är en funktion vars värden är reella tal . Det är med andra ord en funktion som tilldelar ett reellt tal till varje element i funktionens omfattning .

Real -värderade funktioner av en reell variabel (vanligen kallad reella funktioner ) och reella -värderade funktioner av flera reella variabler är huvudobjektet för studier i matematisk analys och, mer specifikt, i teorin om funktioner för en verklig variabel . I synnerhet består många funktionsutrymmen av verkligt värderade funktioner.

Algebraisk struktur

Låt beteckna mängden av alla funktioner som mappar mängden X till reella tal . Eftersom är ett fält , kan omvandlas till ett vektorrum med kommutativ algebra med följande operationer: ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$

$f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ — vektortillägg
$\mathbf {0} :x\mapsto 0$ - null element
$cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R}$ - skalär
$fg:x\mapsto f(x)g(x)$ - punktvis multiplikation.

Dessa operationer sträcker sig till delvis definierade funktioner från X till med begränsningen att delvis definierade funktioner och definieras endast om domänerna f och g har en icke-tom skärningspunkt. I detta fall är definitionsdomänen för dessa funktioner skärningspunkten mellan definitionsdomänerna f och g . ${\mathbb R},$ $f+g$ $fg$

Dessutom, eftersom det är en beställd uppsättning, finns det en delbeställning : $\mathbb {R}$

\f\leqslant g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leqslant g(x)

i , vilket gör en delvis beställd ring . ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$

Mätbarhet

$\sigma$ -algebra av Borel-uppsättningar är en viktig struktur på de reella talen. Om X har en -algebra och en funktion f är sådan att den inversa bilden f −1 ( B ) av någon Borel-mängd B tillhör denna -algebra, så sägs funktionen f vara mätbar . Mätbara funktioner bildar också ett vektorrum med algebra som beskrivs ovan . $\sigma$ $\sigma$

Dessutom kan mängden (familjen) av verkligt värderade funktioner på X faktiskt definieras som en -algebra på X , som alla inversa bilder av Borel-mängder (eller bara intervaller , vilket inte är så väsentligt). Det är så som -algebror uppträder i sannolikhetsteorin ( Kolmoggorovs ), där verkliga funktioner på utrymmet för elementära händelser Ω är verkligt värderade slumpvariabler . $\sigma$ $\sigma$

Kontinuitet

De reella talen bildar ett topologiskt utrymme och ett komplett metriskt utrymme . Kontinuerliga verkliga funktioner (med antagandet att X är ett topologiskt rum) är viktiga i teorierna om topologiska rum och metriska rum . Extremvärdessatsen säger att varje reell kontinuerlig funktion på ett kompakt utrymme har ett maximum eller minimum .

Konceptet med ett metriskt utrymme definieras i sig med en verkligt värderad funktion av två variabler, en kontinuerlig metrisk . Utrymmet för kontinuerliga funktioner på ett kompakt Hausdorch-utrymme är av särskild betydelse. Gränserna för sekvenser kan också ses som reellt värderade kontinuerliga funktioner på ett speciellt topologiskt utrymme.

Kontinuerliga funktioner bildar också ett vektorrum med algebra ovan , och är en underklass av mätbara funktioner , eftersom varje topologiskt utrymme har en -algebra som bildas av öppna (eller slutna) uppsättningar. $\sigma$

Jämnhet

Reella tal används som en koddomän för att definiera smidiga funktioner. Domänen för en verklig slät funktion kan vara: ett reellt koordinatutrymme (som ger funktioner av flera reella variabler ), ett topologiskt vektorrum , [1] dess öppna delmängd , eller ett jämnt grenrör .

Rum med jämna funktioner är också vektorrum med de algebror som beskrivs ovan och är underklasser av kontinuerliga funktioner .

I måttteori

Måttet på en mängd är en icke-negativ verkligt värderad funktion på -algebra av delmängder [2] . mellanslag på måttuppsättningar definieras från de verkligt värderade mätbara funktionerna som nämns ovan , även om de i själva verket är kvotutrymmen . Mer exakt: att ta hänsyn till att en funktion som uppfyller de lämpliga summerbarhetsvillkoren definierar ett element av rymd . I motsatt riktning: för alla funktioner och punkter som inte är en atom är värdet på f ( x ) odefinierat . Emellertid har verkliga utrymmen fortfarande några av de strukturer som beskrivs ovan . Vart och ett av utrymmena är ett vektorrum, har en partiell ordning, och det finns en punktvis multiplikation av "funktioner" som ändrar p , nämligen: $\sigma$ $\mathrm {L} ^{p}$ $\mathrm {L} ^{p}$ $f\in \mathrm {L} (X)$ $x\i X$ $\mathrm {L} ^{p}$ $\mathrm {L} ^{p}$

\cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leqslant \alpha ,\beta \leqslant 1,\quad \alpha +\beta \leqslant 1~.

Till exempel hör den prickade produkten av två L2 - funktioner till L1 .

Andra applikationer

Andra sammanhang där verkligt värderade funktioner och deras egenskaper används: monotona funktioner (på ordnade mängder ), konvexa funktioner (på vektor- och affina rum ), harmoniska och subharmoniska funktioner (på Riemannska grenrör ), analytiska funktioner (vanligtvis av en eller flera reella variabler), algebraiska funktioner (på verkliga algebraiska varianter ) och polynom (i en eller flera variabler).

Se även

Teori om funktioner för en reell variabel
Partiella differentialekvationer - ett fält där verkliga funktioner ofta används
Norm (matematik)
Skalär

Anteckningar

↑ Det finns en annan definition av derivatan i det allmänna fallet, men för finita dimensioner leder det till en likvärdig definition av klasser av jämna funktioner.
↑ Faktum är att mått kan ha värden i : se Utökad tallinje . $[0,+\infty ]$

Litteratur

Apostol, Tom M. Matematisk analys. — 2:a. - Addison-Wesley, 1974. - ISBN 978-0-201-00288-1 .
Gerald Folland. Verklig analys: moderna tekniker och deras tillämpningar. - Andra upplagan. - John Wiley & Sons, Inc., 1999. - ISBN 0-471-31716-0 .
Walter Rudin. Principer för matematisk analys. — 3:a. - New York: McGraw-Hill, 1976. - ISBN 978-0-07-054235-8 .
- Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis / Översatt av V.P. Khavin. - den andra. - Moskva: Mir, 1976.

Länkar

Weisstein, Eric W. Real Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .