Excentricitet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Excentricitet är en numerisk egenskap hos en konisk sektion , som visar graden av dess avvikelse från en cirkel . Betecknas vanligtvis med eller . $e$ $\varepsilon$

Excentriciteten är oföränderlig under planrörelser och likhetstransformationer .

Definition

Alla icke-degenererade koniska sektioner, förutom cirkeln , kan beskrivas på följande sätt: vi väljer en punkt och en linje på planet och sätter ett reellt tal ; då platsen för punkter för vilka förhållandet mellan avstånden till punkten och till linjen är lika med , är en konisk sektion; det vill säga om det finns en projektion på , då $F$ $d$ $e>0$ $M$ $F$ $d$ $e$ $M'$ $M$ $d$

FM=e\cdot MM'

Detta nummer kallas excentriciteten för koniska sektionen. En cirkels excentricitet är per definition 0. $e$

Relaterade definitioner

Punkten kallas fokus för koniska sektionen. $F$
Den räta linjen kallas riktlinjen . $d$

Konisk sektion i polära koordinater

Den koniska sektionen, vars ena brännpunkt är belägen vid polen, ges i polära koordinater av ekvationen:

r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}

var är excentriciteten och är en annan konstant parameter (den så kallade fokalparametern ). $e$ $\aln$

Det är lätt att visa att denna ekvation är ekvivalent med definitionen ovan. I huvudsak kan den användas som en alternativ definition av excentricitet, kanske mindre fundamental, men bekväm ur analytisk och tillämpad synvinkel; i synnerhet visar den tydligt excentricitetens roll i klassificeringen av koniska sektioner och förtydligar på ett visst sätt ytterligare dess geometriska betydelse.

Egenskaper

Beroende på excentriciteten kommer det att visa sig:
- när - hyperbole . Ju större excentriciteten hos hyperbeln är, desto mer ser dess två grenar ut som parallella raka linjer; $e>1$
- när - parabel ; $e=1$
- när - ellips ; $0\leq e<1$
- för en cirkel , . $e=0$

Excentriciteten hos ellipsen och hyperbeln är lika med förhållandet mellan avståndet från fokus till centrum till halvstoraxeln. Denna egenskap tas ibland som definitionen av excentricitet. Förr (till exempel 1787 [1] ) delade man sig inte med halvstoraxeln - avståndet från fokus till mitten kallades ellipsens excentricitet [2] .
Excentriciteten hos en ellips kan också uttryckas i termer av förhållandet mellan de mindre ( ) och stora ( ) halvaxlarna: $b$ $a$

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

Excentriciteten hos en hyperbel kan uttryckas i termer av förhållandet mellan de imaginära ( ) och verkliga ( ) halvaxlarna: $b$ $a$

e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

Excentriciteten för en liksidig hyperbel, som är en omvänd proportionalitetsgraf och ges av ekvationen , är lika med . $f(x)={k \över x},x\neq 0,k\neq 0$ ${\sqrt {2}}$

För en ellips kan den också uttryckas i termer av förhållandet mellan peri- ( ) och apocenter ( ) radier: $r_{\mathrm {per} }$ $r_{\mathrm {ap} }$

e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}

Se även

Anteckningar

↑ John Bonnycastle. En introduktion till astronomi . - London, 1787. - S. 90.
↑ Oxford English Dictionary . — 2:a uppl. - Oxford: Oxford University Press , 1989. - Vol. V. - P. 50.

Litteratur

Akopyan AV , Zaslavsky AA Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen . — M.: MTsNMO , 2007. — 136 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Britannica (online) Skrivbord
I bibliografiska kataloger	GND : 4340863-1